2022届复习必备-2021届浙江省高考冲刺数学试卷分项解析5

2022届复习必备-2021届浙江省高考冲刺数学试卷分项解析

专题5.平面向量与复数

第一部分平面向量

一、单选题

1.（2021•宁波中学高三其他模拟）已知A。是直角三角形ABC斜边BC上的高，点P在D4的延长线上,

且满足（而+网•而=4应，若AD=6,则方.正的值为（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】A

【分析】

设NDPC=a,NDP3=£,化简（刖+无）•通=40,可得|叫=2,再利用数量积的公式展开方.定，

利用三角函数恒等变换公式化简即可

【详解】

解：设NDPC=a/DPB=/3,

\11（PB+PCyAD=4y/2,AD=42,得.收cos"+p。•夜cosa=4夜，

所以网•言+图.相=4,所以|叫=2,

因为AD是直角三角形A8C斜边BC上的高，所以|8|怛£）|=|明2

所以方•斤=|而H正|cos（a+〃），

=|PB^|P（?|（cosacos-sinasin0）

-陶用（22\CD\|fiD|

T叫叫（冈・西-西•阿）

=4-|A£>|2=4-2=2,

故选：A

2.（2021•浙江杭州高级中学高三其他模拟）正2021边形A4…4。21内接于单位圆。，任取它的两个不同的

顶点A,,4,构成一个有序点对（A，4）,满足|西+可口的点对（4,4）的个数是（）

A.2021x673B.2021x674C.2021x1346D.2021x1348

【答案】c

【分析】

先通过向量模的运算公式，可以计算包C0S62-；1,即。422万,既可以得出答案.

【详解】

2

|a4l+O4J=2+2cos^>l,cos0>-1,所以④I,网的夹角不超过弓，对于任意给定的次…因为

子+施=673.66,满足|OA+0M±1的向量04的取法共有673x2=1346,再让丽动起来，可得点对

（4,4）的个数是2021x1346,

故选:C.

3.（2021.浙江镇海中学高三其他模拟）已知平面向量1,5满足忸+同=卜/=2,则卜-25|的值可能为

（）

A.1B.2C.—D.—

33

【答案】D

【分析】

先由题中条件，得到15=-躯2邛1=4一2同220,同242,再由向量模的计算公式，直接计算卜-25],

得到卜-242n,即可得出结果.

【详解】

因为忸+4=卜叫=2,

所以4同2+4无5+=同一一24d+忖,贝！同2,

）C\a-b^=\af-2a-b+\b[=4,则2同2+^=4,所以好=4-2间?20,则同72,

因此卜-26=刎-4无5+4好=J同2+2同2+16-8,=J16-5,>R,

故ABC都不能取得，只有D选项能取得，

故选：D.

4.（2021.浙江学军中学高三其他模拟）设£石为非零向量忖=2忖，则,与各一£的夹角的最大值为（）

【答案】A

【分析】

利用数形结合画图求出答案.

【详解】

作图，不妨令方=£,而=B，.♦.5一2=而

；.B与B-£的夹角为NOBA,

故N0R4最大值就是AB与圆相切时，

此时ZOAB=90°08=2OA,所以/OBA=£.

A

故选：A.

5.(2021.浙江)已知£出为单位向量，向量"满足|2工+£|=|£»|,则|(?-目的最大值为()

A.正B.2C.5/3D.3

【答案】B

【分析】

由|2才+町=|万⑸得万痂，说明的终点的轨迹是以的终点为圆心，；|必5|为半竹的圆，|e-6|

的最大值是圆心与5的终点之间的距离加上半径，即为1石-(~|)1+目口石I,再将其化成G,万的模和夹角可

解得.

【详解】

解：由|2?+a|=|丽得曲，说明己的终点的轨迹是以的终点为圆心，加向为半径的圆，

\c-b|的最大值是圆心与5的终点之间的距离加上半径，即为出-(-多|+；|万⑸,

Jl+；+cos<a,6>+g|cos<a,b>|

=2,(当且仅当cos<5,b>=1时取等号).

