2022届陕西省窑店高考数学必刷试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

则上=（

1.已知正四面体的内切球体积为力外接球的体积为匕)

V

A.4B.8C.9D.27

2.复数二的虚部是（）

1+21

A.iB.-iC.1D.-1

厂+□—20

3.设实数二二满足条件三一三+30则二+二+1的最大值为（）

【0

A.1B.2C.3D.4

4.已知a=ln3,b=log3e,c=log.e,则下列关系正确的是（）

A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

5.若复数z=2加一l+mi在复平面内的对应点在直线了=一次上，贝匹等于（）

,,.11.11.

A.l+zB.1—iC.----------1D.------1—i

3333

6.已知i为虚数单位，若复数二满足二•=彳-i,则z=()

1+21

A.1+iB.-1+iC.l-2iD.l+2i

7.已知三棱锥P—ABC中，AABC是等边三角形，AB=473,PA=PC=275,PA1BC,则三棱锥P—ABC的

外接球的表面积为()

A.254B.757rC.804D.100»

IPMI2

8.已知点M(2,0),点P在曲线V=4x上运动，点F为抛物线的焦点，则，八…，的最小值为()

1^1-1

A.V3B.2(V5-1)C.4y/5D.4

9.已知锐角。满足2sin2a=1-cos2a,则tana=()

1

A.-B.1C.2D.4

2

c*

10.已知复数2=二，则|z|=()

A.1+iB.l-ic.V2D.2

11.一个陶瓷圆盘的半径为中间有一个边长为4c僧的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形

花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率〃的值为（精确到0.001）（）

A.3.132B.3.137C.3.142D.3.147

12.设i是虚数单位，若复数z=l+i,则囱+z2=（）

Z

A.1+zB.l-iC.-l-iD.-1+i

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.双曲线《=1的焦距为________，渐近线方程为________.

54

14.“六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.某校在周末学生业余兴趣活动中开

展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的

不同安排种数为.

15.如图所示，点A（l,2）,8均在抛物线），2=4x上，等腰直角AABC的斜边为8C,点C在x轴的正半轴上，则点

B的坐标是.

16.从编号为1,2,3,4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第

一次抽得的卡片上数字整除的概率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（x）=e'—x+；x2.

（1）若工尸々，且/（内）=/（々），求证：须；

（2）若xeR时，+ax+h,求ab+匕的最大值.

18.（12分）如图，已知在三棱锥P-ABC中，P4_L平面ABC,E,F,G分别为AC,PA,的中点，且AC=2BE.

p

c

(D求证：PB1BC；

(2)设平面EFG与BC交于点”，求证：H为BC的中点.

19.(12分)已知/(幻二^+④^+笈,々,。^^

(1)若6=1,且函数/(X)在区间上单调递增，求实数a的范围；

(2)若函数/(x)有两个极值点当产2.,王＜々.且存在占满足为+2%=3%2,令函数g(x)=/(x)―/(x0),试

判断g(x)零点的个数并证明.

20.(12分)数列｛a,J满足#0,q=1且。，…一+3。“+|。，=0.

(1)证明：数列，，，是等差数列，并求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛4•4什J的前”项和S”.

21.(12分)如图1,在边长为4的正方形ABC。中，E是A。的中点，尸是CO的中点，现将三角形。£户沿族翻

折成如图2所示的五棱锥P—ABCFE.

(1)求证：AC〃平面「£尸；

(2)若平面PE/，平面ABCFE,求直线与平面以七所成角的正弦值.

22.(10分)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面Q钻为等腰直角三角形，8C，平面

PAB,PA=PB,AB=BC=2,AD=BD=y[^.

(1)求证：~4_L平面PBC；

(2)求直线PC与平面％。所成的角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

设正四面体的棱长为1,取BC的中点为O,连接AO,作正四面体的高为首先求出正四面体的体积，再利用

等体法求出内切球的半径，在RfMMN中,根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解.

【详解】

设正四面体的棱长为1,取的中点为。，连接A。，

作正四面体的高为

AC

则==24。=走,

233

PM=y/PA2-AM2=—,

3

吃…旦逅=立,

EC34312

设内切球的半径为广，内切球的球心为。,

则VP-ABC=4%一.=4*；x当r，

解得：r=旦;

12

设外接球的半径为R,外接球的球心为N,

则—/或|R—PM，AN=R,

在&AAMN中，由勾股定理得：

AM2+MN2^AN2,

/+j"=R2,解得/?=逅，

334

故选：D

【点睛】

本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式,

属于基础题.

2.C

【解析】

5/5/(1-2z)10+5/5i

因为=2+，，所以的虚部是1,故选C.

