2020-2021学年人教版必修二高一数学满分期末冲刺卷07 平面向量及其应用（难点）解析版

专题07平面向量及其应用（难点）

一、单选题

1.|。4卜]。8|=1,。4与布的夹角为120°，0d与砺的夹角为300，若4=4砺+〃丽（4>0,〃〉0），

2

则一=（）

A.@B.C.-D.2

232

【答案】D

【解析】

0D]

将加沿方与丽方向进行分解，易得0/5=/1砺,砺=〃。3，再在4。。。中，.­，

CDsinNCOD

代入相关值即可得到答案.将诙沿砺与砺方向进行分解，延长OA、0B至D、E，以。。、0E为邻边、

0C为对角线画出平行四边形，如图，

由平行四边形法则有反=丸西+〃砺=历+前，且九〃>0,所以。方=2。X,

OD11

____—__________———2

0E=〃0B,又NDOC=30°，NOCD=90°，在△DOC中，CDsinZCOD1'

2

AOAJ

即—.==2.

HOB4

故选：D

E上t---------------5\yxe

------------

o.4

【点睛】

0D

:.二八,考查了学生的讨

本题考查平面向量的基本定理的应用，关键点是数形结合得到==

CDsinZCOZ)

—»)1—»

2.设。为两个非零向量方泊的夹角，且0<。<一,已知对任意实数re(—1,1),|b+应I无最小值，则以下说

2

法正确的是()

A.若。和|B|确定，则|。|唯一确定

B.若。和确定，则I万I有最大值

C.若夕确定,则|利〉|5|

D.若。不确定，则|菊与|行|的大小关系不确定

【答案】B

【解析】

令双力=力2+2-~+片，其对称轴为，=—4=一处”，结合题意要使得+内无最

'a\a\

小值，则对称轴不在(T,l),从而可得|Z|”|B|COS6或|£|,,—|B|cos。，进而可选出正确答案.由题意知,

\b+ta|2=at2+2a-bt+^>令g⑺=at2+2a-bt+b则函数gQ)的图象的对称轴为

a-hIbIcos6曰、，，<一,一“rIbIcos0IbIcos6.”一

t—----=--------，因为，£(—1,1)J/7+，。|无最小值，所以----------,,-1或---------..1»所以

a⑷1。1

\a\„|1|cos6或|£|”一|B|cos。,所以6和|B|确定，则|2|有最大值

故选：B.

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键在于利用二次函数的性质，分析对称轴的位置，从而得出。和|加确定，则|£|有最

大值.

3.在梯形A5CO中，已知AB//CD,AB=5,AZ>=2J5,C£>=1,且亚.丽=7,设点。为8C边上的任

一点，则而.而的最小值为()

911

A.-B.—C.3D.-15

55

【答案】B

【解析】

由入6―8万=7求出向量而，无巨的夹角的余弦值，设6户然后建立平面直角坐标系利用向量坐标求

解数量积.设ND4B=8

则。而=(而+戏)•(丽+砌=而•丽+而2+配•丽+反•而

=-5x2石cos^+20-1x5+lx2x/5cos0

=15-86cos。

由恁-8/5=7，则15-86cos6=7，所以cos6=@

5

过点。作DO_LAB交AB于点。，以。为原点，AB为x轴，。。为N轴，建立平面直角坐标系.

在直角△AOD中，由4e=cos6=，5,可得AO=2,则。£)=4

AD5

所以A(-2,0),8(3,0),0(0,4),。(1,4)

设丽=4配=4(-2,4)=(—24,44)(0<%W1)

Q=砺+而=(5,0)+(-24,42)=(5-22,42)

DP=ZM+Afi+^P=(-2,^)+(5-22,42)=(3-22,42-4)

所以A户.。户=(5-22,42)•(3-22,4/1-4)=20A2-322+15

411

所以当4=e时.，Q.丽有最小值§

故选：B

关键点睛：本题考查利用向量的数量积求向量夹角利用向量坐标求解向量数量积的最小值，解答本题的关键是由

而•丽=7求出向量而，砺的夹角的余弦值，再建立坐标系，得出点的坐标，设而二九及，利用向量的

坐标得出而•丽=20矛-32/1+15，属于中档题.