故选：B.

6.(2021•浙江省宁海中学高三其他模拟)已知平面非零向量3n,2满足

{£,可={「||£-2|=32},"©口仅-£).[-5)=0},则对于任意的/使得(£-2)〃0-2)()

A.(同)伍/)40恒有解B.(口卜1)0/)40恒有解

C.(同-2)伍.小0恒无解D.(问-3)伍小。恒无解

【答案】B

【分析】

设O£)=4=(r,0),OU=〃=(x,y),其中r>0,i£OA=a,OB=b,OC=c

则有J(iy+J=b,即(1一八)/-2“+，+/=0,然后分r=i,0<r<l,r>l三种情况讨论，再根

据直线A8是过点D的直线与圆锥曲线E的两个不同的交点和点C在以A8为直径的圆M上，分析圆例与

相应准线的位置关系，即可求解.

【详解】

解：iScOD=d=(r,0),(9t/=u=(x,y),其中r>0,记OA=a,O月=B,OC=c

则有J(x-r)2+3=次，即(1--2rx+r2+/=O.

若r=l，则点U的轨迹是抛物线，方程为氏y2=2x-l,点。恰为抛物线E的焦点,

则AB是过点D的直线与抛物线E的两个不同的交点，点C在以AB为直径的圆河上,

此时22对.

若0。<1，则点U的轨迹是椭圆，方程为E：(匕二)•——」Y+Uy2=l，

r4Il-r2Jr4'

点。为椭圆E的左焦点，》轴是椭圆的左准线，A8是过点。的直线与椭圆E的两个不同的交点，点C在以

A8为直径的圆M上，此时圆M与准线相离，故A2>0.

若r>l,则点U的轨迹是双曲线，方程为氏(七)(x__」丫_±」2=「

点。为双曲线E的右焦点，》轴是双曲线的右准线，AB是过点。的直线与双曲线E的两个不同的交点，点

C在以A8为直径的圆〃上，此时圆M与准线相交，故37可正，可负，可零.

所以，当0<11时，恒有（同）伍力>0,故A错误；

当r>l时,（p|-2）-（c-d）<0,与（即3）伍小0均有解,故C,。错误；

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：利用坐标法，｝^OD=d=（r,0）,OU=u=（x,y）,其中厂>0,记砺=£,而=反反="则有

"（if+y2=加,即（1—广厅―2“+/+/=0,然后分「=1,0<r<l,/三种情况讨论，将原问题

转化为判断圆M与准线的位置关系，从而解决问题.

二、双空题

7.（2021•浙江高三其他模拟）已知单位向量a与5,满足仅+5丫=1,则1与5的夹角为：若向

量？满足加+（2-to»=K<ye[0,2]）,则同的取值范围是.

【答案】争

[1.2],

【分析】

依题意求得弧5,进而可得cos（a,»,从而可得2与5的夹角；将碇+（2-。）5=1平方可得

c2=3苏-6694-4,结合[0,2]可得同的取值范围.

【详解】

依题意知同=问=1，由（4+盯=1得容+2必办户=1，解得万石=-；,则c°s（万，②=百百=弓，

又他5月0,同，所以仅»=等;

将函+（2-0昉二乙平方,得32=#12+20（2-刃）无5+（2-0252=3疗-669+4,因为口«0,2],所以

同=,3疗-6啰+441,21

故答案为:①争;②[1，2].

8.（2021•浙江省杭州第二中学高三其他模拟）在A43c中，48=3,AC=2,A=60,AG=mAB+AC，

则|而|的最小值为,又若而，血，则％=.

【答案】732

6

【分析】

利用平面向量数量积的运算律和定义订•算而2,将其转化为有关于阳的二次函数的最小值，可得出|而|的

最小值，由而，而，得出AG-BC=（/nAB+AC>（AC-AB）=O,利用平面向量数量积的运算律和定义可

求出实数加的值.

