2021年中考数学模拟试卷附答案解析 (二)

2021年中考数学模拟试卷

一.选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）

1.（4分）若aWb,且次-40+1=0,扶-4什1=0,则一—4一—的值为（）

22

l+al+b

A.AB.1C..4D.3

4

2.（4分）如果关于x的一元二次方程x2-x+Ln-1=0有实数根，那么加的取值范围是（）

4

A.m>2B.加，3C.m<5D.mW5

3.（4分）函数y=K与y=-扇+左�）在同一直角坐标系中的图象可能是（）

4.（4分）某中学有一块长30CT»,宽20c〃?的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分

之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为X"?,则可列方程

为（）

3

B.(30-2x)(20-x)0x20X30

3

C.30x+2X20x=Ax20X30

3

D.(30-2x)(20-x)=2x20X30

3

5.(4分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc>0；@4ac<b2；

第1页(共19页)

③2a+%>0；④其顶点坐标为（工，-2）；⑤当xvJU寸，y随x的增大而减小；⑥a+b+c

22

6.（4分）若点Z（-1,加）、B（1,w）、C（2,w-1）在同一个函数图象上，这个函数

7.（4分）已知二次函数y=a/+bx+c（a#0）的图象如图所示，下列结论：①时c>0；

@2a+b>0；③层-4ac>0；（4）d-b+c>0,其中正确的个数是（）

8.（4分）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动

到点（1,1）,第2次接着运动到点（2,0）,第3次接着运动到点（3,2）,…，按这样

的运动规律，经过第2020次运动后，动点P的坐标是（）

第2页（共19页）

o(2,0)(4,0)(6,0)(8,0)(10,0)(12,0)x

A.(2020,1)B.(2020,0)C.(2020,2)D.(2019,0)

二.填空题(共5小题，满分25分，每小题5分)

9.(5分)把多项式4-6a，+9y分解因式的结果是.

10.(5分)已知工+工=3,求5a+[ab+5b=.

aba-6ab+b

11.(5分)如图，在平面直角坐标系中，等边△048和菱形OCQ石的边OE都在x轴

上，点C在08边上，S“BD=M，反比例函数V=K(X>0)的图象经过点8,则左的

值为_______

12.(5分)如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2”?时，水面宽4机，水面下降2m,水面宽

13.(5分)已知直线卜=履(kWO)经过点(12,-5),将直线向上平移机(m>0)个单位,

若平移后得到的直线与半径为6的。。相交(点。为坐标原点)，则"？的取值范围

为_______

三.解答题(共4小题，满分43分)

14.(5分)计算：^+|-5|-(A)-l-2tan60°

15.(12分)如图，已知N8是的直径，CBUB,。为圆上一点，且ND〃OC,连接

CD,AC,BD,4c与BD交于点M.

第3页(共19页)

（1）求证：CD为。。的切线；

（2）若。。=向。，求史的值.

16.（12分）五一假期某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60

座客车，每辆42座比每辆60座客车租金便宜140元，租3辆42座和2辆60座客车租

金共计1880元

（1）求两种车租金每辆各多少元？

（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），总租金不超过3200元，有几种租

车方案？请选择最节省的租车方案.

17.（14分）如图，过点Z（5,工巨）的抛物线y=ax2+bx的对称轴是x=2,点8是抛物线

与x轴的一个交点，点C在y轴上，点。是抛物线的顶点.

（1）求b的值；

（2）当△BCD是直角三角形时，求△O8C的面积；

（3）设点尸在直线。4下方且在抛物线上，点M、N在抛物线的对称轴上（点

M在点N的上方），且加N=2,过点P作y轴的平行线交直线04于点0,当尸。最大时,

请直接写出四边形8QMN的周长最小时点。、M、N的坐标.

第4页（共19页）

2021年中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）

I.（4分）若且『-4a+l=0,Z>2-4*+l=0,则一—4—的值为（）

1+a21+b2

A.AB.IC..4D.3

4

【分析】根据根与系数的关系即可求出答案.

【解答】解：由题意可知：a、6是方程x2-4x+l=0的两个不同的实数根，

,由根与系数的关系可知:ah=\,a+b=4,

/.a2+l=4a,b2+l=46,

原式=-A_+-^-

4a4b

—a+b

4ab

=4

4X1

=1,

故选：B.

2.（4分）如果关于x的一元二次方程x2-/L〃-1=0有实数根，那么”的取值范围是（）

4

A.m>2B.m23C.w<5D.m<5

【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=庐-4近20,建立关于加的不等

式，求出〃7的取值范围.

