2022-2023学年陕西省西安建筑科技大学附属中学高二下学期期中理科数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省西安建筑科技大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题）1.已知复数满足，给出下列四个命题其中正确的是（）A. B.的虚部为 C.D.〖答案〗B〖解析〗∵，∴，故z的虚部为，则，，，所以B正确，A，C，D不正确.故选：B.2.已知，，若，则P，Q的大小关系是（）A. B.C. D.由x的取值确定〖答案〗C〖解析〗取，则，，此时．要证，只要证，只要证，只要证，只要证，只要证，只要证．显然成立，所以成立．故选：C.3.如图是函数的导函数的部分图像，则下面判断正确的是（）A.当时，函数取到极小值B.当时，函数取到极大值C.在区间内，函数有3个极值点D.函数的单调递减区间为和（1，5）〖答案〗C〖解析〗不妨设导函数在区间的零点为，，在区间的零点为，对于A，当时，单调递增，当时，单调递减，在处取得极大值，错误；对于B，当时，单调递增，不存在极值点，错误；对于C，当时，单调递减，当时，单调递增，在处取得极小值，由A：在处取得极大值，当时，单调递减，当时，单调递增，在处取得极小值，共有3个极值点，正确；对于D，由以上分析可知：错误.故选：C.4.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以所以.故选：C.5.下列等式错误的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，故A错误；，故B正确；，故C正确；，，故，故D正确．故选：A．6.由曲线与x轴及所围成的图形绕x轴旋转一周后形成的几何体的体积为（）A.2π B. C.π D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得：.故选：D．7.某中学于2023年4月25日召开春季运动会，在开幕式之前，由高一，高二学生自发准备了7个娱乐节目，其中有2个歌曲节目，3个乐器独奏，2个舞蹈节目，要求舞蹈节目一定排在首尾，另外2个歌曲节目不相邻．则这7个节目出场的不同编排种数为（）A.288 B.72 C.144 D.48〖答案〗C〖解析〗先把舞蹈节目排好，共种，再在2个舞蹈节目中间排好3个乐器独奏，共种，这样3个乐器独奏与2个舞蹈节目中间共产生4个空档（不包括两边），2个歌唱节目排4个空档上，共种．故这7个节目出场的不同编排种数为种．故选：C．8.已知函数的图像如图所示，则下列不等关系中正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗割线AB的斜率为，为函数图象在点处切线的斜率，为函数图象在点处切线的斜率，结合图象可得，故选：D．9.定义在上的函数的导函数为，满足，则不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，则，所以在定义域上单调递增，不等式，即，即，所以，解得，即不等式的解集为.故选：C.10.如下图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，由曲线y＝sinx（）与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗阴影部分的面积为，由几何概型的概率公式可得：点落在阴影部分的概率是，故选：A.11.已知函数在定义域内单调递增，则实数a的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗的定义域为，，函数在定义域内单调递增，则在恒成立，则，即，令，，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.故，故实数a的最小值为.故选：A.12.我国古代数学名著《九章算术》的“论割圆术”中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如表达式（“…”代表无限次重复）可以通过方程来求得，即；类似上述过程及方法，则的值为（）A. B. C.7 D.〖答案〗B〖解析〗由题意,令,则,整理得，解得，，，故选：B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把〖答案〗填写在答题卡相应的位置）13.已知函数的图像在点处的切线方程是，则________．〖答案〗〖解析〗∵函数的图像在点处的切线方程是，∴，，∴．故〖答案〗为：14.计算：________．〖答案〗2〖解析〗由题意可得：故〖答案〗为：15.设集合，，则方程表示焦点位于y轴上的椭圆有________个．〖答案〗10〖解析〗焦点位于y轴上的椭圆则，a<b，当b=2时，a=1；当b=3时，a=1，2；当b=4时，a=1，2，3；当b=5时，a=1，2，3，4；共10个.故〖答案〗为：10.16.我们比较熟悉的网络新词，有“”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为______．