【详解】

uinn。/uunuufl\2utikumHimuuu、7

AG=（，〃A8+AC）^nrAB+9〃滔网CH4AC3=th2+?m+=（m+）+,

所以当3，〃+i=o时，Bq取最小值后；

因为而_L而，所以

uumuun,uunuun、/uumuun、uunuumuun^utun^i

AGBC=（mAB+ACy（AC-AB）=（m-｝）ABAC-mAB+AC=3（加一1）-9m+4=0,解得机=4,故答案

1

回6

6-

9.（2021.全国高二单元测试）已知）》是空间单位向量，7石=0,若空间向量"满足：。/=2,卜卜加,

贝平+B+[=,对于任意x,yeR,向量£与向量1+y力所成角的最小值为

【答案】3亚7

4

【分析】

由题意得：@+『+和而+B+请,根据数量积公式及题意，代入数据，即可求得答案；

设向量工与向量工+y%所成角为。，根据求夹角公式，令-=f4十算可得cos。=凉+普,令

/«）=J4/-3,（r>0）,利用导数判断其单调性，求得最值，即可求得cos。的最大值，即可得答案.

1+r

【详解】

由题意得：弧+石+4=加+5+卜=漏『+印+用+2£石+27工+防2

=71+1+10+0+2x1+2x2=718=30.

因为+2xya-b=^x2+y2

设向量"与向量x”+yb所成角为。，

c•(xa+yb)_xa-c-\-ybc_x+2y

所以8S6=

/A/TO.卜4+词5/10-yjx2+y2'

当x>0,y>0时，夹角才可能最小，令上=f(t>0),

x

x+2y1(x+2y)21卜2+4),2+4盯iI4f-3

则cos0=

历小;+y?Vioyx2+y2-Vioyx2+y2-MN+1+t2

4/-3,‘c、八4(l+r)-2r(4r-3)-2(2r+l)(r-2)

令/⑺(r>0),贝ijf(力=---------------=—-_7-；-----

1+t2(1+广产(1+r)2

所以当止(0,2)时-，/(0>0,/⑺为增函数,

当fe(2,y)时，(⑺<0,/⑺为减函数,

所以fQ)g=f(2)=l,

所以8$电„=加"；［=等，即禽”=£

117T

所以向量C与向量MM所成角的最小值为彳.

故答案为：3亚；—•

三、填空题

10.(2021•浙江高三其他模拟)己知向量&,5满足,+4=3,ab=Q.若E=〃+(l—4)5,且乙&=m5,

则同的最大值为.

【答案】4

【分析】

令行=丽，5=丽，利用已知作出以为直径作直角三角形的外接圆O,令丽=丽，连接MN.设

c=AC，由已知点C在直线MN上，

【详解】

令力=俞，B=确,则1+5=而+砺=砺，故|而1=3,又无5=0，所以乩以A8为直径作

直角三角形AW的外接圆。，进而得出当两_L四时，/即同取得最大值.

令丽=丽,连接MN.设e=而，因为了=位+（1-义＞5,所以点C在直线脑V上，又鼠&=小5，所以

落仅-5）=0,即配.两=0,所以/_L柘.结合图形可知，当丽旗时，，正即同取得最大值，且

同=|羽=|.

3

故答案为：—

11.（2021•浙江效实中学高三其他模拟）已知点P为AABC所在平面内一点，满足mPC=-3PA+而，（机＞0）,

-S,则m=

SA/PWKC=3AA/JKCC八J

【答案】7

【分析】

建立平面直角坐标系,设3（。,0）,A（%,%），P（x,y）,依题意可得、=±会，根据加%=-3而+丽，即

可得到y与%的关系，即可求出参数的取值;

【详解】

解:如图建立平面直角坐标系,设5（a,o）,P（x,y）,由％c=gs-所以尸±5，所以

PC=(-x,-y),PA=(%-x,%-y),PB=(o-x,-y)

3x-a

x=Q

-fwc=-3xa+3x+a-x;+机，又＞=±^

由无=-3⑸+而，所以“r：+3i’所以

3%3

y=2+"?

