2022届高考数学(文)一轮复习单元测试(配高考+模拟)解析几何

2022届高考数学（文）一轮复习单元测试

第九章解析几何

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）

1、【2022江西师大附中高三下学期开学考卷文】是“直线以+2y+2。=0和直线

3x+7=0平行”的（）

A.充分而不必要条件B,必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

2.（2022辽宁文）将圆xz+yz-2x-4y+l=0平分的直线是（）

A.x+y-l=0B.x+y+3=0C.x-y+l=0D.x-y+3=0

3.（2022广东文）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y-5=0与圆心+产=4相交于A、B两点,

则弦AB的长等于)

A.3/B.2志C.器D.1

1文】双曲线±-产=1的离心率是

4、[2022年石家庄市高中毕业班教学质检)

4

1B小c书

A.-D.

222

X2V2

5、（2022上海春）已知椭圆C。也=1,。：,二.=1,则)

1242168

A.C与C顶点相同.B.C与C长轴长相同.

1212

C.。与c短轴长相同.D.C与C焦距相等.

1212

6.（2022湖南文）己知双曲线C兰-21=1的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程

。2。2

为()

X2V2X2V2X2y2X2V2

A.一-一=1B.—一—二1=1D.一--=1

20552080-202080

7、[2022年石家庄市高中毕业班教学质检1文】已知抛物线y2=2px,直线/经过其焦点且与x轴垂

直，并交抛物线于A、B两点，若|AB|=10,P为抛物线的准线上一点，则AABP的面积为

A.20B.25C.30D.50

8.（2022江西文）椭圆+的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F,F.

12

。2枚

若|AF|,|FF|JFB|成等比数歹!J,则此椭圆的离心率为（）

112I

9.（2022课标文）等轴双曲线。的中心在原点,焦点在x轴上C与抛物线产=1Qx的准线交于A、

8两点，|AB|=4j£则。的实轴长为（）

A.星B.2j2C.4D.8

10、唐山市高三上学期期末统一考试文】已知双曲线的渐近线为了=±指X，焦点坐

标为（7,0）,（4,0）,则双曲残方程为（）

11.过点P（x,y）的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点。与点P关于y轴对称，。为

—►—►—>—►

坐标原点，若3P=2尸A且OQ・A8=1,则点P的轨迹方程是（）

3

A.3%2+分2=1（x>0,y>0）

3

B.3x2—2>,2=1（x>0,）>0）

x2—3>,2=1（X>0,y>0）露+3）2=1（A>0,y>0）

12、【2022武昌区高三年级元月调研文】已知抛物线方程为尸=4x,直线的方程为x-y+4=0,

在抛物线上有一动点P到y轴的距离为，P到直线的距离为，则d+d的最小值为（）

12

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

13.&022粤西北九校联考】点P（2,-1）为圆（X-3%+产=25的弦的中点，则该弦所在直线的方

程是__；

------

14、【2022黄冈市高三上学期期末考试文】已知直线办+>+2=0与双曲线m-=1的一条渐近

4

线平行，则这两条平行直线之间的距离是

15、（2022陕西文）右图是抛物线形拱桥,当水面在/时,拱顶离水面2米，水

面宽4米，水位下降1米后,水面宽米.

16、（2022辽宁文）已知双曲线xzy2=1,点F,F为其两个焦点，点P为双

12

曲线上一点,若PFLPF,则IPFI+IPFI的值为.

12I2

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤）

17.（本小题满分10分）【ft东省青岛市2022届高三期末检测】已知圆的圆心在坐标原点，且恰好与直

线x-y-2J2=0相切.

（I）求圆的标准方程；

（II）设点A（xy）为圆上任意一点，AN轴于，若动点满足

0,0

=（其中加+〃=1,/n,n0,m为常数），试求动点的轨迹方程;

18.（本小题满分12分（2022广东文法平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:犬+匕=1（a>b>0）

1a2bz

的左焦点为F（-1,0）且点P（0,1）在C上.

11

（I）求椭圆C的方程；

1

（II）设直线/同时与椭圆C和抛物线C:y2=4x相切，求直线/的方程.

12

19.（本小题满分12分）（2022年高考（福建文））如图,等边三角形。AB的边长为，且其三个顶点均

在抛物线E：x=2py（p>0）上.

0求抛物线E的方程；

0设动直线/与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相较

Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.

20.（本小题满分12分）【广东省肇庆市2022届高三上学期期末】

一动圆与圆。：（x+2）2+尸=3外切，与圆。：（x-2）2+y2=27内切.

12

力求动圆圆心M的轨迹方程.（II）试探究圆心M的轨迹上是否存在点尸，使直线尸与户O2的斜率

kJ,。=1?若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.

21.（本小题满分12分）【2022年广州市一模文】

已知椭圆/+d.=l的左、右两个顶点分别为4、8.曲线C是以月、E两点为顶点,

4

离心率为正的双曲线,设点P在第一建限且在曲线C上，直线4P与椭圆相交于另一

点T.

