27.2.1相似三角形的判定（第三课时）（导学案）九年级数学下册（人教版）

学习目标1.了解“两角分别相等的两个三角形相似”和“如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.”判定定理的证明过程，能运用这两个判定定理证明两个三角形相似.2.通过对相似三角形两个判定定理的学习，会用已知条件证明三角形相似并解决一些简单的问题.重点难点突破★知识点1：三角形相似判定定理5：两角分别相等的两个三角形相似.★知识点2：直角三角形相似判定定理1：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.核心知识一、三角形相似判定定理5：两角分别_____________的两个三角形相似.二、直角三角形相似判定定理1：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应____________，那么这两个直角三角形相似.复习巩固【提问1】如何判断两个三角形是否相似呢？新知探究【小组讨论】分别画△ABC和△DEF，使得∠A和∠D都等于∠α，∠B和∠E都等于∠β，此时，∠C与∠F相等吗？三边的比ABDE【问题一】改变∠α，∠β的大小，以上结论还成立吗？你发现了什么？【证明一】如图，在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A'，∠B=∠B’，求证：△ABC∽△A'B'C'.典例分析例1已知一个三角形的两个内角分别是35°，65°，另一个三角形的两个内角分别是35°，80°，则这两个三角形()A．一定不相似 B.不一定相似C．一定相似 D.不能确定【针对训练】1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABCC．APAB=AB2.如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②AC2=AD⋅AB；③BCCD＝A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.在△ABC中，D是AB上的点，且∠ACD＝∠B，1）证明：△ABC与△ACD相似.2）AD=4，AC=6，求AB.4．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°.求证：△ACD∽△BEC5．如图，将矩形纸片ABCDAD>DC沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为F，折痕交AB边于点E(1)求证：△EFB∼△DEC；(2)若AD=10,CD=6，求EF的长；探究新知【问题二】如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中∠B=∠E=90°根据之前所学已知哪些条件我们可以证明这两个三角形相似呢？【问题三】我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定.那么满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？【证明】在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，ABA'B'

=ACA'C'典例分析例2在Rt△ABC和Rt△DEF中，(1)∠A=55°，∠D=35°；(2)AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；(3)AB=10，AC=8，DE=15，EF=9．能力提升1．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过秒时△QBP与△ABC相似．课堂小结1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？2.简述判定两个三角形相似的方法？3.你知道判定两个三角形相似的思路吗？【参考答案】新知探究【小组讨论】分别画△ABC和△DEF，使得∠A和∠D都等于∠α，∠B和∠E都等于∠β，此时，∠C与∠F相等吗？三边的比ABDE,【问题一】改变∠α，∠β的大小，以上结论还成立吗？你发现了什么？成立，△ABC∽△DEF【证明一】如图，在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A'，∠B=∠B’，求证：△ABC∽△A'B'C'.证明：在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A'B'，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠ADE=∠B,∠AED=∠C，AD过点D作DF∥AC，交BC于点F，则ADAB=CFCB∵DE∥BC，DF∥AC∴四边形DFCE是平行四边形∴DE=CF∴

AEAC=∴△ADE∽△ABC∵∠A=∠A’，∠ADE=∠B’，AD=A’B’，∴△ADE≌△A'B’C’∴△ABC∽△A'B'C'.典例分析例1已知一个三角形的两个内角分别是35°，65°，另一个三角形的两个内角分别是35°，80°，则这两个三角形(C)A．一定不相似 B.不一定相似C．一定相似 D.不能确定【针对训练】1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（D）A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABCC．APAB=AB2.如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②AC2=AD⋅AB；③BCCD＝ABACA．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.在△ABC中，D是AB上的点，且∠ACD＝∠B，1）证明：△ABC与△ACD相似.2）AD=4，AC=6，求AB.解：在△ABC和△ACD中∵∠A=∠A，∠ACD=∠B∴△ABC∽△ACD∴ACAB

=4．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°.求证：△ACD∽△BEC【详解】证明：∵AD⊥AB，BE⊥AB，∴∠DAC=90°=∠EBC，∴∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，∵∠DCE=90°，∴∠DCA+∠ECB=90°，∴∠D=∠ECB，∵∠DAC=90°=∠EBC，∴△ACD∽△BEC．5．如图，将矩形纸片ABCDAD>DC沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为F，折痕交AB边于点E(1)求证：△EFB∼△DEC；(2)若AD=10,CD=6，求EF的长；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，∴∠CDE+∠CED=90°根据折叠的性质得：∠DEF=∠A=90°，∴∠BEF+∠CED=90°∴∠BEF=∠CED∴△EFB∼△DEC（2）解：根据折叠的性质得：DE=AD=10，∵CD=6，∴CE=D∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=10，∴BE=2．探究新知【问题二】如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中∠B=∠E=90°根据之前所学已知哪些条件我们可以证明这两个三角形相似呢？情况一：∠B=∠E，∠C=∠F(或∠A=∠D)情况二：∠B=∠E，ABDE情况三：AB【问题三】我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定.那么满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？相似【证明】在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，ABA'B'

=ACA'C'设ABA'B'

=ACA'C'=k，则AB=kA'B∴BCB'C'∴ABA'B'

∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'典例分析例2在Rt△ABC和Rt△DEF中，(1)∠A=55°，∠D=35°；(2)AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；(3)AB=10，AC=8，DE=15，EF=9．【详解】（1）解：在Rt△ABC和Rt∠C=∠F=90°．∵∠A=55°∴∠B=90°−∠A=35°，∴∠B=∠D，∴Rt△ABC和Rt（2）解：在Rt△ABC和Rt∠C=∠F=90°．∵ACDF=96=∴Rt△ABC和Rt（3）解：在Rt△ABC和∠C=∠F=90°．在Rt△ABC中，AB=10，∴BC=1∵ABDE=1015=∴Rt△ABC和能力提升1．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过0.8或2秒时△QBP与△ABC相似．【详解】解：设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，则AP=2tcm,BP=(8−2t)cm,BQ=4tcm,∵∠PBQ=∠ABC∴当BPBA=BQ即8−2t8=4t当BPBC=BQ即8−2t16=4t综上所述：经过0.8s或2s秒时，△QBP与△ABC相似，