所以弃「=土=，解得m=7或%=—11,因为旭＞0,所以m=7

2+tn3

故答案为：7

若空间向量；满足，a=xe.+ye2（尤，”R）,「卜2,则j3的最大值是.

【答案】空

3

【分析】

由：=及模长公式，求得』+/+盯=4=>*+），）2-4=盯+“；>）,从而求得

2

(x+y)<y=>|x+y|<^^-,将问题化为。=^xet+ye^-e,=gx+；y求得结果.

【详解】

由题知,

=\jx2+y2+xy=2

贝UY+y2+盯=4n(x+y)2-4二盯《"+))

4

「此4百

则(x+y)2<y=>,引-y

—>—>—>—>A-4”弁嗅当且仅当Ak士孥时,等号成立.

xe{+ye2•%

故答案为：—

3

->TT||TTT

13.（2021•浙江）已知平面向量工工梃满足，=《+』则3a；a；+2H+IZ的最小

123

值是.

【答案】-14

【分析】

、—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>

以m=4+4，〃=4+。2+/，<a},m>=a，<《，〃>=夕，<m,n>=y，

则Z=2,卜卜2,卜卜3,将问题化简，转化为夹角的关系，求得最小值.

【详解】

,..—>—>—>—>—>—>—>—>―>—>—>—>—>

以/%=《+4，〃=4+。2+。3，<%,，〃>=a，<a、,n>=（3，<九〃>=y，

则卜卜2,卜卜2,卜卜3,

.—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>

3aI-a2+2aI-a3+«2-«3=3%《m一4）+24•（〃一/%）+（根一%）•（〃一〃7）

->2-2

=24•a】•〃+tn-n-m-3%

=2x1x2cosa+1x3cos/+2x3cosy-7

=4cosa+3cosp+6cos/一7

由题意知，cosa=cosy=-l时，根据向量相关性知，此时cos4=1,

34.%+2卬4+。2，。3取得最小值T+3-6-7=-14

故答案为：・14

14.（2021•浙江高三其他模拟）已知平面向量d,B不共线，且同=1,ab=\，记加与20+5的夹角是凡

则e最大时，卜-.=.

【答案】上

【分析】

把cose表示为向的函数，利用函数的性质求出当。最大时向的值，进而可求出卜-目的值.

【详解】

设W=x(x>0),

则及仅a+/7)=2a-B+B-=2+x2,

4a~+4a-b+b-yjs+x2,

b-(2a-vb\o।r2

所以cose=

网2〃+qXA/8+X

易得cos6>0,

2

1+2：11

COS?。=

--124-="

x11___]_

)12

(-2-J+2X2+2-6i年

当V=4时，cos2。取得最小值，。取得最大值,

止匕时\a-b\=yla2-2ab-\-b=Jl-2+4=・

故答案为：上.

15.（2021•全国高一课时练习）已知平面向量羡了满足|j=1，2<ab<3'贝1」|12小的最小值是

【答案】3

【分析】

由2（^<3得卜卜[2,+oo）,结合模长求解过程，得到|〃—>一2—以>2,1一4卜卜4力之，根据二次函数的性质，结

合基本不等关系，求得最小值.

【详解】

T-»cos<a,b[2,3],贝ij|/?|e[2,+8),

ab=

f—2l-4|z?|cos<6Tf,ZT?>+4f-e2之11一4方+4M,易知”1M=2时,

\a-2b\=一4〃・/?+4b

|a-2b|最小为Vl-4x2+4x22=3，

此时cos<>=1，a,/?同向•

故答案为：3

16.（2021•浙江瑞安中学高三其他模拟）在四边形ABCQ中，点E,F分别是AO,BC的中点，设而•m=x，

ACBD=y,若=EF=l,CD=B则孙的最小值为.

