2020-2021学年人教版2019必修二高一数学满分期末冲刺卷01（浙江解析版）

2020-2021学年高一下学期期末测试卷01

数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的)

4+bi

1.已知复数2=---SeR)的实部为一1，则6=()

1-z

A.-5B.5C.6D.—6

【答案】C

【解析】

4+bi(4+Z>z)(l+z)-b以

利用复数的除法化简复数，再利用复数的有关概念求解.复数2=7一='，〈=2-丁+2+-b

1-z(l-z)(l+z)2(2)

因为复数的实部为一1，

b

所以2--=-1,

2

解得b=6,

故选：c

2.平面向量Z与石的夹角为60。，a=(2-0),|^|=1,则|日+25|等于

A.73B.2石C.4D.12

【答案】B

【解析】

把11+28|平方后再开方即可.因为£=(2,0),|=1

所以|a|=2,a-b=2xlxcos60°=1

所以|a+|=+4a-b+4b~=

故选：B.

3.对一个容量为N的总体抽取容量为“(〃22)的样本，选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样

本，在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为P1,某个体第一次被抽中的概率为。2；在分层随机抽

样中，总体中每个个体被抽中的概率分别为〃3则()

A.p2<p]<p3B.P\=P2=P3c.p2Vpi=P?D.，1，〃2,〃3，没有关系

【答案】B

【解析】

根据简单随机抽样、分层抽样的定义即可得到结论.根据抽样调查的原理可得简单随机抽样，分层抽样都必须满

足每个个体被抽到的概率相等，即Pl=P2=臼•

故选：B.

【点睛】

本题考查简单随机抽样、分层抽样的原理的理解，两种抽样都是等可能抽取，是一道容易题.

4.若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中AC7/。？，A'C'1B'C',

AC=1,06=2,则原四边形AQBC的面积为()

A.12B.6C.3拒D.

【答案】c

【解析】

根据图像，由“斜二测画法”可得，四边形AQ5C水平放置的直观图为直角梯形，进而利用相关的面积公式求解

即可根据图像可得，四边形A08C水平放置的直观图为直角梯形，

作则OA/=2—1=1,

由=得4。'=血，AO=2A'O'=20，

AC=A'C'=1,OB=O'B'=2,且AO_LO8,ACIIOB，所以，

原四边形AQBC的面积为S=1(AC+OB)xAO=Lx(l+2)x20=3jL

22

故选：c

5.希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学，特别是与“月牙形''有关

的问题.如图所示，阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的

2万一

一部分，若NACB=—,AC=BC=\,则该月牙形的周长为()

3

n71

A.B.

63

3J3+2"3J3+4万

c.D.

63

【答案】A

【解析】

根据题意，利用余弦定理，可求得A5长，即可求得A6为直径的圆的周长，利用正弦定理，可求得的

外接圆半径R，根据圆的几何性质，可求得劣弧对应的圆心角，代入公式即可求得弧长，即可得答案.因为

2万

/ACB=—，AC=BC=1,

3

2乃1

所以AB2=AC2+BC2—2xACx8Cxcos』=l+l—2xlxlx(——)=3,所以=

32

所以月牙的长弧对应圆周长的一半为叵，

故以AB为直径的圆的周长为岛

2

设AAHC的外接圆的圆心为。，半径为R,如图所示,

=AB=2R

由正弦定理得sinNACB.2"，所以R=1，

sin——

3

所以四边形0A8C为菱形，且44。3=/4。8=至

3

212万

所以劣弧AB的长为——xl=——

33

所以该月牙形的周长为2万।也»=(36+4)万

326

故选：A

6.若（Q+Z?+C）3+C-Q）=3bc,且sinA=2sinBcosC,那么aABC是（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

首先利用余弦定理求出A,再由sinA=2sin5cosc利用正弦定理将角化边，以及余弦定理将角化边可得

b=c,即可判断三角形的形状；解：・・・(Q+b+c)S+c-a)=3bc,

/.[(b+c)+a][(b+c)-a]=3bc,

(h+c)~—cr—3hc,

b2+2bc+c2-a2=3bc，

Z?2-hc+c2=。2，

根据余弦定理有a2=h2+c2-2hccosA，

b1-bc+c1=cr=tr-\-c1-2/?ccosA,

he=2Z?ccosA，

.1

cosA=—,

2

"=60°,

又由sinA=2sin6cosC,

„sinAa+b2-c2

则ra------2cosC,即一=2--------------,

sinBblab

化简可得，b2=c2.