4.设„为单位向量，满足恒一回《灰花=1+£5=31+£,设@石的夹角为氏则cos2的可能

取值为()

19202838

A.——B.—C.—D.——

29292929

【答案】C

【解析】

根据［,为单位向量，设不=(l,O),1=(x,y),且f+y2=i,得到£石的坐标，再根据2家一司

(-平

a-b

得到X的范围,然后利用cos?6=求解.因为［，晟为单位向量,

、同帆

不妨设4=(1,0),02=(x,y),且f+y2=l,

所以a=(l+x,y),B=(3+x,y),

又因为|21一£卜

所以(x—2了+/W2,

3

化简得一4x41,

4

/一、2

g、i，cS'b

所以cos-6=——，

〔同■附

(\2

(l+x)(3+x)+y2

J(1+X)2+/-7(3+X)2+J\

4(l+x)24(l+x)

一(l+x)(5+3x)-5+3x'

3?8

当*=:时，cos?G=~>

429

故选：C

【点睛】

关键点点睛：本题关键是在1,为单位向量的条件下，设1=(l,0)£=(x,y),由同一司4J5确定x的

范围.

5.在AABC中，4C分别是内角A,5,C的对边，sin4+J5sinB=2sinC，b=3,当内角C最大时,

△A6c的面积为（)

八9+373「3向6D3>/3—^6

R6+3仆

4444

【答案】A

【解析】

已知等式利用正弦定理角化边化简，得到关系式，利用余弦定理表示出cos。，把得出关系式整理后代入，利用

基本不等式求出cosC的最小值，然后利用三角形面积公式计算.已知等式利用正弦定理化简得：a+母b=2c，

两边平方得：（a+岳）2=4C.2,即/+2缶+2〃=4c2,

所以，，，0"+2〃一2亿可

4

所以

c=瘾+夫2回小一2四

m2abb

=1（276-272）=^^1，

84

当且仅当妈=生，即岛=血时取等号，此时〃=0=车="，

baV3V3

则COSC的最小值为正史，此时C最大，且豆11。=，1一8为。="十夜，

44

则△ABC的面积S='absinC=Lx#x3xYiMI=2^0匹,

2244

故选:A.

【点睛】

本题主要考查正弦定理和余弦定理以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.关键在于熟练

掌握利用正弦定理进行边角互化，利用余弦定理求得cosC关于a,b的表达式，并使用基本不等式求得cosC的最

小值.

〃4_i_4-「彳।a2b2

6.已知非等腰△43C的内角A,B,C的对边分别是。，h,c,且::=2/,若c为最

a2+b2

（）

1叵D.1，百

5'，

【解析】

先将a4+"：=2c2,转化为仿2+〃_『=//,即｛“一+"—（、-］」，再根据c为最大边,

cr+b2、）12abl4

22

得到cosC=—,，然后由余弦定理得到=/+^_2ahcosC^a+h+ah，再利用基本不等式得到

2

,\un-rH不44+//+C4+a”22

c>a+b^即可.因为---------------=2c~>

所以/+//+。4+/82=2c2+i>2),即(4+Z?2)~+c"-a%?=2c?(/+h2)>

BP(a2+b2y+c4-2c2(a2+b2)-a2h2

即(4+〃一/)2=42/,

%+/门2

所以

、lab,4

因为c为最大边，

所以cosC——，

2

由余弦定理得/=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab，

=(〃+/?『-">(〃+力-3---=孤+小

所以c>+b)，

即,

3

又a+Z7>c,

,-,a+b2yJ3

所r以rl1<------<，一，

c3

a+b百

所以L----<---♦

23

故选：A

木题主要考查余弦定理的应用以及基本不等式的应用，还考查了运算变形求解问题的能力，属于较难题.