〖答案〗〖解析〗根据“躺平点”定义可得，又；所以，解得；同理，即；令，则，即为上的单调递增函数，又，所以在有唯一零点，即；易知，即，解得；因此可得.故〖答案〗为：.三.解答题：（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，回答下列问题，写出必要过程及表达式，结果用数字作答：17.（1）利用0，1，2，4，5，7这六个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数有多少个？（2）从1，3，5，7中任取3个数字，从2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？（3）计算：．解：（1）不选0时，有个奇数；选0时，有个奇数；共有个奇数．（2）从1，3，5，7中任取3个数字，从2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的五位数．（3）．18.（1）已知x∈R，，，，试用反证法证明a，b，c中至少有一个不小于1．（2）复数，则求的值．（1）证明：假设a，b，c均小于1，即，，，则，可得，也就是，该式显然不成立，假设错误．故a，b，c中至少有一个不小于1．（2）解：，则.19.已知数列满足（1）求出项，并由此猜想的通项公式；（2）用数学归纳法证明的通项公式.（1）解：依题意，所以，由此猜想.（2）证明：当时，，成立.假设当时成立，即成立.则当时，，成立.综上所述，对任意正整数都成立.20.若函数，当x=2时，函数有极值．（1）求函数的〖解析〗式：（2）若关于x的方程有一个零点，求实数k的取值范围．（3）求曲线与直线所围图形的面积．解：（1）函数，所以，由当时，函数有极值，∴，，联立解得：，，∴，，满足时，函数有极值，因此．（2）由（1）可得：，令，解得．∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又，，若关于x的方程有一个零点，∴或，∴实数k的取值范围是．（3）联立，解得：，∴曲线与直线所围图形的面积：.21.某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于7万件时，（万元），当年产量不小于7万件时，（万元）．已知每件产品售价为6元，若该同学生产的产品当年全部售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数〖解析〗式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（注：取）解：（1）产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元依据题意得，当时，，当时，.（2）当时，，因为（当且仅当，即x=2时取等号），所以，即时，当时，的最大值为万元，当时，，∴，∴当时，，单调递减，∴当时，的最大值为万元，∵，∴当时，的最大值为5万元.答：当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获得年利润最大，最大利润为5万元.22.设函数．（1）若在点处的切线斜率为，求a的值；（2）当时，求的单调区间；（3）若，求证：在时，．（1）解：函数，则，因为在点处的切线斜率为，所以，解得.（2）解：由（1）知：，当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.（3）证明：，令，则，因为，所以，则在上单调递增，又，所以恒成立，即；令，，时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，恒成立，即，所以，得证.陕西省西安建筑科技大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题）1.已知复数满足，给出下列四个命题其中正确的是（）A. B.的虚部为 C.D.〖答案〗B〖解析〗∵，∴，故z的虚部为，则，，，所以B正确，A，C，D不正确.故选：B.2.已知，，若，则P，Q的大小关系是（）A. B.C. D.由x的取值确定〖答案〗C〖解析〗取，则，，此时．要证，只要证，只要证，只要证，只要证，只要证，只要证．显然成立，所以成立．故选：C.3.如图是函数的导函数的部分图像，则下面判断正确的是（）A.当时，函数取到极小值B.当时，函数取到极大值C.在区间内，函数有3个极值点D.函数的单调递减区间为和（1，5）〖答案〗C〖解析〗不妨设导函数在区间的零点为，，在区间的零点为，对于A，当时，单调递增，当时，单调递减，在处取得极大值，错误；对于B，当时，单调递增，不存在极值点，错误；对于C，当时，单调递减，当时，单调递增，在处取得极小值，由A：在处取得极大值，当时，单调递减，当时，单调递增，在处取得极小值，共有3个极值点，正确；对于D，由以上分析可知：错误.故选：C.4.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以所以.故选：C.5.下列等式错误的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，故A错误；，故B正确；，故C正确；，，故，故D正确．