2022届北京市高三（上）开学数学试卷（学生版+解析版）

2022届北京市海淀区八一学校高三（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1.（4分）设集合A={xh23},B={x|lWxW4},则BCCRA=（）

A.[1,3）B.（-8,4]C.[3,4]D.[1,+°0）

2.（4分）设2=告，则在复平面内z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（4分）已知向量。=（1,2）,b=（2,1）,则cosVa,等于（）

1144

A.-B.C.-D.-H

5555

4.（4分）下列函数中，是奇函数且在（0,+8）上为增函数的是（）

A.f（x）=一1B.f（x）=y/xC.f（x）=|x|D.f（x）=x3+l

5.（4分）已知抛物线f=2py上一点A（/H,1）到其焦点的距离为3,则p=（）

A.2B.-2C.4D.±4

6.（4分）已知数列{痣}的前〃项和为且为=-10,an+i=an+3（7i€N*）,则S〃取

最小值时，n的值是（）

A.3B.4C.5D.6

7.（4分）直线y=h+l被圆7+^=2截得的弦长为2,则人的值为（）

1V2

A.0B.+-C.±1D.+——

22

8.（4分）设Z片是两个向量，则“丘+&>日一百”是唳了X）”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.（4分）设函数/（x）=fX（V-e"20,若函数8（X）=于3-ax恰有两个零

i-X2-2x-4,x<0

点，则实数。的取值范围为（）

A.（0,2）B.（0,2]C.（2,+8）D.[2,+<«）

10.（4分）如图，在棱长为4的正方体ABC。-A'B'C'D'中，E、尸分别是A。、4'

D'的中点，长为2的线段MN的一个端点“在线段EF上运动，另一个端点N在底面A'

B'CD'上运动，则线段MN的中点尸的轨迹（曲面）与二面角4-A'D'-B'所

围成的几何体的体积为（）

二、填空题（本大题共5小题，共25分）

11.（5分）（2x-1）6的展开式中/的系数为（用具体数据作答）.

12.（5分）设“=弓）2,b=bm,c=k>g93,贝!Ia,b,c的从小到大的顺序为.

13.（5分）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15,第二车

间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成

品比例为2：3,今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率

为.

X22

14.（5分）已知双曲线C：下一V三=1的一条渐近线/的倾斜角为7T一，则C的离心率为.

若C的一个焦点到/的距离为2,则C的方程为.

15.（5分）已知数列｛〃”｝的通项公式为若存在peR,使得对任意的“6N*

都成立，则p的取值范围为

三、解答题（本大题共6小题，共85分）

16.（13分）设函数/（x）=m-n,其中向量m=（2cosx,1）,n=（cosx,V3sin2x）.

（1）求函数/（x）的最小正周期与单调递减区间：

（2）在△ABC中，“、b、c分别是角A、B、C的对边，己知/（A）=2,b=\,/XABC

的面积为匚V3，判断△ABC的形状，并说明理由.

2

17.（13分）2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COW。-9病毒基因序列公布后，科

学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，

不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接

种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周

期.己知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为:假设每次接种后当天是否出现抗体与上

次接种无关.

(1)求一个接种周期内出现抗体次数&的分布列；

(2)已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：

①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验

持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X元；

②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持

续三个接种周期，设此种试验方式的花费为丫元.本着节约成本的原则，选择哪种实验

方案.

18.(14分)在四棱锥P-ABCO中，%L平面A8CD,底面A8CO是正方形，J.PA=AD

=2,E,尸分别是棱A。，PC的中点.

(I)求证：EF〃平面PAB；

(II)求证：EF_L平面PBC；

(III)求二面角E-PC-。的大小.

19.(15分)已知函数/'(x)=(x1-ax-a)ex+2a,a&R.

(I)若.f(x)在x=0处取得极值，求f(x)的单调区间；

(II)若关于X的不等式/(X)>0在(0,+8)上恒成立，求4的取值范围.

20.(15分)已知椭圆C：捺+，=l(a>b>0)的离心率为当长轴的一个顶点为4短轴

的一个顶点为B，。为坐标原点，且SAOAB=5.

(I)求椭圆C的标准方程；

(H)直线/：y=x+m与椭圆C交于P,Q两点，且直线/不经过点M(4,1).记直线

MP,的斜率分别为心，心，试探究七+幻是否为定值.若是，请求出该定值，若不

是，请说明理由.

21.(15分)给定无穷数列■”｝,若无穷数列｛为｝满足:对任意“CN*,都有编W1,则

称｛瓦｝与｛砺｝“接近”.