7.在AABC中，点。是的三等分点，|花|=2|而过点。的直线分别交直线AB,AC于点瓦产，且

—.__________1t8

AB=mAE,AC=nAF(m>0,»>0)，若一+一的最小值为一，则正数，的值为()

mn3

811

A.1B.2C.—D.—

33

【答案】B

【解析】

利用平面向量的线性运算法则求得40=冽恁+乌/，可得型+4=1,则

3333

—।————+-—।—I,展开后利用基本不等式可得」■+2的最小值为，2+2./—,结合2•+2

m几133八mmn133J\9tnn

因为点。是8c的三等分点，国|=斗西则

AO=AB+Bd=AB+-BC=AB+^AC--AB=-AB+-AC=—AE+-AF,

3333333

又由点E,。,F三点共线，则1—=1,

33

1t2mtn

—+—+-----+——

mn3〃3m

当且仅当2加12=〃2时，等号成立,

即i+工的最小值为m,则有（2+21+2庐=§,

mn（33JY9U3jV93

解可得f=2或一18（舍），故7=2,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查平面向量的运算法则，以及利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要

正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是

否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时

参数是否在定义域内，二是多次用之或《时等号能否同时成立）.

8.在锐角AABC中，若竺4+史£=型经吧S,且GsinC+cosC=2,则a+b的取值范围是（）

ac3sinA

A.（6,273］B.（0,4行］c.（2后4月］D.（6,4向

【答案】D

【解析】

由J5sinC+cosC=2sin（C+g）=2,可得C=2；再结合正弦定理余弦定理，将"""+'sinC

63ac3sinA

中的角化边，化简整理后可求得c=26；根据锐角△，钻。和。=工，可推出Ae（§,1）,再根据可得

362

27r

Q=4sinA,Z?=4sinB,于是。+/?=4（$吊4+$由3）=4冈114+0抽（3--4）］,最后结合正弦的两角差公式、辅

助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解.由后sinC+cosC=2sin（C+四）=2,得C+C=&+2&勿，k&Z,

662

CG（0,—）,C=一.

23

,一44、sinBb

由正弦定理知，----=一，

sinAa

/7222

由余弦定理知，cos4=----------，

2bc

cosAcosCsinBsinC

•・•-----+------=-----------,

ac3sinA

I

222

b+c-a112^,化简整理得，b（2有-c）=Q,

2bcac3a2

;b*0，：.c=2也,

abc26

4

由正弦定理，有sinAsinBsinCJQ，.\a=4sinA,b=4sin8,

2

•••锐角MBC,且C=一兀,...AelO,7-1),B=——24Ae(O,-TC),解得TT7g1)，

323262

71

:.a+b=4(sinA+sinB)=4(sinA+sin(--A)]=4(sinA+—c

32

,-),:.A+^E(^,多)，sin(A+-)6(—,1],

6263362

.•.a+〃的取值范围为(6,473].

故选：D.

【点睛】

本题考查解三角形中正弦定理与余弦定理的综合应用，还涉及三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的基础

公式，并运用到了角化边的思想，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

二、多选题

9.设4，4,是两两不同的四个点，若冰=4审，M=且;+'=2,则称A3,

A3,A,

一/I//

调和分割A，4.现已知平面上两点C,。调和分割A,8,则下列说法正确的是()

A.点C可能是线段AB的中点

B.点。不可能是线段AB的中点

C.点C,。可能同时在线段A8上

D.点C,。不可能同时在线段AB的延长线上

【答案】BD

【解析】

由题意设A(0,0),8(1,0),C(c,0),0(4,0),结合己知条件得，+工=2,根据选项考查，+，=2的解,

cdcd

用排除法选择答案即可.由已知不妨设A(0,0),5(1。)，C(c,O),0(40),

由C,£>调和分割A,6可知，(c,0)=2(1,0),(J,0)=//(1,0),2=c,R=d

11cli

代入—=2得—d—=2(*)

几〃cd

对于AB,若C是线段AB的中点，则。=’,代入(*)得，“不存在，故C不可能是线段AB的中点，同理。不

2

可能是线段AB的中点，故A错误，B正确;

对于C,若C,。同时在线段AB上，则O<C<1,OWdWl代入(*)得，c=d=l,

此时C和。点重合，与已知矛盾，故c错误；

对于D,若C,。同时在线段AB的延长线上时，则C>1,d>\,则1+,<2,这与工+，=2矛盾，所以C,

cdcd

。不可能同时在线段48的延长线上，故D正确；

故选：BD.

【点睛】

关键点点睛：本题考查新定义的应用问题，正确理解新定义的含义是解题的关键，考查学生的逻辑推理与特殊与

一般思想，属于较难题.