【答案】二

16

【分析】

画出图形，结合图形，先求出福觉的值，再利用而展=x,AC.BD=y,得到X与y的关系，再结合二次

函数的性质即可得出结论.

【详解】

解：如图所示：设­.•AB=AE+EF+FB=EF+AD~BC,

DC=DE+EF+FC=EF+~AD+BC,

2

两式相加得：西=A8;DC①

QAB=壶,EF=\,CD=6,把①平方可得

1宿+第+2福反2+3+2而灰.AB，QC=_L

442

又AD.BC=(OD-OA).(OC-函=OD^C-OD.OB-OA^C+OA.OB

=x,

•*-OD.OC+OA.OB=x^Ob.OB+OA^OC®.

又AC.BD=(OC-OA)^OD-OB)=OD^OC-OB.OC-OA^D+OA^OB

=(OD.OC+OA.OB)-OS^C-OA^OD=yf

二.OD.OC+OA.OS=OB.OC-OA^OD+y@.

根据②③可得，x+0D.0B+0A.0C=08.0C+0A.0D+yf

x-y=-OD.OB-OA^OC+OB^OC+OA^OD,

^x-y=OB^DC+OA»Cb=DC^OB-OA)=DC»AB=-^,

即y=g+x,

所以盯=犬(»/++"；)所以x=一；,y=；时’(xy),nin=-^

故答案为：-N.

Io

o

17.(2021.浙江高三其他模拟)已知£为平面内一定点且P回=1,平面内的动点P满足：存在实数221,

使卜。户+(1-2)赤卜g,若点尸的轨迹为平面图形S,贝IJS的面积为.

【答案】三+理

64

【分析】

以。为圆心，以《为半径作圆，过E作圆。的切线西，£8分别与圆。切于点A,B,连结OA,OB,延

KE。与圆。交于点尸，设点2,满足丽=2万+(1-冷而，由；121,则点。在即的延长线上，若要存

在421使得|丽卜g,所以砂的延长线与圆O有交点，从而得出点点P的轨迹图形，从而可求解.

【详解】

以。为圆心，以3为半径作圆，

过E作圆O的切线E4,EB分别与圆O切于点A,B.

连结OA,OB,延长EO与圆O交丁点F,

存在点尸以及实数221,设点。，满足丽=4万+。-冷砺,

OQ-OE=WP-WE,BPEQ=AEP

由义21,可知点。在EP的延长线上，

若要存在A>1使得|而卜;，相当于EP的延长线与圆O有交点，

故尸只能在图中阴影部分，所以点尸的轨迹面积s=S4AOE+SJOE+S扇形OA/r+S闹形BO”

因为£4与圆。相切于点A,所以Q4_LAE,

由勾股定理可知，AE=—,

2

S

所以^AOE=半，同理S^BOE=乌，

OO

An1

因为二7=7，所以4°F=120。，

OE2

所以5扇形A8=$用形8W=§*]■=立

综上所述，s的面积为工+走.

18.（2021•浙江温州中学高三其他模拟）已知向量丽而垂直，且网=|而1=12,若;le[0,l],则

\AAB-AO\+^Bd-（l-A）BA的最小值为.

【答案】15

【分析】

uuuUUU

作正方形OACB,取AB上一点£>,设AC=/IA8，取OB上一点E,满足。£=3,则可得

,福-荷的一（1一2）丽=|OD|+|D£|=|CD|+|DE|,即求EC长度.

【详解】

如图，作正方形。ACB,取A8上一点£）,设第=4薪，2e[0,l].

则4通-而=而-正=而，

3________

取05上一点E,满足0E=3,则彳的一（1-4）丽=曲一（1-；1）明=说,

则,通_呵+

易得（|而|+|诙|）,而=|EC|=>/122+92=15.

