新教材2023年秋高中数学第3章圆锥曲线的方程微专题4破解圆锥曲线的离心率问题教师用书含答案新人教A版选择性必修第一册

微专题4破解圆锥曲线的离心率问题离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，求离心率的方法主要有：(1)通过已知条件列出方程组，解出a，c的值；(2)由a，b的关系求离心率e＝1-b2a2(椭圆)或e＝(3)由已知条件得关于a，b的齐次式，再转化为关于e的一元二次方程；(4)通过特殊值或特殊位置求离心率；(5)在焦点三角形内求离心率．类型1定义法【例1】(1)(2022·山东省聊城市模拟)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形((2)设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|(1)3－1(2)53[(1)设椭圆左、右焦点分别为F1，F，点A在第一象限，如图所示由题意知，|OA|＝12|F1F|，所以△F1AF是直角三角形，|AF|＝c所以|AF1|＝3c，2a＝3c＋c，所以ca＝23+1＝(2)由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a，由|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝94ab则有(|PF1|＋|PF2|)2－4|PF1|·|PF2|＝9b2－9ab＝4a2，即有(3b－4a)(3b＋a)＝0.所以3b＝4a，所以ba＝4则e＝ca＝1+ba2＝1+类型2几何法【例2】设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2A．33B．36C．13A[如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线．所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝3|PF2|.由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，即a＝3PF22，2c＝|F1F2|＝3|即c＝3P则e＝ca＝3PF2类型3寻求齐次方程求离心率【例3】(1)(2022·江西省上饶市模拟)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A，虚轴的一个端点为B，若△ABFA．3 B．2C．2或3 D．1＋3(2)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且(1)D(2)5-12[(1)由题意易知F(－c，0)，A(a，0)，设B(0，则|AF|2＝(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac，|AB|2＝a2＋b2，|BF|2＝b2＋c2.由△ABF为等腰三角形，分析可得|AF|＝|BF|，即a2＋c2＋2ac＝b2＋c2，变形可得c2－2a2－2ac＝0，又e＝ca，则有e2－2e－2＝0，解得e＝1±3又双曲线中e>1，所以e＝1＋3.(2)在△ABF中，|AB|＝a2+b2，|BF|＝a，|AF|＝由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，即a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，整理得a2＋b2＝c2＋2ac，将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝-1因为0<e<1，所以e＝5-1类型4求离心率的取值范围【例4】若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点22，1[法一：设点M的坐标是(x0，y0)，则|x0|由F1(－c，0)，F2(c，0)知MF1＝(－c－x0，－y0)，MF2＝(c－x0，－∵∠F1MF2＝90°，∴MF1·MF2＝-c+x又点M在椭圆上，即y02＝b2－b2a2x02，∴x02+y02＝b2＋c2a2x02∈[b2，a2)，即c2∈[b2，a2)，∴c2≥b2故椭圆的离心率e的取值范围是22法二：设椭圆与y轴的一个交点为P，∵