10.如图，AABC的内角A,B,C所对的边分别为a.b,c.若。=力，且G(acosC+cco$A)=2/jsinfi,

。是△ABC外一点，DC=\,DA=3,则下列说法正确的是()

A.AABC是等边三角形

B.若AC=26，则A，B，C，。四点共圆

cn

C.四边形ABC。面积最大值为土2+3

2

D.四边形ABC。面积最小值为少•—3

2

【答案】AC

【解析】

利用三角函数恒等变换化简己知等式可求sin8,再利用a=A,可知AABC为等边三角形，从而判断A；利用

四点A,B,C,。共圆，四边形对角互补，从而判断5；设AC=x,x>0,在AAOC中，由余弦定理可

得d=10-6cos。，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求S四边形A时。，利用正弦函数的性质，求

出最值，判断CD.由正弦定理a=2/?sinAh=2Asin8,c=2AsinC,

得百《sinAcosC+sinCeosA)-2sinBsinB,

/.V3=2sinB,；.sinB==•，

2

jr

<a=b,8是等腰6c的底角，・・・3w（0,一）,

2

IT

.•.8=一,.•.△ABC是等边三角形，A正确；

3

B不正确：若四点共圆，则四边形对角互补,

由A正确知N£>=2^,COS£）=—！，

32

但由于DC=\,DA=3,AC=26时，

DC2+DA2-AC212+32-(2A/3)211

cosD=-------------------=----w----

2-DA-DC2x1x332

.••B不正确.

C正确，。不正确:

设"=，，则=oc2+DA2-2Z)C・£>A-cose=10-6cose，

."△诋=岑・（1。-6cose）=乎一半cose.

3

SA^C=5sin。，

••S四边形ABC。~S-ABC+S&AOC3m还COS6+也

222

5百

=3(sineg-cos6・H------

2

=3sin(6—。)+竽,

TT

*；0G(0,g),sin(8-y)G

sC

•••—6<S四边形诙。4罢+3,•"正确，。不正确;

故选：AC..

【点睛】

本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查

计算能力和转化思想，属于中档题.

11.设。为△ABC所在平面上一点，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则正确的（）

A.。为ATWC的外心。|04|=|。臼=|0。|=，一

sinA

B.。为△ABC的重心oOX+而+反=。

C.。为AABC的垂心=砺•丽=砺•反=花•丽

D.。为AABC的内心oaE+b丽+C,无=。

【答案】BCD

【解析】

由三角形四心的定义，利用正弦定理，向量共线定理和平面几何的知识，即可得出结果.A.当。为三角形的外心,

|ULT||UIU||UUUi

由正弦定理可得：|。4卜|0q=|0。卜诡n彳，故A错误；

B.当。为三角形的重心，。为中线的交点，延长A。交BC于点M,可得|A0|=2|0M],所以

UUUUUUUL1UUUUUU1llliuUUU11

AO=2OM=OB+OC,:.OA+OB+OC=0-

反之，取BC中点M,若西+而+反=。，则之:+2第=!），则可得A,0,"三点共线且|。4|=2]。知|,即

4为三角形的重心.故B正确；

UUiUUUUU1ULHlUtaUUUUUU1UU1UUU1UU1ULUl

C.当。为三角形的垂心，Q4_LBC=O4gfiC=0=OAg；OC—08）=0=。4goe=O4g9B，同理可证

0B3C=0AW）B，即。4・。3=。3・0。=。。・。4,反4也成H，故C正确；

bAFAE

D当。为三角形的内心，。为三角形的角平分线'则一=寸,一=正'如图过A作,F的平行线交8E的延

aBFa

长线于点M过A作BE的平行线交C尸于点“，则四边形AMON为平行四边形

E

O

B

uun

uuruuurmiurcwnunON

）uu。n=|也AE|产uim+扁\AF渭\uu。n=c产nun+A产uira

QA=OM+ON=Vra^gCO+tttm-

\co\BO

uiiuiiuuiairuuuuiuuuur、

所以aOA—cCO-65O=0naOA+cOC+6O3=0，反之也成立，故D正确;

故选：BCD

【点睛】

关键点点睛：平面向量结合平面几何的知识进行推理是解题的关键.本题考查了理解辨析能力、逻辑推理能力和解

决问题能力，属于难题.