1

（1）设｛““｝是首项为1,公比为5的等比数列,儿=如+1+1，"CN*,判断数列｛3｝是否与

｛斯｝接近，并说明理由；

（2）设数列｛的｝的前四项为：a\=\,42=2,田=4,44=8,｛6〃｝是一个与｛斯｝接近的数

列，记集合M=｛x|x=历，i=l,2,3,4｝,求M中元素的个数

（3）已知｛”“｝是公差为”的等差数列，若存在数列｛尻｝满足：｛仇｝与｛斯｝接近，且在历

-b\,历-历，…，历01-历00中至少有100个为正数，求d的取值范围.

2022届北京市海淀区八一学校高三(上)开学数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共10小题，共40分)

1.(4分)设集合4={4x23},3={x|lWxW4},则BGCRA=()

A.[1,3)B.(-8,4]C.[3,4][1,+8)

【解答】解：・.・A={x|x23},・・.CM="WV3},

/.BACRA=[1,3).

故选：A.

2.(4分)设2=告，则在复平面内z对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

则在复平面内z对应的点位于第一象限，

故选：A.

3.(4分)已知向量。=(1,2),b=(2,1),则cos<d,等于()

114z

A.—B.—FC.-D.—7

555E

【解答】解：・.,向量友=(1,2),b=(2,1),

故选：C.

4.(4分)下列函数中，是奇函数且在(0,+8)上为增函数的是()

A.f(x)=-gB.f(x)=y[xC.f(x)=|x|D.f(x)=x3+l

【解答】解：对于A,fix)=一[为奇函数且在(0,+8)上为增函数，符合题意;

对于B,/(x)=代为非奇非偶函数，不符合题意；

对于C,f(x)=因为偶函数，不符合题意；

对于£>,/(%)=4+1为非奇非偶函数，不符合题意.

故选：A.

5.(4分)已知抛物线W=2py上一点A(TH,1)到其焦点的距离为3,则p=()

A.2B.-2C.4D.±4

【解答】解：抛物线的准线方程为抛物线上一点Akm,1）到其焦点

的距离为3,

可得1+4=3,解得p=4.

故选：C.

6.（4分）已知数列｛斯｝的前n项和为S,”且为=-10,an+1=an+3（neN*）,则5„取

最小值时，”的值是（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：在数列｛““｝中，由斯+1=斯+3,得。”+1-斯=3（neN*）,

.•.数列｛“”｝是公差为3的等差数列.

又“1=-10,.•.数列｛斯｝是公差为3的递增等差数列.

1Q

由an—a\+（〃-1）d--10+3（n-1）=3"-1320,解得n>-y.

•..〃6N*,...数列｛斯｝中从第五项开始为正值.

.•.当”=4时，S”取最小值.

故选:B.

7.（4分）直线丫=区+1被圆/+尸=2截得的弦长为2,则%的值为（）

1V2

A.0B.土一C.±1D.土一

22

【解答】解：由垂径定理得圆心（0,0）到直线kx->4-1=0的距离d=Vr2-l2=V2^1=1,

又由点到直线的距离公式得d="一,

向

故五餐=1'解得忆=°

故选：A.

8.（4分）设；，1是两个向量，则“丘+&>日一国"是吗4>0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：若向+&>向一加则等价为丘+讦〉日一虚，

22229

BP|a|+|Z）|+2a*6>|a|+|6|-2abf

BP4a*b>0,则益bX）成立,

反之，也成立，

即“丘+》>而一加’是“莉X）”的充要条件，

故选：C.

9.（4分）设函数f（JC）='），"—0,若函数g（x）=y（x）-奴恰有两个零

（-X2-2X-4,X<0

点，则实数“的取值范围为（）

A.（0,2）B.（0,2]C.（2,+8）D.[2,+0°）

【解答】解：由y=/（x）-or恰有两个零点，而当x=0时，y=/（0）-0=0,即x=0

是函数的一个零点，

故当xWO时，a=华^必有一个零点，即函数〃（x）=q3='4与函数y

—a必有一个交点，

作出函数〃（x）图象如下所示，

由图可知，要使函数力（x）与函数y=a有一个交点，只需0<a<2即可.

故实数a的取值范围是（0,2）.

故选：A.

10.（4分）如图，在棱长为4的正方体A8C£>-A'B'CD'中，E、尸分别是A。、A'

D'的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面A'

B'CD'上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与二面角A-A'D'-B'所

围成的几何体的体积为（）

【解答】解：依题意可知|FP|=$MN|=1,

因此点P的轨迹是以点尸为球心、1为半径的球面的士

4

14.1

于是所求的体积是1x（-TtXI3）=

故选：C.