即=

.•.△ABC是等边三角形

故选：B.

7.如图，在正方体ABCD—AB'CT/中，线段笈。'上有两个动点E，F，若线段Eb长度为一定值，则下

列结论中量送的是（）

A.ACLBE

B.3。_L平面ABE

C.£：///平面ABC。

D.三棱锥5—A石F的体积为定值

【答案】B

【解析】

对A,连接BC,通过证明ACJ_平面可得；对B,通过NABO=45°可判断；对C,通过平面ABC£>〃

平面A'8'C'O'可判断；对D,可判断三棱锥的高和底面积为定值.对A,连接B。，1•底面ABC。是正方形，

:.AC±BD,又£>Z）'_L平面ABC。，

面85'。'。，•.•B£u平面故A正确，不符合题意；

对B,若80,平面/WE，「ABu平面A5E，.•.8r>_LAB，但显然NABO=45°，所以80,平面？1BE不

成立，故B错误，符合题意；

对C,正方体中，平面ABC。〃平面43'C'。'，户u平面AB'C'D,.・.EF〃平面ABC。，故C正确，不

符合题意;

对D,：点A到平面BEF的距离也是点A到平面BBDD的距离，等于AC的一半,即三棱锥高为定值,而"EF

的边EF为定值，高为86'为定值，故体积为定值，故D正确，不符合题意.

故选：B.

3________.___.

8.在AABC中，/C=5,4?=6,cosA=一，点。满足40底+50月+60d=。，若0P=xOB+yOC.

4

其中04%«1,04丁41,动点。的轨迹所覆盖的面积为（）

A.2币B.告币C.24D.12

【答案】A

【解析】

根据题意，不妨用坐标法处理；建立平面直角坐标系，根据题意，求得点。坐标，根据向量线性运算的几何意义,

求得动点构成的图形形状以及范围，结合余弦定理和三角形面积公式，即可求得面积.根据题意，不妨过点。作

A3的垂线，垂足为“，

以”为坐标原点，建立平面直角坐标系如下所示：

根据题意，可得坐标如下:

4个,0),"(0,0),哈o),c0,

设点。的坐标为（根,〃），由4方+5砺+6元=6

受一时力+5注时〃]+6,犯短二

=0,

可得:4）UJ4

故可得m=——,n=-^―.则点。坐标为2当

42

42IJ

设点P的坐标为匕），由诙=xOB+yOC>

由向量的线性运算性质可知，点P的轨迹是：

以OB,OC为一组邻边的平行四边形内的任意一点，含边界.

故可得侬=符=2©"|=J,+9x得=2,|因=假+25x\=4，

故可得cosZBOC=吟|。「明力则…0V14

2|C>B||OC[4'''4

则以OB,OC为一组邻边的平行四边形的面积

S=2S.OBC=2xgxsinZBOCx\OB\X|（9C|

=叵~义26.又2=2币•

4

故选：A.

【点睛】

本题考查向量的线性运算，涉及余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用；需要注意，本题中，也可以通

过几何方法确定点P的轨迹图形，解析法只是方法之一；属综合困难题.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分）

9.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1,2,3,4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1,2,3,5,6,现

从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A="抽取的两个小球标号之和大于5”，事件8="抽取的两个

小球标号之积大于8”，则（）

A.事件A发生的概率为!

2

B.事件AU8发生的概率为三

2

c.事件Ans发生的概率为彳

D.从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为工

5

【答案】BC

【解析】

根据题意，分别列举出事件A和事件5所包含的基本事件，再逐项判断，即可得出结果.由题意，从甲罐、乙罐

中分别随机抽取1个小球，共包含=20个基本事件；

“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：（1,5）,（1,6）,（2,5）,（2,6）,（3,3）,（3,5）,（3,6）,

（4,2）,（4,3）,（4,5）,（4,6）,共11个基本事件;

“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的基本事件有:（2,5）,（2,6）,（3,3）,（3,5）,（3,6）,（4,3）,（4,5）,

（4,6）,共8个基本事件；

即事件B是事件A的子事件；

因此事件A发生的概率为□,故A错；

20

事件AU8包含的基本事件个数为11个，所以事件4UB发生的概率为年；故B正确；

o2

事件ACI8包含的基本事件个数为8个，所以事件AflB发生的概率为三=二，故C正确；

从甲罐中抽到标号为2的小球，包含的基本事件为：（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,5）,（2,6）共5个基本事件,

故从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为1,即D错误.