12.下列说法正确的是（）

/____X

ABAC_.ABAC1

A.若非零向量•3C=0,且।门।一则△ABC为等边二角形

扃同\AB\|ACI2

B.己知砺=万,而=尻反=己彷=，，且四边形ABCZ）为平行四边形，则G+B—三一2=。

C.己知正三角形ABC的边长为26，圆。是该三角形的内切圆，P是圆。上的任意一点，则丽•丽的最大

值为1

715乃

D.己知向量08=（2,0）,OC=（2,2）,04=（也cos私Vasina）则砺与无夹角的范围是

TH

【答案】AC

【解析】

利用单位向量以及向量数量积的定义可判断A；利用向量的加法运算可判断B；利用向量的加、减运算可判断C；

由题意可得点A在以（2,2）为圆心，、历为半径的圆上，由向量夹角定义可判断D.A,因为非零向量

____\

普+普BC=O,所以N8AC的平分线与BC垂直,

网西）

ABAC1万

△ABC为等腰三角形，又后斓不，所以NBAC=?

A8AC23

所以AABC为等边三角形，故A正确;

B，a+b-c-d=OA+OB-bC-OD-

CA+DB=CD+DA+DA+AB'

在平行四边形A3CD中，有而=反,

所以原式=2函w。，故B错误；

C,设正三角形A8C内切圆半径广，

由面积相等可得!x2Gx3xr=—x2Gx2xsin—,

223

解得r=l，令A8的中点为。，从而D4=OC=G，

则西+丽=2万，PA-PB=BA^2DA^

两式平方作差可得4丽.丽=4PD2-4DA，

即丽・丽=而2_3,若要使两.而最大，只需而2最大

由于。为AB的中点，也为圆。与AB的切点，所以|而|的最大值为2厂=2,

所以两・丽=所2-344一3=1，故C正确；

D,设Q4=(x,y),CA=OA-OC=(x-2,y-2)=(0cosc,Vasina),

所以x—2=V2cosa>y-2=V2sina,

所以(x_2y+(y_2/=2,

即A在以(2,2)为圆心，血为半径的圆上，

如图：

当OA与圆在下方相切时，砺与而夹角最小，此时为------=—

4612

jrjr、冗

当OA与圆在上方相切时，砺与而夹角最大，此时为一+丁=：

4612

IT57r

所以乐与布夹角的范围是—，故D错误•

故选：AC

【点睛】

关键点点睛：本题考查了向量的数量积定义、向量的加减法以及向量的夹角，解题的关键是是将向量问题转化为

平面几何问题，利用圆的性质求解，考查了转化思想、数学运算、数学建模，此题是向量的综合题目.

三、填空题

13.设AOAB中，。4=£,o5=B且满足卜，一目=,1,+q=2,当AQAB面积最大时，则£+B与石夹

角的大小是.

【答案】45°

【解析】

根据向量运算几何意义，运用余弦定理和正弦定理建立边角关系，再应用三角公式求解.解：在△。钻中，取

中点C，连接OC，设NCOB=a，ZOAB=0,

OA=a^^=1且满足万I，巧+1|=2,

由向量及其运算几何意义知，AB^a-b\,OA=\a\,

OC=|g(d+5)|=l,口+5与5夹角即为a，

设AC=x,则。4=2x,BC=x；设△OA8的面积为S,

x+2x>l,2x-x<l=>-<x<l；

3

5Y2_i

由余弦定理得I2=A:2+(2x)2-2•x♦2x•cos0=>cos0=—~,

4/

22

S=g(2x)2sine=2xlJl_cos2=|J(l-x)(x-1),

当；+即％=立，cos6»=q时，S取最大值.

*=-V=o35

X

所以.e11+cos_x/5P+5_V2,

sma=%cos—=x.。

2~~1-

因为a为锐角，所以a=45°.

故答案为：45°

【点睛】

本题考查了平面向量运算及其几何意义，用余弦定理与正弦定理是解决问题关键.

14.在锐角△A6C中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若AABC的面积为日,2+〃—c2）,且「=4,

则AABC的周长的取值范围是.