【解答】解：♦.•关于X的一元二次方程1=0有实数根，a=\,b=-1,c=

4

Aw-1,

4

：.A=b2-4ac=（-1）2-4XlX（I411-1）川，

4

解得〃z<5.

故选：D.

3.（4分）函数y=K与夕=-依2+左"#0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）

X

第5页（共19页）

【分析】先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是

否一致.

【解答】解：/、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得4>0,则-后V0,抛物线开

口方向向下、抛物线与〉轴的交点在〉轴的正半轴上，本图象与人的取值相矛盾，故4

错误.

B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得4>0,则-%<0,抛物线开口方向向下、

抛物线与夕轴的交点在夕轴的正半轴上，本图象与人的取值相矛盾，故8错误；

C、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得左<0,则-A>0,抛物线开口方向向上、

抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与〃的取值相矛盾，故C错误；

。、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得4>0,则-%<0,抛物线开口方向向下、

抛物线与夕轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故。正确；

故选：D.

4.（4分）某中学有一块长30cm,宽20c〃?的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分

之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为xm,则可列方程

3

B.(30-2x)(20-x)=J^X20X30

3

第6页（共19页）

C.30X+2X20A-=AX20X30

3

D.(30-2x)(20-x)=2x20X30

3

【分析】根据空白区域的面积=▲■矩形空地的面积可得.

3

【解答】解：设花带的宽度为x/n,则可列方程为(30-2x)(20-x)=±X20X30,

3

故选:B.

5.(4分)二次函数y=ar2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc>Q；(2)4ac<b2；

③2a+b>0；④其顶点坐标为(工，-2)；⑤当x<1寸，歹随x的增大而减小；⑥a+b+c

22

>0中正确的有()

A.3个B.4个C.5个D.6个

【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.

【解答】解：①由图象开口可知：a>0,c<0,

_L>o,

2a

：.b<0,

.'.abc>0,故①正确；

②由图象可知：△>(),

b2-4ac>0,

b2>4ac,故②正确；

③抛物线与x轴交于点4(-I,0),B(2,0),

抛物线的对称轴为：x=L,

2

-^-<1,

2a

：.2a+h>0,

故③正确;

第7页(共19页)

④由图象可知顶点坐标的纵坐标小于-2,

故④错误；

⑤由③可知抛物线的对称轴为x=工，

2

，由图象可知：时，y随着X的增大而减小,

2

故⑤正确；

⑥由图象可知：x=l时，y<0,

a+6+cVO,

故⑥错误；

故选：B.

6.(4分)若点/(-1,加)、B(1,加)、C(2,w-1)在同一个函数图象上，这个函数

【分析】由点4(-1,m),8(1,"?),C(2,to-1)在同一个函数图象上，可得/与

8关于y轴对称，当x>0时，y随x的增大而减小，继而求得答案.

【解答】解：,•,点4(-1,m),B(1,/»),

与8关于y轴对称，故Z,。错误；

B(1,),C(2,w-1),

...当x>0时，y随x的增大而减小，故8正确，C错误.

故选：B.

7.(4分)己知二次函数y=af+bx+c(a#0)的图象如图所示，下列结论：①阪>0；

②2a+6>0；(3)b2-4ac>0；@a-b+c>0,其中正确的个数是()

第8页(共19页)

【分析】由抛物线的对称轴的位置判断/的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，

然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【解答】解：①•••抛物线对称轴是夕轴的右侧，

•・•与y轴交于负半轴，

Ac<0,

/.abc>Of

故①正确；

@va>o,x=-_L<i,

2a

:.-b<2a,

：.2a+h>0,

故②正确；

③•..抛物线与X轴有两个交点，

/.b2-4ac>0,

故③正确；

④当x=-1时，y>0,

••a-b+c>0,

故④正确.

故选：D.

8.（4分）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动

到点（1,1）,第2次接着运动到点（2,0）,第3次接着运动到点（3,2）,…，按这样

的运动规律，经过第2020次运动后，动点尸的坐标是（）

第9页（共19页）

【分析】分析点尸的运动规律找到循环规律即可.

【解答】解：点P坐标运动规律可以看做每运动四次一个循环，每个循环向右移动4个

单位，则2020=505X4,

所以，前505次循环运动点尸共向右运动505X4=2020个单位，且在x轴上，

故点尸坐标为(2020,0).

故选：B.