二、填空题（本大题共5小题，共25分）

11.（5分）（"-1）6的展开式中/的系数为升（用具体数据作答）.

【解答】解：因为（2x7）6的展开式中/的项为：Ct（2%）6一4.（一1）4=22.廉./=

60?；

故（2x-1）6的展开式中/的系数为60.

故答案为：60.

12.（5分）设a=（；）2,b=bm,c=log93,则a,b,c的从小到大的顺序为b>a>c.

【解答】解：•.•“=$）$=苧，

b=lim>lne—\,

c=log93=1log99=I，

'.b>a>c,

故答案为：h>a>c.

13.（5分）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15,第二车

间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成

品比例为2：3,今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率为

0.868.

【解答】解：设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15,第

二车间的次品率为0.12,

两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为2：3,

今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，

Q9

则该产品合格的概率为尸=看X（1-0.15）+5X（1-0.12）=0.868.

,该产品合格的概率为0.868.

故答案为：0.868.

14.（5分）己知双曲线C二一三=1的一条渐近线/的倾斜角为；，则C的离心率为2.

azb23

x2y2

若C的一个焦点到/的距离为2,则C的方程为—一—=1.

-4

3

71

【解答】解：双曲线C下一V三2=1的一条渐近线/的倾斜角为小

a2b23

可得2=tan-=V3,所以1=3,即=3,

21

a3Q/a

所以e=a=2,

c的一个焦点到/的距离为2,2=R==b,所以“=学，

3

x2y2

所以双曲线方程为：--^-=1.

-T"

3

%2y2

故答案为：2；———=1.

-4

3

15.（5分）已知数列｛斯｝的通项公式为斯=/〃小若存在pWR,使得即Wp〃对任意的〃EN*

都成立，则p的取值范围为［怨，+8）

【解答】解：数列｛小｝的通项公式为若存在p€R,使得对任意的〃€N*

都成立，

故P2(―)max

、口乙、Inxmu,，/、rx-lnx

设f（x）=-（则/（x）=x「

令/。）=与"=0，

解得x=e,

故函数的函数的单调增区间为（0,e）,函数的减区间为（e,+8）,

所以函数在x=e时函数取最大值，

ln3

由于正N,所以当〃=3时函数最大值为一.

3

ln3

所以〃的取值范围是［丁，+8).

故答案为：+oo).

三、解答题(本大题共6小题，共85分)

16.(13分)设函数/(x)=m-n,其中向量租=(2cosx,1),n=(cosx,V3sin2x).

(1)求函数/(x)的最小正周期与单调递减区间；

(2)在△ABC中，a.b、c•分别是角A、B、。的对边，已知/(A)=2,b=l,△ABC

V3

的面积为匚，判断AABC的形状，并说明理由.

2

【解答】解：f(x)=m-n=2cos2x+V3sin2x=cos2x+V3sin2A,4-l=2sin(2r+着)+1,

・627r

・・/=/-=TT,

.7T77

令区+2E,髭Z,

712JT

r-+内r,k&L,

63

n27r

故了(%)的单调递减区间为[二+hr,—+ku],keZ.

63

(2)由,f(A)=2sin⑵+1)+1=2,,得sin(2A+Q=1.

7TTC13TT

9：Ae(0,n),・・・2A+器(-,一),

6

：.2A+l=^-,得A=。

oo3

•.*SAABC=^bcsinA=苧，b=1,

•2S&ABC_2_

-c-岳布T-V3Xy行-29,

由余弦定理得a1=b2+c1-2hccosA=\+4-2X1X2x|=3,

・・・。2+房=。2,「•△ABC为直角三角形.

17.(13分)2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COV/O-9病毒基因序列公布后，科

学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，

不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接

种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周

1

期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为5,假设每次接种后当天是否出现抗体与上

次接种无关.

（1）求一个接种周期内出现抗体次数4的分布列；

（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：

①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验

持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X元；

②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持

续三个接种周期，设此种试验方式的花费为丫元.本着节约成本的原则，选择咖种实验

方案.

1

【解答】解：（1）由题意可知，随机变量/服从二项分布B（3,-）,

故P（k）=鹰&）吗尸，（后=0,1,2,3）.

则k的分布列为：

k0123

P1331

8888

(2)①设一个接种周期的接种费用为：元，则？可能的取值为200,300,

1Q

因为P(？=200)==，P(《=300)=

1Q

所以E(p=200x4+300x1=275.

所以三个接种周期的平均花费为E(X)=3E(0=3X275=825.