【答案】（46+4,12]

【解析】

【解析】

通过观察AABC的面积的式子很容易和余弦定理联系起来，所以乎cZ'ugabsinC，求出

tanC=&，所以C=工.再由正弦定理即可将G+B的范围通过辅助角公式化简利用三角函数求出范围即可.因

3

为AABC的面积为乎（/+〃一°2）,所以

—（a2+ZJ2-c2U-^sinC.所以=sinC.由余弦定理可得cosC='十^一、，则

4'‘2lablab

V3cosC=sinC.即tanC=百，所以C=£.由正弦定理可得一^=」_=_^=迪，所以

3sinAsinBsinC3

8存sinA+sinf--A(

(sinA+sinB)=8sinA+-.因为AABC为锐角三角形，所

33I3I6j

以工＜A＜三，所以史＜sinA+生,，1，贝iJ4jj＜ssin(A+二),,8,即4G＜a+仇，8.故AABC的周

622I6J6

长的取值范围是(473+4,12].

【点睛】

此题考察解三角形，熟悉正余弦定理，然后一般求范围的题目转化为求解三角函数值域即可，易错点注意转化后

角的范围区间，属于中档题目.

15.如图，等腰三角形ABC,AB=AC=2,N84C=120°.E，尸分别为边A3，AC上的动点，且满

足醺=加而，AF=nAC-其中拉，«e(O,l),m+n^l,M，N分别是EE，8c的中点，贝U|MN|

的最小值为.

【答案】上

2

【解析】

——■1--1—.

根据条件便可得到削=:(1-»043+(1-〃)4。，然后两边平方即可得出

2:2;

MN=(1-m)2+(1-n)2-(1-ZM)(1-n)＞而由条件〃=1一相，代入上式即可得出丽？=3,/一3.+[,从而配

方即可求出丽2的最小值，进而得出|MN|的最小值.解：丽=丽-而

=i(AB+AC)--(mAB+nAC)

22

=-(l-m)AB+-(i-n)AC

22

MN2=1(1-m)2与’+1(1—nyAC+-(1-w)(l-n)AB.AC

442

=(1—niy+(1-n)2-(1-m)(1-ri)；

vm+H=l,/.n=l-m,代入上式得：

MZ~=(1-m)2+nt+(1-ni)m

—3m2—3m+1

=3Q/（〃?­1、）2+1—；

24

•・•mG（0,1）；

1_1

・'.=一时，>2最小值一；

24

.IMN|的最小值为

2

故答案为：一.

2

【点睛】

本题考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及向量数量积的运算及计

算公式，配方求二次函数最值的方法.

16.已知AAbC是边长为2的正三角形，平面上两动点0、P满足丽=4砺+4加+40C

（4+4+4=1且4、4、>0）.若|o户|=i,则04.0百的最大值为.

【答案】3+26

【解析】

分析出点0、P的位置，作出点。所在的平面区域，取A3的中点。，可得出丽•。豆=|历］一1,求出|而|

的最大值，即可得解•丽=4砺+4而+4反=4砺+4砺+（1—4一4）反，

二赤-诙=4（函-芯）+4（砺-芯），即而=4画+4函，

因为4+4+4=1且4、4、42°，则4、所以，o44+44i,

所以，点P在AABC的边界及其内部，

|UUUl|

因为|OP|=1,则点0在如下图所示的封闭区域内，该区域由M”、NR、ST三条线段以及三段分别以A、B、

C为圆心，半径为1且圆心角为半的圆弧围成的区域，

其中四边形A3A1H、BCRN、ACST均为矩形，且AH=AT=BM=BN=CR=CS=1,

H

取AB的中点O,则方X=—而，O4=0D+£M，OB=OD+DB=OD-DA^

所以，OAOB=(OD+DAj(OD-DA)=OD-DA=[0Z)|-1,

连接。。并延长交RS于点。，此时|而L*=6+1，

因此，OA-OB=|o5|2-l<(73+l)2-l=3+2V3.

故答案为：3+20.

【点睛】

思路点睛：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：

一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征

直接进行判断；

二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等

问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.四、解答题

17.如图，已知正方形ABC。的边长为2,点尸为正方形内一点.

