专题26.2反比例函数的图象与性质（二）精准练（人教版）

专题26.2反比例函数的图形与性质（二）【十大题型】题型归纳【人教版】题型归纳TOC\o"11"\h\u题型一：判断反比例函数增减性 1题型二：反比例函数K的几何意义 5题型三：根据反比例函数系数K求图形面积 9题型四：一次函数与反比例函数的应用 14题型五：反比例与一次函数图像共存问题 20题型六：反比例函数几何综合 25精讲精练精讲精练题型一：判断反比例函数增减性1．（22·23下·烟台·期末）已知反比例函数，则下列描述正确的是（

）A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而增大C．图象不可能与坐标轴相交 D．图象必经过点【答案】C【分析】根据反比例函数的图象位于第二、四象限；不可能与坐标轴相交；时，，时，；时，．逐一判断．【详解】∵该反比例函数解析式为，∴，∴图象位于第二、四象限，故A错误，不符合题意；当时，，当时，，故B错误，不符合题意；图象不可能与坐标轴相交，故C正确，符合题意；当时，，∴图象必经过点，而不过点，故D错误，不符合题意．故选C．【点睛】本题主要考查了反比例函数．熟练掌握反比例函数的图象不与坐标轴相交，函数值在同一象限内的增减性，函数值在不同象限内的正负性，点与图象的位置关系，是解题关键．2．（22·23下·杭州·期末）已知，点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（）A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小C．当时，则 D．当时，则【答案】D【分析】根据反比例函数的性质进行判断即可．【详解】解：A.y随x的增大而增大，∵，∴双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故该选项说法错误；B.y随x的增大而减小，∵，∴双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故该选项说法错误；C.当时，则，∵，∴双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故当时，，当时，，故该选项说法错误；D.当时，则，∵，∴双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故当时，，故该选项说法正确；故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．3．（22·23上·兰州·期末）关于反比例函数，点在它的图像上，下列说法中错误的是（

）A．当时，随的增大而增大 B．图像位于第二、四象限C．点和都在该图像上 D．当时，【答案】ABD【分析】根据题意，利用反比例函数图像与性质逐项判断即可得到答案．【详解】解：A、由于，反比例函数图像在第一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小，该选项说法错误，符合题意；B、由于，反比例函数图像在第一、三象限，该选项说法错误，符合题意；C、由于点在函数的图像上，则，从而点和都在函数的图像上，该选项说法正确，不符合题意；D、当时，，由于反比例函数图像在第一、三象限，则当时，，该选项说法错误，符合题意；故选：ABD．【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．4．（22·23上·濮阳·期末）若点，和都在反比例函数的图象上，则，的大小关系为．（用“＞”连接）【答案】【分析】分别把，代入反比例函数，求出，的大小，再比较大小．【详解】解：点，和都在反比例函数的图象上，，，．故答案为：．【点睛】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点，熟知反比例函数图像上各点坐标一定适合此函数解析式是解题的关键．5．（22·23下·威海·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，C是线段上的动点，且反比例函数（）的图象经过点C．(1)在反比例函数（）的图象中，y随x的增大而_____________；（填“增大”或“减小”）(2)当C为的中点时，求k的值；(3)当点C在线段上运动时，求k的取值范围．【答案】(1)增大(2)(3)【分析】（1）根据反比例函数的性质可直接得到答案；（2）先计算出的坐标，再利用待定系数法即可求出答案；（3）先求出直线的解析式，设可得，将带入反比例函数即可得到是关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求出的取值范围．【详解】（1）反比例函数的图象在第二象限，随的增大而增大，故答案为：增大；（2）为的中点时，点的坐标为，即，，，（3）设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，设点，得，反比例函数的图象经过点，，，，，是关于的二次函数，对称轴为，，当时，为最大值，，【点睛】本题考查一次函数、反比例函数和二次函数，解题的关键是求出直线的解析式，得到是关于的二次函数．知识点一：反比例函数中比例系数k的几何意义如图，过双曲线上任意一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得长方形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|．因为，所以xy=k，所以S=|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得长方形的面积为|k|．题型二：反比例函数K的几何意义6．（23·24上·深圳·期中）如图，点A，B是函数图象上两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D．若的面积为3，点D为的中点，则k的值为．【答案】【分析】先设出点B的坐标，进而表示出点D，A的坐标，利用的面积建立方程求出，即可得出结论．【详解】解：设点，，D为的中点，，轴，的面积为3，故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．7．（22·23·丹东·中考真题）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则．【答案】【分析】连结、，轴，由得到．由得到，则，再根据反比例函数图象所在象限即可得到满足条件的k的值．【详解】解：如图，连结、，∵轴，∴．∴．∵，∵，∴，∵图象位于第一象限，则，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数形结合的思想是解答问题的关键．8．（23·24上·合肥·期中）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则的值=．【答案】【分析】根据正方形和双曲线的中心对称性，、的交点为O，如图，过点A作轴于M，过点D作轴于N，证明得到，利用反比例函数系数k的几何意义求解即可．【详解】：根据正方形和双曲线的中心对称性，、的交点为O，如图，过点A作轴于M，过点D作轴于N，则，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，则，∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴，故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的性质和系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解答的关键．9．（22·23上·红河·期末）如图，点是反比例函数图像上的一点，轴于点，且面积为4．则的值为（