故答案为：15.

19.（2021•浙江杭十四中高三其他模拟）已知平面向量江分满足同=1,4-a-b=2\a-h\,则归+闸的取值

范围是.

【答案】[1,3]

【分析】

用坐标法表示向量坐标，设£=（1,0）4=（左丫），J（x+l）2+y2,即求（x,y）与

（-1，0）两点间距离的范围，根据已知等式求出为了关系式，即可求解.

【详解】

设2=（1,0）出=（%丫），由4-76=2归一目，

得4-x=2j（x-l）2+y2整理得上+8=1,

卜+/J=y/（x+1）2+y2表示椭圆上的动点P（x,y）

到定点F（T，。）（左焦点）的距离，

当P点位于椭圆长轴两端点取得最值，分别为L3,

所以B+q取值范围是口,引.

故答案为:[1,3].

20.（2021•浙江高三其他模拟）A04B是边长为6的正三角形，点C满足配=，"砺+〃诙，且机>0,〃>0,

机+〃=2,则|国|的取值范围是.

【答案】[65/3,12）

【分析】

根据题意建立坐标系，写出AB,Q点坐标，表示出区=卜〃-3肛-36加-36〃），再求向量

|QC|=36m2+36/?2+36mn,再根据己知nz>0,〃>0,，”+"=2得〃=2-加，me（0,2）,代入得

|花『=36(m-1)?+108,再根据二次函数的性质求解即可.

【详解】

如图，建立平面直角坐标系，

二A（—3,0）,8（3,0）,Q（0,3G）,二04=卜3,-3右），QB=（3,-36）

/.QC=mQA+nQB=13"z,-36勾+（3〃,一364=（3〃-3"?,-3G机一3石〃）

/.|（2c|=9（n-/n）2+27（/n+n）2=36〃/+36/+36如？,

*/m>Q,〃>0,m+n=2

/.几=2-m,加£（0,2）,

二|蜀2=36[加2+（2-m）2+〃?（2—加）]=36（机-1）2+108,

/.由二次函数的性质知|蜀2e[108,144）,|gc|£[673,12）

故答案为：[66,12）.

21.(2021•浙江高三三模)如图，在AABC中，gf)—[)E=EC,AF=2FB2AM=MD'直线加交AE

于点G,直线MC交4E于点N,若△MNG是边长为1的等边三角形，则而.庆'=.

2

【答案】y

【分析】

->2T->1—>—>A—>

假设公=；1/，首先根据向量共线求得AG=§AE，同理得⑷V=]AE，AG=-GN,最后由于

TT4TTT2

MC=4MN'MA=MG+-NG,从而计算MA-MC=二即可.

【详解】

fT2f1f

解：设AG=/LAE=—zlAC+—44B,

33

T1->1-2ff2T

IfdAM=-AD=-AC+-AB,AF=-AB.

->—>—>1—>A—>

所以尸M=AM—Ab=§AC—§AB,

TfT2f(12、T

FG=AG-AF=-AAC+\-2一一\AB,

3U3)

因为血II亦，所以=,

2

得『，

f2T

所以AG=§AE.

f[T->4f

同理AN=—AE,所以AG=—GN.

25

->T->[T1->(\^2-12TIT

MN=AN—AM=-AC+-AB-\-AC+-AB\=-AC——AB,

36(99J918

—>—>—>Q—>O—>—>

MC=AC—AM=?AC——AB=4MN,

99

->->->->4-

MA=MG+GA=MG+《NG,

所以MAMC=(MG+《NG・4MN=4"N.MG+《MN.NG=2—g=w.

22.(2021.全国高三专题练习)已知平面向量1上,1满足：同=2,|*=1帆=同,,=0,则京

的最大值是.

【答案】G+1

【分析】

先得到<反»=2,然后假设坐标，得到各的终点坐标满足的方程，同时得到"的终点的轨迹方程，最后使用

参数方程进行求解，计算即可.