C1）求曲线。的方程；

（2）谀点P、T的横坐标分别为为、和证明：小々=3

（3）设A7A5与（其中O为坐标原点）的面积分别为海与&，且有,丽415,

求一曷2的取值范围.

22.(本小题满分12分)【广东省华师附中等四校2022届高三上学期期末联考文】

已知椭圆E+2l=1(a>b〉O)的左焦点为(-JZ0),离心率e=94,M、N是椭圆上的的动点。

Q2/722

(I)求椭圆标准方程；

(^)设动点P满足：。产酎+2。冲，直线OM与ON的斜率之积为一：，问：是否存在定点尸，产，

212

使得『勺|+「勺|为定值？,若存在，求出尸；尸2的坐标，若不存在，说明理由。

(III)若M在第一象限，且点M,N关于原点对称，点M在X轴上的射影为A,连接并延长交

椭圆于点3,证明：MNVMB.

祥细答案

一'选择题

1、【答案】A

【解析】代入，直线or+2y+24=0和直线3x+(a—1)y—a+7=0平行，反之

直线or+2y+2a=0和3x+(a-1)y—a+7=0平行仪。-1)=2X3H2a(-«+7)

或a=-2,所以“”是“直线ar+2y+2a=0和直线3x+(a—1)>-a+7=0平行”的充分而不必要条

件

2、【答案】C

【解析】圆心坐标为(1,2),将圆平分的直线必经过圆心，故选C

3、【答案】B

解析:圆心到直线的距离为d=,5=1,所以弦AB的长等于2〃2一八=2召.

V32+42

4、【答案】C

X2

【解析】双曲线一一产二1中，〃2=4,枕=1=>C2=〃2+枕=5,

双曲线差—>2=i的离心率是e=£=Y3

4a2

5、【答案】1)

【解析】两个椭圆的c=2J5,所以焦距相同。

6、【答案】A

【解析】设双曲线C:n-21=1的半焦距为J则2c=10,c=5.

Q2h2

I)b

又...C的渐近线为)=±_X,点P(2,1)在C的渐近线上，二1=_.2,即。=2氏

aa

又C2=42+82,a=2J^,b了,，C的方程为三一_=L

205

7、【答案】B

【解析】抛物线y'=2px,直线1经过其焦点且与x轴垂直，并交抛物线于MB两点，则|AB|

=2p,|AB|=10,所以抛物线方程为丁=1瓜，P为抛物线的准线上一点，P到直线知的距禽

为p=5,则AABP的面积为1x10x5=25

2

8、【答案】B

【解析】|月&卜一C.I网得|=2c,|6冽=a+C,由|伍一居|,|月冽成等比数列得

(2c)2=(a-c)(a+e)=^a2=5c23e=.

9、【答案】C

【解析】由题设知抛物线的准线为：％=4,设等轴双曲线方程为：X2-产=。2,将x=4代入等轴双曲

线方程解得y=±416-。2,V|AB1-4^3,2小6-成=4点,解得a=2,

；.c的实轴长为4,故选C.

10、【答案】D

【解析】双曲线的渐近线为y=±J3x,焦点在轴上，双曲线方程设为》2-二=入0>0)

X2V2j

即了友=11。2=九,拉=3入，•・,焦点坐标为(-4,0),(4,0)/.

X2V2

C2=a2+b2=4入=16=>九=4双曲线方程为_-_=1

412

11、答案D

3设Q(x,y),贝UPC笆代)，由丽=2国，

pX,O),B(0,3y)...AB/3y).

从而甑办f=a,y)(3乙

AB/3y)=1.

得32+3”=1其中-v>0,y>0,故选D.

/

12、【答案】D

【解析】本题主要考查抛物线定义以及点到直线的距离公式以及最值问题以及转化的思想.属于基础知

识、基本运算、基本能力的考查.

由抛物线的定义，PF=,d=PF-1

1

d+d=d+PF—1,显然当PF垂直于直线

122

x-y+4=0时，cl+d最小。此时d+PF为F到线

122

|1-0+4I

%-y+4=0的距离为'_________

32+12

«+4的最小值为1

二、填空题

13、【答案】x+y-1=0

【解析】点2(2,-1)为圆(*-3)2+>2=25的弦的中点，则该弦所在直线与PC垂直，弦方程

x+y-1=0

14、【答案】智

5

［解析］双曲线柒_21=1的渐近线=x2_」=0,不妨设双曲线总__=1的一条渐近线为

444

2x_y=0,

ax+y+2=0与2x-y=0平行，.\a=-2,在直线2x-y=0上取一点A(1,2)

I-2-2+2I

A到or+y+2=0的距离就是这两条平行直线之间的距离为।'

J22+12

15、【答案】2乖

解析：建立如图所示的直角坐标系，则抛物线方程为％2=-2y,当y=-3

时，％=土/，所以水面宽2J百米。

16、【答案】

【解析】由双曲线的方程可知a=1,c=|竺卜2a=2,

••.|P邛一2吃|”+的1=4

PFVPF^,,-.|PF|2+pF'=(2C)2=8,.'.2|PF||PF|=4,

.•.(|PF|+|PF|)2=8+4=12,.-・巴l+归身=24

三、解答题

17、解：（I）设圆的半径为小圆心到直线4距离为d,则0=匚速i=2

1

所以画G的方程为f+/=4

（II）设动点Q（x,y）,北%yj,出Ux轴于"，7V（%，0）

‘x=(就+")%=X。

由题意，（"）=后（湎,加十附（如Q）,所以＜

J=«%

22

%=x1vv

15将H(x,—y)代入X?+9=4,得---H--y=1

%=—ym44m

m

()()O2I2

18、解析：(1)由左焦点F1,0可知<:2=1,点「0,1在C上，所以一+一=1，即fo2=1，所以

1102b2

X2

02=拉+。=2,于是椭圆C的方程为—+?2=1.