故选：BC.

【点睛】

本题主要考查求古典概型的概率，考查求并事件和交事件的概率，属于基础题型.

JI乃、

（-y<<?<yI（其中i为虚数单位），则（）

A.复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限B.z可能为实数

C.闫=2cos8D.，的实部为一一

11Z2

【答案】BC

【解析】

jr7T

由一一＜。（一可得一万＜26＜%，得0＜l+cos26W2,可判断A选项，当虚部sin28=0,

22

时，可判断B选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C选项，由复数的运算得

1_l+cos26-isin261的实部是1+cos23jrTT

,可判断D选项.因为一一＜。＜一，所以

zl+2cos20Z2+2cos26222

-7i<20<7i所以一1vcos28Wl,所以0<l+cos2e42,所以A选项错误;

71几

当sin28=(),。£时，复数z是实数，故B选项正确;

|z|=E+cos20『+(sin201=，2+2cos26=2cos6，故C选项正确:

1_1_1+cos2^-zsin20_l+cos2。一isin2。［

zl+cos2^+/sin20(1+cos20+isin2^)(1+cos20-isin2^)l+2cos26'z

1+cos26

故D不正确.

2+2cos262

故选：BC

【点睛】

本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.

11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8C0为菱形，NDAB=60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD±

平面A3CD,则下列说法正确的是（）

A.在棱AO上存在点/，使4）_L平面

B.异面直线AO与PB所成的角为90。

C.二面角P—BC—A的大小为45。

D.BD_L平面PAC

【答案】ABC

【解析】

根据线面垂直的判定及性质定理一一验证可得.解：如图，对于A，取AO的中点A/，连接尸•.•侧面

24。为正三角形，

PM又底面ABC。是菱形，NDAB=6（）°，是等边三角形，

:.AD±BM.又PMcBM=M，PM，BMu平面PA/6，

平面PBM，故A正确.

对于3，平面PBM，.•.ADJ_PB，即异面直线AO与PB所成的角为90。，故3正确.

对于C,••・平面PBCD平面ABCD=3C，BC//AD,;.BC上平面PBM，:.BC上PBBC工BM,

.•.NP3M是二面角P—6C—A的平面角，设A6=l，则8M=立，PM.

22

PM

在RtZSPBM中，tan/P8M=——=1,即NP3M=45°，故二面角P—5C-A的大小为45。，故C正确.

BM

对于O,因为BD与P4不垂直，所以8D与平面P4c不垂直，故。错误.

故选；A8C

【点睛】

本题考查线面垂直的判定及异面直线所成的角，属于基础题.

12.下列说法正确的是（）

而AC]—.ABAC1

A.若非零向量i=i+=rBC=0,且,•田=不，则AABC为等边三角形

【网|AC|J阿AC|2

B.已知砺=〃,而=反反=口而=2,且四边形ABCO为平行四边形，则石+B—1—7

C.已知正三角形ABC的边长为2石，圆。是该三角形的内切圆，p是圆。上的任意一点，则丽•丽的最大

值为1

D.已知向量。8=（2,0）,反=（2,2）,eX=（0cosa,J^sina）,则砺与为夹角的范围是（，言

【答案】AC

【解析】

利用单位向量以及向量数量积的定义可判断A；利用向量的加法运算可判断B；利用向量的加、减运算可判断C；

由题意可得点A在以(2,2)为圆心，血为半径的圆上，由向量夹角定义可判断D.A,因为非零向量

___\

~AC

+而-BC=O,所以/a4c的平分线与8c垂直,

AB~AC1元

△A6C为等腰三角形，又问=所以=

\AB\|/4C|23

所以AAbC为等边三角形，故A正确;

B，a+h—c—d-OA+OB-OC—OD

=CA+DB=CD+DA+DA+AB>

在平行四边形ABC。中，有丽=反，

所以原式=2£冰片。，故B错误；

C,设正三角形A8c内切圆半径「，

由面积相等可得Lx26x3xr=Lx2Gx26xsin二,

223

解得r=l,令AB的中点为£>，从而DA=DC=6,

则方+P^=2P£i，PA-PB=BA=2DA^

两式平方作差可得4PAPB=4PD2-4DA，

即丽・丽=而2—3,若要使西•丽最大，只需而2最大

由于。为的中点，也为圆。与AB的切点，所以|丽|的最大值为2r=2,

所以西•丽=所2-3<4-3=1，故C正确；

D,设砺=(x,y),C4=OA-OC=(x-2,y-2)=^>/2cosa,5/2sin«),

所以x—2=夜cosa>y-2=\[2sina，

所以(x_2『+(y_2『=2,

即A在以（2,2）为圆心，、反为半径的圆上,

如图:

sinZCOA=,所以NCQA=工，

722+2226

71717T

当OA与圆在下方相切时，囱与为夹角最小，此时为7；一不=五，

JT1T5汽

当OA与圆在上方相切时，°4与西夹角最大，此时为一+：=——，

4612

____7154

所以次与布夹角的范围是—，故D错误.