【详解】

由("_g")"=0n八"一3^=0，又|可=同，所以可知cos(B,»=；

又〈£21[0,句，所以(硝=?

设a=(2,0),B的终点为B(x,y),"的终点为c(m,〃)，其中〃2O,y2O

山卜=1n(x-2)~+)2=1①，设/BOr=e,

则cos®=

/2'>/2,

W+y4厂+»

8n+m

x=-------

2

所以②

n-yl3m

=次+/""讣台张y=-------

2

将②代入①并化简可得(m-炉+(n-73)2=l

"7=1+COS(p

令设

〃=G+sing

所以1Y=Jcos2e+3+sin2e+2Gsin°="+26sin°

="+2g=J(G+i)=G+1

当sine=l时，一0

max

故答案为：G+i

23.(2021•浙江高三其他模拟)已知平面内不同的三点O,A,8满足|西|=|荏|=5,若2e[0,l]时,

______2____

\AOB-dAl+(l-A)BO--BA的最小值为屈，则|而|=.

【答案】2逐

【分析】

由题设，将平面向量转化为平面几何图形，8在以A为圆心5为半径的圆上，利用向量加减、数乘的几何

意义分别确定。、E使(1-团丽=丽、-BA=BE,进而可知|彳丽-丽1+(1-㈤丽-石丽表示AD+£D,

若A，是A关于OB的对称点，可知4',。,E共线时">+££>最小，△48《中应用余弦定理求8$454',即可

求|而

【详解】

__2________2一一•

由题设，如下图示，若如=/1。瓦BE=-BA9则(1-4)80=3。，WB-OA=AD^《BA=BE,即

—►2—►—•

(l-A)B0--BA=ED,

_________9_________

：.\WB-OA\+(\-^BO--BA=\AD\+\ED\,即初+即,

若4是A关于OB的对称点，

/.AD=AD，即4)+E£)=A'O+ED，如下图示,

A

A'

当且仅当A,共线时，即47)+£。=4%="1最小，

：|两=|函=5,即48=5,BE=2,

25+4-413

J此时，△A'BE中，cosZEBA=,而34&4'=2852450-1且4480为锐角,

2x5cx25

AcosZ4B(9=—,而|丽|=2A&COSZA3O=2K.

5

故答案为：2卮

第二部分复数

一、单选题

1.（2021•浙江高三其他模拟）已知i是虚数单位，则（12。=（）

A.3+iB.3—zC.—1+iD.—\—i

【答案】B

【分析】

根据复数的乘法运算，即可得到本题答案.

【详解】

由题意得：

（l+z）（l-2«）=l-2«+z-2z2=3-z.

故选：B.

2.（2021.浙江高三其他模拟）已知meR,若如把是纯虚数，则，〃的值为（）

1

A.0B.-1C.1D.2

【答案】A

【分析】

先利用复数的乘除运算对空小化简，再根据实部为0,虚部不为0即可求解.

1

【详解】

因为"虫=W一i是纯虚数，

11x（-1）

所以〃7=0.

故选：A.

5-；

3.（2021•浙江台州•路桥中学高三其他模拟）已知复数z=~（i为虚数单位），贝ij|z|=（）

i

A.4B.726C.5五D.2屈

【答案】B

【分析】

先由复数的除法运算化简复数z,再求模长.

【详解】

5-z（5-i）i/、

z=—=1.J=-（+5，）=_l-5i

所以|z|==商

故选：B

2—i

4-（2。2】•浙江高三其他模拟）复数而（i为虚数单位）的虚部为（）

A.1B.-1C.D.

22

【答案】D

【分析】

根据复数的除法运算化简可得.

【详解】

5…2—i（2-i）（3-i）5-5z11.

解：因为wr勒号=干=5—I

2

所以复数舒d为虚数单位）的虚部为一;.

故选：D.