故选：A．6.由曲线与x轴及所围成的图形绕x轴旋转一周后形成的几何体的体积为（）A.2π B. C.π D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得：.故选：D．7.某中学于2023年4月25日召开春季运动会，在开幕式之前，由高一，高二学生自发准备了7个娱乐节目，其中有2个歌曲节目，3个乐器独奏，2个舞蹈节目，要求舞蹈节目一定排在首尾，另外2个歌曲节目不相邻．则这7个节目出场的不同编排种数为（）A.288 B.72 C.144 D.48〖答案〗C〖解析〗先把舞蹈节目排好，共种，再在2个舞蹈节目中间排好3个乐器独奏，共种，这样3个乐器独奏与2个舞蹈节目中间共产生4个空档（不包括两边），2个歌唱节目排4个空档上，共种．故这7个节目出场的不同编排种数为种．故选：C．8.已知函数的图像如图所示，则下列不等关系中正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗割线AB的斜率为，为函数图象在点处切线的斜率，为函数图象在点处切线的斜率，结合图象可得，故选：D．9.定义在上的函数的导函数为，满足，则不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，则，所以在定义域上单调递增，不等式，即，即，所以，解得，即不等式的解集为.故选：C.10.如下图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，由曲线y＝sinx（）与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗阴影部分的面积为，由几何概型的概率公式可得：点落在阴影部分的概率是，故选：A.11.已知函数在定义域内单调递增，则实数a的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗的定义域为，，函数在定义域内单调递增，则在恒成立，则，即，令，，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.故，故实数a的最小值为.故选：A.12.我国古代数学名著《九章算术》的“论割圆术”中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如表达式（“…”代表无限次重复）可以通过方程来求得，即；类似上述过程及方法，则的值为（）A. B. C.7 D.〖答案〗B〖解析〗由题意,令,则,整理得，解得，，，故选：B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把〖答案〗填写在答题卡相应的位置）13.已知函数的图像在点处的切线方程是，则________．〖答案〗〖解析〗∵函数的图像在点处的切线方程是，∴，，∴．故〖答案〗为：14.计算：________．〖答案〗2〖解析〗由题意可得：故〖答案〗为：15.设集合，，则方程表示焦点位于y轴上的椭圆有________个．〖答案〗10〖解析〗焦点位于y轴上的椭圆则，a<b，当b=2时，a=1；当b=3时，a=1，2；当b=4时，a=1，2，3；当b=5时，a=1，2，3，4；共10个.故〖答案〗为：10.16.我们比较熟悉的网络新词，有“”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为______．〖答案〗〖解析〗根据“躺平点”定义可得，又；所以，解得；同理，即；令，则，即为上的单调递增函数，又，所以在有唯一零点，即；易知，即，解得；因此可得.故〖答案〗为：.三.解答题：（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，回答下列问题，写出必要过程及表达式，结果用数字作答：17.（1）利用0，1，2，4，5，7这六个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数有多少个？（2）从1，3，5，7中任取3个数字，从2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？（3）计算：．解：（1）不选0时，有个奇数；选0时，有个奇数；共有个奇数．（2）从1，3，5，7中任取3个数字，从2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的五位数．（3）．18.（1）已知x∈R，，，，试用反证法证明a，b，c中至少有一个不小于1．（2）复数，则求的值．（1）证明：假设a，b，c均小于1，即，，，则，可得，也就是，该式显然不成立，假设错误．故a，b，c中至少有一个不小于1．（2）解：，则.19.已知数列满足（1）求出项，并由此猜想的通项公式；（2）用数学归纳法证明的通项公式.（1）解：依题意，所以，由此猜想.（2）证明：当时，，成立.假设当时成立，即成立.则当时，，成立.综上所述，对任意正整数都成立.20.若函数，当x=2时，函数有极值．（1）求函数的〖解析〗式：（2）若关于x的方程有一个零点，求实数k的取值范围．（3）求曲线与直线所围图形的面积．解：（1）函数，所以，由当时，函数有极值，∴，，联