②随机变量丫可能的取值为300,600,900,

设事件A为''在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由(1)知，+<

ooZ

所以P(r=300)=P(A)=1,

、/、/、1

P(zy=600)=[1-P(A)]P(A)=4，

P(y=900)=[1-P(A)][1-P(A)]Xl=i,

111

所以E(Y)=300xi+600xJ+900xJ=525.

因为七（X）＞E（y）.

所以选择方案二

18.(14分)在四棱锥P-ABCQ中，用_L平面ABCZ),底面ABC。是正方形，JIPA=AD

=2,E,尸分别是棱4。，PC的中点.

(I)求证：EF〃平面PAB；

(II)求证：ERL平面P8C；

(III)求二面角E-PC-O的大小.

BC

【解答】(本小题满分14分)

(I)证明：设G是PB的中点，连接AG,GF

:E,F分别是A。，PC的中点，：.GFW^BC,AE||

：.GFIIAE,...AE/G是平行四边形，||4G…(2分)

；£：尸《平面PAB,AGu平面PAB,

〃平面以B…(3分)

(II)'：PA=AB,：.AG±PB,…(4分)

\'PALABCD,J.PALBC,

又：8C_LAB,.,.BCmPAB,

：.BC±AG,…(6分)

,：PB与3c相交，，AG_L平面PBC,

,JEF//AG,PBC.—(7分)

(III)以AB,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴，

建立空间直角坐标系A-xyz,…(8分)

"：PA=AD=2,

：.E(0,1,0),C(2,2,0),P(0,0,2),F(1,1,1),

设”是PD的中点，连接A”，；AG_L平面PBC,

.•.同理可证Aa_L平面PC。，.•.前是平面PCD的法向量，AH=(0,1,1)-(9分)

EC=(2,1,0),EP=(0,-1,2)

设平面PEC的法向量后=(x,y,z),则丁叶=2%+丫=°,

m-EP=-y+2z=0

令y=2,则x=-l,z=l,/.m=(-1,2,1)…(12分)

TTf—

・J/Th、m-AH3V3々八、

..cosOnAH>=—~：^—=-广产=亍・•••(13分)

・•・二面角E-PC-O的大小为30°.…(14分)

19.(15分)已知函数/(x)=(7-以-“)/+2a,«GR.

(I)若/(x)在x=0处取得极值，求f(x)的单调区间；

(II)若关于x的不等式/(x)>0在(0,+8)上恒成立，求a的取值范围.

【解答】解：(I)由题意知，f'(x)=[』+(2-a)x-2a]Z,

由/(0)=-2a=0,解得a=0,

止匕时f(x)f(x)=(/+2x)

令/(x)>0,得x<-2或x>0,

令f(x)<0,得-2<x<0,

则函数.f(x)的单调递增区间是(-8,-2),(0,+8),

单调递减区间是(-2,0).

(II)因为/'(x)=[/+(2-a)x-(x+2)(x-a),

当aWO时，/(x)>0在(0,+8)上恒成立，

则函数/(x)在区间(0,+8)上单调递增，

所以当x>0时,，f(x)>/(0)=a20,

所以a=0,

当a>0时，令/(x)>0,解得x>a,

令/G)<0,解得0<x<a,

则函数/(x)在区间(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增，

所以f(x)min—f(a)=-aec'+2a>0,

即ea<2,解得

综上所述，实数a的取值范围是［0,/«2).

20.(15分)已知椭圆C；各，=l(a>b>0)的离心率为手，长轴的一个顶点为4,短轴

的一个顶点为B,。为坐标原点，且S^OAB=5.

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)直线/：y=x+m与椭圆C交于P,Q两点,且直线/不经过点M(4,1).记直线

MP,MQ的斜率分别为幻，3,试探究修+公是否为定值.若是，请求出该定值，若不

是，请说明理由.

【解答】解：(I•椭圆C：圣+塔=l(a>b>0)的离心率为当长轴的一个顶点为4,

短轴的一个顶点为8,。为坐标原点，且SAOAB=5.

伽匕=5傍=20

由题意知，\a2-b2=c2,解得炉=5，

c_而\c2=15

x2y2

故椭圆C的方程为菰+-=L

205

(II)结论：向+依=0，为定值.

证明如下：

设P（xi，y\）,Q（12,经），

y=%+m

联立2,得57+83+4m2-20=0,

（20+Ty=1

△=（8〃力2-20（W-20）>0,解得-5<5,

.,8m4m2-20

•・X]+%2=--「，=-----5-----.

..,,_力一1工y2T_（丫1-1）（%2-4）+（及一1）（巧一4）

・・勺十42―十-（勺-4）（.2—4）

+m—1)(%2—4)+(%2+M-1)(%1—4)2%]%2+(血—5)(%+.2)-8(m—1)