5.（2021.浙江效实中学高三其他模拟）已知力=2+i（i是虚数单位），则4=（）

A.-1-2/B.一l+2iC.l-2zD.1+2/

【答案】D

【分析】

先由条件可得z=44，由复数的除法运算化简求出复数Z,根据共轨复数的概念可得答案.

I

【详解】

由zi=2+i,可得z=2+i=（2+?=一（2i—l）=]—2i

多以三=l+2i

故选：D

6.（2021•浙江绍兴•高三二模）已知i是虚数单位，若z=-3+L,,则z2=（）

22

Ai,6Ri百.「i73.i上.

A.---1---1D.--------1C.---1---1LnJ.------1

22222222

【答案】D

【分析】

直接按照平方式公式计算即可.

【详解】

由题可知：z=-迫+L

22

U厂1、12(61?=3一乌+115

所以Z=---+—Z------1

2242422

故选：D

7.（2021.全国高二专题练习（文））已知。＞0,若z=:土（i为虚数单位），|z|=l,则。=（）

1-1

A.1B.拒C.6D.2

【答案】B

【分析】

由已知复数等式有Z=^D,根据复数的模，列方程求参数。即可.

【详解】

,aa(l+i)a(]+i)

由2=^；~~~-=---,又|Z|=1,

1-z(1—z)(l+z)2

2

—=1,而。＞0,可得a=y/2.

2

故选：B

8.（2021・浙江）记复数z,N在复平面内对应的点分别为Z1,乙，其中|OZ1=1,若鬲绕顺时针。点旋

转60。后能与国重合，则彳=（）

R61c.L乌D，乌

Ai

22222222

【答案】B

【分析】

i3l.z=a+bi,z=a-bh可得点4，Z?关于x轴对称，根据题意即可计算。也

【详解】

设z=a+/〃'，z=a—bi，所以点Z1,Z?关于x轴对称,

•・・西绕顺时针O点旋转60。后能与OZ[重合，

6r=cos30c=—»b=sin30=,^z=—+-i,

2222

,-731.

..z=------1.

22

故选：B.

i为虚数单位，则」一+—匚=

9.（2021.浙江杭州高级中学高三其他模拟）已知复数z=l+2i,)

z-lz+l

A.3」43.

B.D.—+—1

5555c—T45

【答案】A

【分析】

根据复数代数形式的除法计算可得;

【详解】

解：因为z=l+2i,所以」+一：=11

+-------=----+

z—lZ+21+2Z-J1+2/+Z1+z1+3/

1-/1-3;

=-------------------1----------------------

(l+i)(lT)(1+30(1-30

1-zl-3z34.

=-------1---------=---------1

21055

故选：A

10.（2021•南昌市八一中学高二期末（文））复数Z=*（i是虚数单位），则z的共辗复数彳=（

)

1+2/

A.-1B.-iC.D.i

【答案】B

【分析】

首先化简复数Z,再求Z的共加复数.

【详解】

-2+i(-2+/)(1-2,)=5」

z=

1+2/(l+2z)(l-2z)5;

所以彳=T.

故选：B

（理））若复数2=炉

11.（2021•江西南昌十中（i是虚数单位）为纯虚数，则实数。的值为（)

A.-2B.2C.D

2-I

【答案】D

【分析】

首先根据复数代数形式的除法运算法则化简，再根据复数为纯虚数，则实部为零，即可得到方程,解得即

可;

【详解】

a+i++2"l+（〃+2）i2a-\a+2a+i

解：z=『=―L=^+k，，因为复数z=fN（i是虚数单位）为纯虚数,

2-iA（2-】）（"2+.，）=------5552-i

所以qi=o,解得

故选：D

12.（2021.全国高三专题练习（理））若复数z满足z（2+i）=7+z•的共丽复数三在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】

由z（2+i）=7+i求得z=今，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共物复数，化简复数z,

由共视复数的定义可得结果