1+2/(l+2z)(l-2z)5l+2i

3.C

【解析】

画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.

【详解】

如图所示：画出可行域和目标函数，

二=二+二+/,即二=一二+二一八二表示直线在二轴的截距加上1,

根据图像知，当二+二=2时，且二二时，二=二+二+1有最大值为三

故选：二

【点睛】

本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.

4.A

【解析】

首先判断。，上c和1的大小关系，再由换底公式和对数函数y=lnx的单调性判断仇c的大小即可.

【详解】

因为a=ln3>lne>l,b-loge--,c-logye=—,l<ln3<ln^-,所以。<力<1,综上可得c<Z?<a.

3In3In7t

故选：A

【点睛】

本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

5.C

【解析】

由题意得2〃7-1+〃7=0,可求得，〃=g,再根据共扼复数的定义可得选项.

【详解】

由题意得2加-1+m=(),解得，〃=：,所以z=—1+!i,所以1=一工一工，，

33333

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的几何表示和共扼复数的定义，属于基础题.

6.A

【解析】

分析：题设中复数满足的等式可以化为Z=3+i,利用复数的四则运算可以求出z.

1+2/

详解：由题设有三=-^一+，=1-2，+，=1一"故z=l+i,故选A.

l+2z

点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共粗复数，属于基础题.

7.D

【解析】

根据底面为等边三角形，取8c中点可证明8CL平面Q4M,从而BC工PM,即可证明三棱锥产一ABC为

正三棱锥.取底面等边AABC的重心为。'，可求得P到平面ABC的距离，画出几何关系，设球心为。，即可由球的性

质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积.

【详解】

设"为8C中点，AABC是等边三角形，

所以AA/L3C,

又因为B4_LBC,且Q4nAM=A,

所以平面则

由三线合一性质可知PB=PA=PC,

所以三棱锥。一ABC为正三棱锥，A8=46,PA=PB=PC=2底

设底面等边MBC的重心为0',

可得AO'=§A〃=5X6=4,PO'=JPA2_AO'2=120-16=2,

所以三棱锥P-ABC的外接球球心在面ABC下方，设为。，如下图所示：

由球的性质可知，PO_L平面A8C,且尸,0,0在同一直线上，设球的半径为

在RfAAO。中，AO2=AO'2+OO'2>

即屋=16+(/?-2)2,

解得R=5,

所以三棱锥P-ABC的外接球表面积为S=4〃/?2=4〃x25=100%，

故选：D.

【点睛】

本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高,

属于中档题.

8.D

【解析】

如图所示：过点尸作PN垂直准线于N,交y轴于。，贝！J|P尸卜1=|PN|-1=归。|,设p(x,y),x>Q,贝！J

IPMF4

7——=x+—,利用均值不等式得到答案.

|PF|-1x

【详解】

如图所示：过点P作PN垂直准线于N,交y轴于。，则|尸产卜1=|PN|-1=归。|,

设尸(”)，x>。，则①=富=1±2^=^2^…34,

'，|PF|-1\PQ\xxx

4

当x=2,即x=2时等号成立.

X

故选：D.

【点睛】

本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

9.C

【解析】

利用sin2a=2sinacosa,cos2a=1-2sin2a代入计算即可.

【详解】

由已知，4sin<zcosa=2sin2a>因a为锐角，所以sina/0,2cosa=sina,

即tana=2.

故选：C.

【点睛】

本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.

10.C

【解析】

根据复数模的性质即可求解.

【详解】

故选：C

【点睛】

本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.

11.B

【解析】

结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可

【详解】

如图，由几何概型公式可知：¥=」7"烹=%"3.137.

31同冗,1U1Uuu

故选：B

【点睛】

本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题

12.A

【解析】

结合复数的除法运算和模长公式求解即可

【详解】

•••复数z=l+i,...|z|=&,Z2=(1+Z)2=2Z,则且+z2=2+2i=-+2j=i-i+2i=l+i,

''z1+z(l+z)(l-z)

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

iq&.275

13・6y=i--------X

5

【解析】

由题得c?=5+4=9;.c=3所以焦距2c=6,故第一个空填6.

由题得渐近线方程为丫=±去=士半x.故第二个空填y=±2叵x.

14.24

【解析】

分步排课，首先将“礼''与"乐”排在前两节，然后，“射”和“御”捆绑一一起作为一个元素与其它两个元素合起来全排列，

同时它们内部也全排列.