二.填空题(共5小题，满分25分，每小题5分)

9.(5分)把多项式x2y-6xy+9y分解因式的结果是y(x-3)2.

【分析】原式提取乃再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：原式=y(x2-6x+9)=y(x-3)2,

故答案为：y(x-3)2

10.(5分)己知工+工=3,求5a+7ab+5b=-殁.

aba-6ab+b3

【分析】由工+工=3知纪旦=3,即”+方=3融，整体代入到原式5(a+b)+7ab,计算可

abab(a+b)-6ab

得.

【解答】解：•.•工+工=3,

ab

.•.四=3,

ab

则a+b=3ab,

所以原式=5(a+b)+7ab

(a+b)-6ab

=5X3ab+7ab

3ab~6ab

=22ab

-3ab

=-22,

3

第10页(共19页)

故答案为：-22

3

11.（5分）如图，在平面直角坐标系中，等边△0N8和菱形OC0E的边04,OE都在X轴

上，点C在。8边上，SyBD=M，反比例函数y=K（x>0）的图象经过点8,则k的

值为不

E0Ax

【分析】连接由△0/8是等边三角形，得到/力。8=60°,根据平行线的性质得

到NDEO=NNO8=60°,推出△DE。是等边三角形，得到/。。后=/8/。=60°,得

至IJO。〃/8,求得麋8。。=S.。。，推出&4OB=SyB0=F，过8作BHLO4于”,由

等边三角形的性质得到。，=4",求得SAOB“=返，于是得到结论.

【解答】解：连接

,:丛OAB是等边三角形，

AZAOB=60°,

;四边形。CDE是菱形，

：.DE//OB,

：.ZDEO=ZAOB=60°,

：./\DEO是等边三角形，

：.ZDOE=ZBAO=60°,

：.OD//AB,

••S&BDO—S/^AODf

,**S四边形力500=S4/£)o+S^ABD=S&BDO+S4AOB，

:♦SAAOB=S丛ABD=yf39

过8作。力于H,

：・OH=AH,

:・SAOBH=^^-，

第11页（共19页）

:反比例函数y=K（x>0）的图象经过点8,

X

.•"的值为我，

故答案为：V3-

12.（5分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2〃,时，水面宽4〃?，水面下降2〃i,水面宽

度增加（4后-4）m.

【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-2代

入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案.

【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过纵轴y通过中点0且通过C

Ay

x

点，则通过画图可得知。为原点,

抛物线以y轴为对称轴，且经过48两点，。4=。8=工18=2米，抛物线顶点C坐标

.2

为（0,2）,

通过以上条件可设顶点式、=奴2+2,其中。可通过将4点坐标（-2,0）代入抛物线解

析式可得出：a=-0.5,

所以抛物线解析式为y=-0.5，+2,

当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当y=-2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-2与抛物线相交的两

第12页（共19页）

点之间的距离，

可以通过把夕=-2代入抛物线解析式得出：

-2=-0.5X2+2,

解得：x=±2&,所以水面宽度增加到4、历米，比原先的宽度当然是增加了（4、历-4）

米，

故答案为：4,\/2-4.

13.（5分）已知直线>=丘（%W0）经过点（12,-5）,将直线向上平移m（〃7>0）个单位，

若平移后得到的直线与半径为6的。。相交（点。为坐标原点），则”的取值范围为_Q

2

【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点

的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答.

【解答】解：把点（12,-5）代入直线了=去得，

-5=12左，

由了=平移机（小>0）个单位后得到的直线/所对应的函数关系式为N=-&

1212

（加>0）,

设直线/与X轴、y轴分别交于点力、B,（如下图所示）

当x=0时，y=m；当y=0时，工=卫切，

5

••A（0）,B（0,m）,

5

即。4=基"，OB=m；

5

在中，

/I5=VOA2-K）B2=^^m2+m2=y-n>>

过点。作ODLAB于D,

'：S&ABO=^OD*AB=•OB,

一22

...IJOD•里，?=LxUmXrn,

2525

V,M>0,解得

第13页（共19页）

由直线与圆的位置关系可知空1r<6,解得0<,"V』3.

132

故答案为：0</<工3.

三.解答题（共4小题，满分43分）

14.（5分）计算:Vl2+I_5l-（y）1-2tan600

【分析】原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，负整数指数基法则，以及特殊角

的三角函数值计算即可得到结果.

【解答】解：原式=2^^5-2-2我=3.