故选：AC

【点睛】

关键点点睛：本题考查了向量的数量积定义、向量的加减法以及向量的夹角，解题的关键是是将向量问题转化为

平面几何问题，利用圆的性质求解，考查了转化思想、数学运算、数学建模，此题是向量的综合题目.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每

局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.为此，用计算

机产生1〜5之间的随机数，当出现随机数1,2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6.由于要比赛三局，

所以每3个随机数为一组.例如，产生了20组随机数：

423231423344114453525323152342

345443512541125342334252324254

相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为.

【答案】0.65

【解析】

由20组随机数中先求出甲获胜的频数，从而可求出甲获胜的频率，进而可得答案解：由题意可知，20组随机数

中甲获胜的有：423231423114323152342512125342334252324有13组，

13

所以甲获胜的频率为——=0.65,

20

所以甲获得冠军的概率的近似值约为0.65,

故答案为：0.65

【点睛】

此题考查频率与概率的关系，属于基础题

14.己知。是空间两个不同的平面，小〃是空间两条不同的直线，给出的下列说法：

①若根//c,n!Ip,且〃〃/〃，则二//月；

②若加//a,n/1/3,且m_L〃，则a_L£；

③若加_La,〃_L耳，且〃〃/〃，则a///7；

④若加"La,"_L£，且〃？J_〃，则。_L£.

其中正确的说法为（填序号）

【答案】③④

【解析】

利用空间线面、面面平行、垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，得到正确答案.①加//a,nll/3,

且相〃〃，则。,，可能相交，故①错误；

②m//。，nll/3,且加则。，力可能相交，也可能平行，故②错误；

③帆_La,且机〃〃，则a〃A，根据线面垂直的性质可知③正确；

④m_La,〃，力、且〃z_L”,则。，，，根据线面垂直的性质可知④正确.

故答案为：③④.

15.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若钻的面积为4,则该圆

锥的体积为.

【答案】2扃

【解析】

根据ASAB的面积求出ISAI，根据SA与圆锥底面所成角为30求出圆锥的高和底面半径，再根据圆锥的体积公

式可求出结果.因为心马⑼河"且国反团,

所以ISA|=|S31=25/2,

所以圆锥的高〃=|S4|sin3O°=20x'=J5,底面半径r=|SA|cos30°=20x^=后，

22

所以该圆锥的体积为,//万/=L又丘又兀乂6=2也兀.

33

故答案为：2叵兀.

16.设AOAB中，o汗=£,且满足,一q=W，卜+目=2,当z/Mfi面积最大时，则£+5与区夹

角的大小是.

【答案】45°

【解析】

根据向量运算几何意义，运用余弦定理和正弦定理建立边角关系，再应用三角公式求解.解：在△Q46中，取A8

中点C,连接OC,设NC08=a,NOAB=e，

OA-a＞丽=在且满足|「+切=2，

由向量及其运算几何意义知，AB=\a-b\,OA=\a\,

OC=|；3+6)|=1,d+方与石夹角即为。，

设AC=x，则Q4=2x,BC=x；设AOLB的面积为S,

x+2x>1,2x-x<\=>—<x<\；

3

CY2_1

由余弦定理得I2=x2+(2x)2-2・x.2x,cose=>cos6=，~—

4/

S=；(2x)2sin6=2/川一遍夕=|^(1-x2)(x2-1),

1+1J54

当/_9_5,即x=4,cos6=一时，S取最大值.

xF=335

由正弦定理得sina=即丁？

x1

所以sina=xcosg=x,3£

2V2

因为a为锐角，所以a=45°.

故答案为：45°

【点睛】

本题考查了平面向量运算及其几何意义，用余弦定理与正弦定理是解决问题关键.

四、解答题（本大题共6小题，第17-18题10分，第19-21题12分，第22题14分，共70分.解答应写出必

要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.已知复数4=1—2i,Z2=3+4i,i为虚数单位.