12

(II)显然直线2的斜率存在,假设其方程为y^kx+b.

fA2/、

_+y2=1()

联立〈2，消去y,可得2k2+1x2+4kbx+2b2-2=0,由

[y=kx+b

(>()()22，y2=4x

A=4kb-42k2+12b2—2=0可得2k—b+1=0①.联立《，消去y,可得

[y=kx+b

k2x2+（2姑-4）x+枕=0,由A=（2姑—4>—4b2k2=0可得的=1②.由①②，解得厂=~2"或

b=W

1=-W/平

《百，所以直线方程为），=$_X+#或y=-5x-0.

[b=-^2

19、【解析】（1）依题意pB|=8W，/8。丫=30。设点8区丫），则*=86•sin30°=4/5

¥=85/3♦cos30»=12,，B（475,12）在抛物线上，（4/）2=2pX12,，p=2,

抛物线E的方程为X2=4y

⑵设点用。

F（4,），XWO.y'=Lx3

111.

切线方程：广必二万飞（左一、），即产不为汽

乙乙

11r]fX\"4'

由F干得X看.・・Q（骡一）

7-1J[Y=-I°

],里2c-4.____

设乂

M（0,）；,MP=（x0）y0-7i）MQ=—-1r%，*'立P-MQ-ti

2勺

x?—41

'—70-旷防+力+犬也又治=7瓶心10》.•.联立解得y=1

2x04

故以PQ为直径的圆过y轴上的定点M（0,1）

20、解：（1）设动圆圆心为M（x，y）,半径为R.

由题意，得|加。|=而+R,〔M0|=3而一/?,

12

...|MO|+|M。1=4而，由椭圆定义知M在以0,0为焦点的椭圆上，

1212

且a=2芯,c=2,A=42-C2=12-4=8.

.X2y2

••动圆圆心M的轨迹方程为2_=1.

128

（II）由（I）知动圆圆心M的轨迹是椭圆，它的两个焦点坐标分别封（-2,0）和O（2,0）

12

设P（x，M是椭圆上的点，由左-k=1得一匚.>=1,（xw±2）

p

oPO2x+2x-2

即*-产=4(xw±2),这是实轴在X轴，顶点是椭圆的两个焦点的双曲线，它与椭圆的交点即为

点九由于双曲线的两个顶点在椭圆内，根据椭圆和双曲线的对称性可知，它们必有四个交点.

即圆心M的轨迹上存在四个点尸，使直线与P。2的斜率左-k=1.

1P(\P02

y2()

21、(1)解：依题意可得A(—1,0),B(1,0),设双曲线的方程为班一=1。〉0,

加

因为双曲线的离心率为，所以—:竺=有,即.

所以双曲线的方程为心-二=1

4

0设点P(x,y)、T(x,y)(x>0,>>0,i=1,2),直线的斜率为()，则直线的方程为

1122ii

y=k(x+1),

jy=Mx+1),()

联立方程组〈I尸_1整理，得4+旌X2+2A2X+々2-4=0,

\x2+-1■

l彳

4-k24一女2

解得％=-1或》=.所以X=.

4+k224+k2

4+攵2

同理可得，工.所以X=1.

14一2212

&解：设点P(x，y)、T(x,y)(X>0,y>Q,z=1,2),

1122ii

则~PA=(-1-x,-y\~~PB=(1-x,-y).

1111

因为摩・超415,所以(一1一x)(1-X)+#415,即x2+y2«i6.

11111

因为点在双曲线上，则X2一上=1,所以X2+4x2-4W16,即X2«4.

14111

因为点是双曲线在第一象限内的一点，所以1<x<2.

1111

因为S=_|AB||y|=|yI，S=_|。311yl=_及|,

12212(22)(1早1

所以S2-S2=y2--y2=4-4x2-X2-1=5-%2-4X2.

122412112

由（2）知，x•尤=1，即1=_.

122X

1

4

设1=工2,则S—S-=5—t——.

112t

（\4,（\4（2-）（2+1）

设/（“=5-/一_,则/'（，）=-1+_=,

t"t2

当l<f<2时，/'G）>0,当2<f<4时，，f'G）<（）,

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

因为/（2）=1,/（1）=/（4）=0,所以当，即x=2时，（S2—S2）=/（4）=0.

1,I,2min

当，即X=#时，G2T2）=/（2）=1.

1।2max

所以S2—S2的取值范围

1为・2