AB

图⑴

(1)如图1

(i)求Q•前+前•而的值;

(ii)求福•通+而•前+方・历+而•丽的值;

(2)如图2,若点M,N满足而=2两，前=2祝.点P是线段的中点，点。是平面上动点，且满足

2而=/1胡+(1—X)而，其中/IwR,求西•两的最小值.

31

【答案】(1)(i)4(ii)8(2)——

36

【解析】

(1)(i)由向量的数量积的运算性质和向量的加法法则可得而•配+定•交=(市+定)•配=而•肥，

结合数量积的定义可得答案.

(ii)利用向量数量积的运算性质结合图形将原式化为(而+京)•通+(萍+方)•肥，利用向量的加法法

则即化为次.通+丽.耳d，结合数量积的定义可得答案.

(2)以A为原点，AB为％轴，AD为＞轴，建立平面直角坐标系，得出相应点的坐标，根据条件得出点。的

坐标，再由向量数量积的坐标公式可得答案.(1)(i)正方形A3CO的边长为2,则

ZCAB=ZCAD=ZDBC=45°,\AC\=\BD\.

APBC+PCBC=(JP+PCyBC=AC-BC=AC-AD=2x2-j2xcos450=4

(ii)APAB+BPBC+CPCD+DPDA

=(APAB+CPCD)+(5P-5C+DPZM)

=(APAB+PCAB)+(13PBC+Pi5BC^

=(AP+PC)AB+(fiP+PZ))-flC

=AC-AB+BD-BC=2x272xcos45°+2x2夜xcos45°=8

(2)以A为原点，AB为'轴，AZ)为y轴，建立平面直角坐标系.

由加'=2而，丽=2正，则AA/=-A力，囱7=—

33

所以A(0,0),5(2,()),C(2,2),O(0,2),M(0,1),N(2,(),

点P是线段MN的中点，则尸(1,1)

设Q(x,y)，而=(H),中=(-1,-1),而=(1,-1)

由2而=4可+(1_丸)而，即(2x_2,2y_2)=(_4_；l)+(l-；l,；l_l)=(l_2/l,_l)

⑵—2=1—2%

所以<，即。

2y-2=-l

西=卜一|],QN=

26

2-|x|11+A|+—

236

22

362

【点睛】

关键点睛：本题考查向量的加法法则和数量积的运算，建立坐标系利用坐标法求解向量的数量积的最值，解答本

题的关键是建立坐标系，根据条件得出。点坐标，从而得出W•丽=几2一4一N=1几一_1)一卫，属于

36I2J36

中档题.

18.⑴对于平面向量,求证："5卜同W，并说明等号成立的条件；

(2)我们知道求/⑻=cos8+石sin0的最大值可化为求f(0)=2sin(6»+-)的最大值，也可以利用向量

6

的知识，将fg)构造为两个向量的数量积形式，即：令云=。，若)，b=(cos6»,sin。)，则转化为/(。)=汗石，

求出最大值.利用以上向量的知识，完成下列问题：

①对于任意的A,求证：(ac+bcl)2<(a2+Z?2)(c2+J2)；

②求/(x)=3，r-l+4j2-尤的最值.

【答案】(1)证明见解析，当且仅当〃//5时，即6=0或6>=力，等号成立；(2)①证明见解析；②最大值为

5,最小值为3.

【解析】

(1)由向量的数量积的定义并结合余弦函数的有界性即可证明；

(2)①设不=(。力)石=伍〃)，再结合卜•方卜同即可得证明；

②设々=(3,4),5=(1口,石工)，则/(%)=37^1+472^=5-^,再结合向量数量积的几何意义求

解即可.解：⑴设他6)=8,所以"可=忖帆85夕=|同W|cOsM4同网

当且仅当G//5时，即。=0或。=〃，等号成立

(2)①设M=(a,h),b=(c,。)，则无6=ac+/d,同=J4+/，W="2+小

V|a-5|<|«||^|,\ac+hd\<y/a2+h2-\Jc2+d2

两边平方得:(ac+㈣2+用卜2+屋).

②M=(3,4),5=(\/x-l,j2-x),所以同=5,网=1,

所以.f(x)=3jx-1