15.（12分）如图，已知是00的直径，CB1.AB,。为圆上一点，且NO〃OC,连接

CD,AC,BD,4C与8。交于点M.

（1）求证：CD为。。的切线；

（2）若8=扬。，求史的值.

【分析】（1）连接。。，设0C交8。于K.想办法证明△0DC丝ZsOBC（SSS）即可解

决问题.

（2）由。。=扬。，可以假设力。=“，CO=«,设KC=b.由△CDKs^c。。，推

出生=里，推出雯匕=/_整理得：2（互）2+（-L）-4=0,解得包=运二或

OCCD±a+bV2aaaa4

一扇-1（舍弃），由此即可解决问题.

4

【解答】（1）证明：连接0D，设0C交8。于K.

,：AB是直径,

第14页（共19页）

AZADB=90°,

C.ADLBD,

U：OC//AD,

：・OC1BD,

:.DK=KB,

：・CD=CB,

•：OD=OB,OC=OC,CD=CB,

：./\ODC^/\OBC(SSS),

：.ZODC=ZOBC,

U：CBLAB.

：.ZOBC=90°,

：.ZODC=90°,

：.OD±CDf

・・・C£＞是OO的切线.

(2)解：・・・。0=扬。，

・••可以假设ZQ=a,CQ=，示，设KC=b.

■:DK=KB,AO=OB,

••・OK=LD=L,

22

VZDCK=ZDCO,ZCKD=ZCDO=90°,

•••△CQKs/XCO。，

.CD=CK

*,0CCD，

...近a_b

ya+b&a

整理得：2(k)2+(k)-4=0,

aa

解得_L=V33-lng-V33-l(舍弃)，

a44

°：CK〃AD,

•CM=CK=b=V^§-l

AMADa4

第15页（共19页）

16.(12分)五一假期某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60

座客车，每辆42座比每辆60座客车租金便宜14()元，租3辆42座和2辆60座客车租

金共计1880元

(1)求两种车租金每辆各多少元？

(2)若学校同时租用这两种客车8辆(可以坐不满)，总租金不超过3200元，有几种租

车方案？请选择最节省的租车方案.

【分析】(1)设42座客车租金x元/辆，60座客车租金(x+140)元/辆，根据题意列出

方程解答即可.

(2)根据租用的8辆客车所载的总人数应大于等于师生的总人数和所需的费用应比单独

租用车辆的费用少，列出不等式组进行求解，然后分类讨论.

【解答】解：(1)设42座客车租金x元/辆，60座客车租金(x+140)元/辆，

根据题意，得：3x+2(x+140)=1880,

解得：x=320

答：42座客车租金320元/辆，60座客车租金460元/辆；

(2)设租42座客车加辆，则60座客车(8-机)辆，

根据题意得：42m+60(8-w)-385,320m+460(8-m)<3200,

解得：

718

•••m为整数，.•.用的值可以是4、5,即有2种方案；

设总费用为W,则320m+460(8-加)=-140机+3680,

；力随山的增大而减小大，...当加=5时,〃取得最小值，最小值为2980,

17.(14分)如图，过点Z(5,-1§.)的抛物线的对称轴是x=2,点8是抛物线

4

与x轴的一个交点，点C在y轴上，点。是抛物线的顶点.

(1)求a、b的值；

(2)当△SCO是直角三角形时，求△OBC的面积；

第16页(共19页)

（3）设点尸在直线0A下方且在抛物线y=a/+6x上，点M、N在抛物线的对称轴上（点

/在点N的上方），且A/N=2,过点P作y轴的平行线交直线04于点0,当尸。最大时,

请直接写出四边形8QMN的周长最小时点。、M、N的坐标.

求得八6的值；

（2）设点C的坐标是（0,〃?）.由于没有指明直角△8C。中的直角，所以需要分类讨论:

当NCBD=90°、NCDB=90°、NBCD=90°时，利用勾股定理列出关于加的方程，

通过解方程求得用的值；然后利用三角形的面积公式解答；

（3）利用待定系数法确定直线。/解析式为丫/^.由抛物线上点的坐标特征和两点间

的距禺公式求得：PQ=*X-（*1"X2-3X）=—1"X2+_^_X=I|_（X~^_）2T|_，所以利用二

次函数最值的求得推知：当尸0最大时;线段8。为定长.又因为MN=2,所以要使四

边形8QMN的周长最小，只需0M+8N最小.利用轴对称-最短路径问题得到点0.最

后利用方程思想解答.

【解答】解：⑴•••过点A（5,叠）的抛