（1）若复数马+。22,在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围;

（2）若z=2,求z的共轲复数

z2

【答案】（1）；（2）一§+1，

【解析】

（1）化简复数4+az2=（l+3a）+（4a—2）i,再由复数4+az2在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式

组，即可求解;

（2）由复数的除法运算法则，化简得z=-g-gi,再根据共辄复数的概念，即可求解.（1）由题意，复数

Z]=1—2i,z2=3+4z,

则4+az2=1-2i+a(3+4i)=(1+3。)+(4a-2)z

因为复数Z1+“Z2在复平面上对应的点在第四象限,

l+3a>0，解得」

所以《

4。一2<032

即实数。的取值范围（一工，,）.

32

力市”4=1—2i（1-233-4，）一5-10、12

z23+4/（3+4z）（3-4/）25551

_12.

所以z=------1—i.

55

【点睛】

与复数的几何意义相关问题的一般步骤：

（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；

（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数。+初（。力eR）与复平面上的点（。,刀一一对应，

列出相应的关系求解.

18.某市为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了1000名高一学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位:

小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表.

组号分组频数频率

1［。，5）500.05

2[5,10)a0.35

3[10,15)300b

4[15,20)2000.20

5[20,25)1000.10

合计10001

w

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

时间

051015202530

（1）求。，〃的值，并在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图（用阴影涂黑）；

（2）根据频率分布直方图估计该组数据的平均数及中位数（中位数精确到0.01）；

（3）现从第4,5组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中任意抽取2人进行调研《红楼梦》的阅读情况,

求抽取的2人中至少有一人是5组的概率.

_3

【答案】（1）。=35（）,8=0.30；图象见解析；（2）%=12.25-中位数1L67；（3）

【解析】

（1）根据频率分布直方表，列出方程组，即可求得a力的值，进而得到频率分布直方图;

（2）利用平均数和中位数的计算公式，即可求得该组数据的平均数和中位数；

（3）设第4组为％A3,第5组为四，B2,利用列举法，求得基本事件的总数和所求事件所包含

的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.（1）根据频率分布直方表，可得

‘50+a+300+200+100=1000

'0.05+0.35+b+0.20+0.10=1'

解得a=350,匕=0.30,

频率分布直方图，如图所示:

频率

(2)该组数据的平均数:%=2.5x0.05+7.5x0.35+12.5x0.3+17.5x0.2+22.5x0.1=12.25-

由题图可知，中位数应在10至15之间，设中位数为X,

则0.05+0.35+(x-10)x0.06=0.5,解得故中位数的估计值为11.67.

(3)从第4,5组抽取的人数分别为4,2,第4组的4人，

设为4，4，A3,A4,第5组的2人，设为四，B],

则从该6人中选出2人的基本事件有,AA，AA”A4,A,B2,4A3,A2A4,，4与，A,A-

44，,44，共15种，

A3B2A4B2,B}B2,

其中都是第4组的基本事件有A4,44，AA4，4A3，A2A4,A3A4,共6种，

693

所以至少有一名学生是5组的概率p=l一一=一=二.

15155

-(3.3、『(x.X、「人乃]

19.已知向量a=|cos—x,sin—x|,〃=|cos—,一sin—且xe0,—,求：

I22)I22)12」

<1)%.B及\a+B|；

3

(2)若/(x)=aZ-2/l|a+B|的最小值为一万，求实数/I的值.

--1

【答案】(1)a-b=cos2x>\ci+hcosx(2)A=—.

【解析】

(1)利用向量的数量积和向量的模的坐标运算公式，直接运算，即可求解;

C7T

(2)由(1)求得函数f(x)=2cos~x-44cosx-1,X£[O,5),令，=<：051£[0,1],得到

y=2产一4勿—结合二次函数的性质，即可求解.(1)由题意，向量

£=[os|X,sin|x/Jcos$-s呜)，

xx\3x3x3xx

可得。力二cos-,-sin-=cos-xcos——sin-xsin-=cos(—+-)=cos2x,

[22)22)222222

所以而

|£+5|=+h+2a-h=>/l+l+2cos2x=V2+2cos2x=2cosx-

—•—•—*—•yi

(2)由(1)可得/(x)=a・Z?—24|。+〃|=cos2x-42cos羽x£。一],

21

即/(x)=cos2x-4Acosx-2cos2x-4Acosx-l,xe[0,—],

令，=cosxe[0,l],所以^=2/一4»-1/6[0,1],

对称轴为f=7,

若xwo,则为讪=一1，不符合题意；

若421,则=1-44=一彳，解得2=](舍去)；

2o

,31

若0<4<1,则乂面=一1—2丸2=—解得义==,

综上可得：2=-.