【详解】

第一步：先将“礼”与“乐”排在前两节，有A22=2种不同的排法；第二步：将“射”和“御”两节讲座捆绑再和其他两艺全

排有用人=12种不同的排法，所以满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两节讲座必须相邻的不同安排种数

为用用看=24.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查排列的应用，排列组合问题中，遵循特殊元素特殊位置优先考虑的原则，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用

插入法.

15.（3,273）

【解析】

设出用C两点的坐标，结合抛物线方程、两条直线垂直的条件以及两点间的距离公式列方程，解方程求得8的坐标.

【详解】

设B（a,8）,C（c,0）,（a,0,c>0）,由于6在抛物线上，所以。？=4”.由于三角形ABC是等腰直角三角形，AC1BA,

所以原1%朋=占•三=一1•由|M|=|AC|得J(l—a)2+(2_b)2=J4+(1—C)2,化为

小，V.64

1------+(2-b)=4+-----可得(4一〃『X[16+(2+3[=64X[16+(2+〃)2],所以〃一4=8,解得

4J(2+47

b=2£,则a=3.所以8(3,26).

故答案为：（3,26）

【点睛】

本题考查抛物线的方程和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题.

1

16.-

2

【解析】

基本事件总数〃=4x4=16,第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，由此能求

出概率.

【详解】

解：从编号为1,2,3,4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，

基本事件总数〃=4x4=16,

第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，分别为：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),

(2,2),(2,4),(3,3),(4,4).

Q1

所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为

162

故答案为!.

【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析；(2)

2

【解析】

(D利用导数分析函数y=/(x)的单调性，并设斗<々，则不<0,%2>0,将不等式五户)<0等价转化为

证明西+马<0,构造函数〃(x)=/(x)-/(T),利用导数分析函数y=〃(x)在区间(—,0)上的单调性，通过推

导出〃(西)<0来证得结论；

(2)构造函数G(x)="-x-ax,对实数，，分"7、a=—1、a>-1,利用导数分析函数y=G(x)的单调性，

求出函数y=G(x)的最小值，再通过构造新函数/一/inf,利用导数求出函数y=的最大值，可得出

次?+)的最大值.

【详解】

(1)r(x)=/-l+x,/"(x)=，+l>0,所以，函数y=/'(x)单调递增，

所以，当x<0时，/'(x)<0,此时，函数>=/(力单调递减；

当x〉0时，/'(x)>0,此时，函数y=/(x)单调递增.

要证立爱)<0,即证七+乙<0.

不妨设不<电，贝!I石<0,x2>0,

下证x2<一%，即证/(否)=/(/)</(—玉)，

构造函数〃(x)==e*++x+gx[=e*_e-*_2x(x<0),

〃'(x)=/+e-*-2〉2&'•e-*-2=0,所以，函数y=〃(x)在区间(F,0)上单调递增，

"<0,.•/&)<(),即即/(々)=/(4)</(-%)，

vx2>0,一玉>0且函数y=/(x)在区间(0,+8)上单调递增，

所以W〈一不，即%+々<0,故结论成立；

(2)由/(x)zgx2+如+〃恒成立，得/一+A恒成立，

令G(x)=e*-x-3,则G'(x)=e*-l-a.

①当“<-1时，对任意的xwR,G'(x)>0,函数y=G(x)在R上单调递增，

当Xf-oc时，G(x)f-oo,不符合题意；

②当a=—1时，ab+b=O；

③当a>—1时，令G'(x)>0,得x>ln(a+l),此时，函数y=G(x)单调递增；

令G'(x)<0,得x<ln(a+l),此时，函数y=G(x)单调递减.

G(x)m“,=G0n(a+l))=(a+l)-(a+l)ln(a+l).

(tz+l)Z?<(«+l)2—(«+1)-ln(tz4-l).

令/=弓+1>0,设0(。=/一/Inr,则0'(r)=r(l-21n。.

当0<f<加时，”(。>0,此时函数>单调递增；

当时，”(。<0,此时函数y=0(。单调递减.

所以，函数>=夕(。在/=&处取得最大值，即9(。皿=0(五)=1.

因此，(a+1)人的最大值为

【点睛】

本题考查利用导数证明不等式，同时也考查了利用导数求代数式的最值，构造新函数是解答的关键，考查推理能力,

属于难题.

18.(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)要做证明只需证明平面Q钻即可；

(2)易得PC〃平面EFG,PCu平面P8C,利用线面平行的性质定理即可得到G”〃PC,从而获得证明

【详解】

证明：(1)因为B4_L平面ABC,BCu平面ABC,

所以24,3c.

因为AC=26E,所以B4J_3C.

又因为84cQ4=A,84u平面Q4B,PAu平面RIB,

所以BCL平面E4B.

又因为BBu平面Q46,所以PBLBC.

(2)因为平面EFG与BC交于点H,所以G"u平面PBC.

因为E,/分别为AC,必的中点，

所以EF〃尸C.

又因为PCZ平面EFG,EFu平面EFG,

所以PC〃平面EFG.

又因为PCu平面PBC,平面PBCPI平面£EG=G”，

所以G”〃PC,

又因为G是P3的中点，

所以H为8c的中点.

【点睛】

本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.

19.(1)-<a<y/3(2)函数g(x)有两个零点为和,“

【解析】

试题分析：(1)求导后根据函数在区间单调递增，导函数大于或等于0(2)先判断/为一个零点，然后再求导，根据

xt+2x0=3X2,化简求得另一个零点。

解析：(1)当〃=1时，f\x)=3x2+2ax+},因为函数〃x)在上单调递增，

所以当时，/'(力=312+.+120恒成立.

函数r（%）=3/+功+1的对称轴为x=-^.

①-1<-1,即a>3时，/，（-1）20,

3

即3-勿+120,解之得。解集为空集；

（2）-1<--|<|,即时，/（一］40

即3.3+2a{_£）+120,解之得—6所以

③—>—,即a<—时,>0

322咽

1773

即3----h4Z+1>0,解之得。2—所以——

44f42

综上所述，当-函数”X）在区间上单调递增.

<2）•••/（同有两个极值点和々，

・"，々是方程r（x）=3f+2以+。=0的两个根，且函数/（X）在区间（F0）和w，a）上单调递增，在

&,々）上单调递减.

•••g'（x）=r（x）

...函数g（x）也是在区间（F0）和（私山）上单调递增，在（』,々）上单调递减

g（毛）=/（%）一/（毛）=。，•••X。是函数g（X）的一个零点•

由题意知：g（%）=/（%）-八/）

VXy+2x0=3X2,2X0-2X2=x2-xi>0,；.x0>x2/./(%,)</(x0),g(W)=〃9)-F(/)<0又

g(^)=/(x,)-/(x0)

=(匚j-2Q(3匚7+2匚匚/+口+9口:+6U口：+3匚)

VX1,当是方程/'(x)=3x2+2ax+b=0的两个根,

+

3%；+2町+b-Q,3%22ax2+b=0,

•••g(玉)=/(不)一/(%)=o

•.•函数g（x）图像连续，且在区间（F0）上单调递增，在后,々）上单调递减，在（W，”）上单调递增

...当xe(f0，X)时,g(x)<0,当无«%,天,)时g(x)<0,当时g(x)>0,

，函数g（九）有两个零点玉和X。.

n

20.(1)证明见解析，a,=-~-；(2)

3〃一23〃+1

【解析】

11c

（D利用4出一。“+3%+1%=0,推出--------=3,然后利用等差数列的通项公式，即可求解;

an+\an

=£〃.23n1+1

(2)由(1)知）,利用裂项法，即可求解数列的前〃项和.

【详解】

（1）由题意，数列｛4｝满足4Ho且。“+1-4,+3%+必“=0

11c八11c

可得--------+3=0,即--------=3,

an%+1

所以数列,＞是公差d=3,首项二11,

1=1的等差数列,

%

故，=]+3(〃―1)=3〃_2,所以4=―--

3〃一2

(3-2)(13〃+1)=久〃一I23〃1+1

(2)由(1)知％4+1=),

所以数列｛a..%+J的前"项和:

11111

++…

3<3x1-23x1+1；3x2-23x2+1、3〃一23〃+1

1-’111

++1_1+…+

J"?7103〃-23n+l)

Tike

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式，以及“裂项法”求解数列的前〃项和，其中解答中熟记等差数列的定义和通项公

式，合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

21.(1)证明见解析；(2)2叵.

15

【解析】

(1)利用线面平行的定义证明即可

(2)取的中点0,并分别连接。尸，OB,然后，证明相应的线面垂直关系，分别以OE,0B,。尸为x轴，

轴，z轴建立空间直角坐标系，利用坐标运算进行求解即可

【详解】

证明：(1)在图1中，连接AC.

又E,尸分别为A。，CD中点,

所以EF\\AC.即图2中有EF\\AC.

又EFu平面PEF,ACZ平面包户,

所以AC〃平面PEF.

解：(2)在图2中，取E尸的中点。，并分别连接OP,0B.

分析知，OPLEF,OB1EF.

又平面平面平面PEFD平面48。五石=石尸，。。匚平面必产，所以尸。J_平面ABCFE.

又AB=4,所以PF=AE=PE=2,E0=0P=0F=O,03=3五.