2

20.△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,C.已知(2sinA-百sin8产=4sin?C-sin?8.

(1)求角C的大小；

(2)若8=1,c=J7,求cos(B-C)的值.

【答案】(1)。=二；(2)次.

614

【解析】

(1)将等式化简，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角C；

(2)利用正弦定理求出sinB,再根据匕<c,可知8<C,进而可根据同角三角函数关系，求出cosB,再利用

两角差的余弦公式可求得答案.⑴由(2sinA-百sinB)2=4sin2C-sin2B化简，

得sin?A+sin?8—sin?C=GsinAsinZ?，由正弦定理，得a，+b，-c?=Cab，

由余弦定理得cosC="一+"一'I=走,又Ce(O,%),所以C=工.

2ab26

(2)因为6=1,c=币,所以由正弦定理"一=—J，得sin8="smC=立,

sinBsinCc14

因为匕<c,所以3<C,所以cosB=Jl-sin?B=生旦，

14

所以cos(5—C)=8sBcosC+sinBsinC-x2^1+^2.x—=-

14214214

5Fl

所以cos(B-C)=V—.

【点睛】

易错点睛：本题在利用同角三角函数求cosB时，需要注意利用大边对大角确定角B的范围.

21.如图，在三棱柱ABC-A'5'C'中，侧棱CC'，底面ABC,AB=AC,。，瓦尸分别为棱AA,BB',8C

的中点.

(1)求证：BC'lAFi

(2)若A5=2,=CC'=20,求三棱锥D-AEF的体积.

【答案】（1）见解析；（2）工

3

【解析】

（1）可证AR，平面BCC，从而得到BC±AF.

（2）取A3的中点为G,连接FG,可证fG_L平面ADE，故可求三棱锥O—AE/7的体积.（D因为侧棱

CC'，底面ABC，Abu平面4BC，所以CC'LAF,

因为E为中点，AB=AC,故5C_LAF,而CC'c3C=C,

故平面3CC',而BC'u平面BCC',故BC'LAF.

（2）取A3的中点为G,连接FG.

因为A3=AC=2,BC=20,故BC?=AC?+AS?，故AC_LA8,

因为CF=EB,AG=G5,散FGHAC,且FG=1,故FG_LAB，

因为三棱柱ABC—A'3'C'中，侧棱CC'，底面ABC，

故三棱柱ABC—A'6'C为直棱柱，故88'，底面ABC，

因为FGu底面ABC,故BB'J_FG,而BScAB=B，

故尸G_L平面AD石，

而SAH=』xADxAB=—xAA/xAB=—xCC'xAB=V2,

△ADE244

B

【点睛】

71

思路点睛：线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为一得到，而线面垂直又可以由面面

2

垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.又三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面

的距离容易计算.

22.如图，直角AABC中，点M,N在斜边BC上（M,N异于B,C,且N在C之间）.

（1）若AM是角A的平分线，AM=3,且。0=2的5,求三角形ABC的面积;

冗

（2）已知A8=3,AC=3>f3>NMAN=—,设=

6

由

①若sin。=-----，求MN的长；

7

②求A4MN面积的最小值.

【答案】（1）以；（2）MN=Z,（s）_27（2-6）

84_4

【解析】

（1）过点M作MEJ.A5交AB于E，作交AC于尸，利用三角形相似求出线段的长，从而求出

三角形的面积；

247171

（2）依题意，表示出=-----3,ZANC=-+O,NNAC=——。，再由正弦定理表示出AN,AM,

323

CN,MB,①由同角三角函数的基本关系求出tan。，即可求出CN,MB从而得解；②由面积公式即三角恒

等变换求出面积最小值.解：（1）如图，过点M作交A3于E，作M/_LAC交AC于尸，

则AMEBS4CFM

CFMFCMc

*---=---------=2

"MEBEMB

因为NC4B=90°，AM平分NC48且40=3

：.ME=MF=^3—/7

2

：・CF=36,即当

.“R口3723090

・・ABD=AE+BE=----1---=---

244

.ACAZ7z-rr3>/5[T9亚

.*.AC=A.F+CF-----F3>Q/2-----

22

19729A/281

=-ACAB=—X---------X----------=一

222