）A．8 B． C． D．4【答案】B【分析】根据即可求解；【详解】解：∵，∴，∵函数位于二、四象限，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握相关知识是解题的关键．10．（23·24上·邢台·期中）如图，在反比例函数的图像上，有点，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，若，则的值为（

） B．3 C．4 D．无法确定【答案】C【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，由题意可分别得四点的坐标，则可表示三个阴影部分的面积，再由面积和为3建立关于k的方程，解方程即可求得k的值．【详解】解：∵点，，，在反比例函数的图象上，且它们的横坐标依次为1，2，3，4，∴，，，，∴，，，∵，∴，解得：，故选：C．题型三：根据反比例函数系数K求图形面积11．（22·23下·泉州·期中）如图，长方形的顶点在直线上，点在双曲线上，点在轴上，若，则长方形的面积为．【答案】/【分析】延长交轴于，利用反比例函数系数的几何意义求得，由顶点在直线上，可知，即可得出，得出，从而得出长方形的面积为．【详解】解∶延长交轴于，∵四边形是长方形，轴，，∴轴，∵点在双曲线上，∴，∵长方形的顶点在直线上，∴，∵，，，∴，∴，∴长方形的面积为．故答案为︰．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义∶在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．12．（22·23下·烟台·期中）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的中点P，与交于E、F两点，则四边形的面积是．【答案】6【分析】设P点的坐标为，根据矩形性质求得的坐标，根据反比例函数的几何意义可得，根据，即可求解．【详解】解：四边形是矩形，轴，轴，∵在反比例函数图象上，，设P点的坐标为，而点P在反比例函数图像上，则，又∵矩形对角线的中点为P，，，，，，故答案为：6．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的性质，中点坐标公式，设点的坐标求解是解题的关键．13．（22·23上·陕西·期中）如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为．【答案】4【分析】过A作于H，依据可得的面积为2，根据等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：如图，过A作于H，∵点A在反比例函数第二象限内的图象上，∵的面积为，∵，∴的面积为．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．14．（23·24上·南通·期中）如图，O是坐标原点，平行四边形的顶点A的坐标为，顶点C在轴的负半轴上，反比例函数的图像经过顶点B，则平行四边形的面积为（）A．27 B．18 C．15 D．12【答案】C【分析】过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，根据反比例函数系数k的几何意义得，进而求得，进一步得到，根据平行四边形的面积公式即可求得答案．【详解】解：如图，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，∵四边形是平行四边形，∴轴，∴直线轴，∴B、A、D三点共线，∵，∴四边形是矩形，∵函数的图象经过顶点B，∴，∵平行四边形的顶点A的坐标为，∴，∴，即，∴，∴，∴，故选C．【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，正确得出的长是解题的关键．15．（22·23下·长春·期中）如图，点A在双曲线上，过点A作轴，交双曲线于点，点、都在轴上，连接、，若四边形是平行四边形，则的面积为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由轴可知，A、B两点纵坐标相等，且都设为b，根据点A在双曲线，B在双曲线上，求得，而的边上高为b，根据平行四边形的面积公式进行计算即可．【详解】解：∵点A在双曲线上，B在双曲线上，且轴，∴A、B两点纵坐标相等，且都设为b，则，，∴，故的边上高为b，∴．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，解决问题的关键是由平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，根据平行四边形的面积公式计算．题型四一次函数与反比例函数的应用16．（22·23下·宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，：与反比例函数的图象交于点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)一次函数的图象与x轴交于B点，求的面积，并直接写出x为何值时双曲线位于直线上方；(3)设M是反比例函数图象上一点，N是直线上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．【答案】(1)，(2)，(3)点N的坐标为，，【分析】（1）将点C代入直线中求出b，进而得出直线的解析式，然后求出点A的坐标，再代入反比例函数的表达式中，即可得出答案；（2）求出点B坐标，根据三角形的面积公式进行计算；然后结合函数图象得出x的取值范围；（3）设点，，分三种情况讨论：①以和为对角线时，②以和为对角线时，③以和为对角线时，分别利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论．【详解】（1）解：∵点在直线上，∴，∴一次函数的表达式为；∵点在直线上，∴，∴，∵点在反比例函数的图象上，∴，∴反比例函数的表达式为；（2）在中，令，解得，∴，又∵，∴，由函数图象得：当时，双曲线位于直线上方；（3）∵直线的表达式为，反比例函数的表达式为，设点，，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，则分情况讨论：①以和为对角线时，可得：，，解得：，或（此时点M不在第一象限，舍去），∴；②以和为对角线时，可得：，，解得：或（此时点M不在第一象限，舍去），∴，③以和为对角线时，可得：，，∴或（此时点M不在第一象限，舍去），∴，综上，满足条件的点N的坐标为，，．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，求一次函数和反比例函数的解析式，平行四边形的性质，中点坐标的求法等知识，利用中点坐标公式建立方程组求解是解题的关键．17．（22·23下·烟台·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（

）A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时【答案】B【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间．【详解】解：时，设线段的解析式为，由于线段过点，则有，解得：，即线段解析式为；当时，设，把点代入中，得，即，当时，，得；当时，，得；∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）；故选：B．【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合．18．（22·23下·泉州·期中）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物熏蒸时与的函数关系式为，药物熏蒸完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．(1)求的值；(2)当时，求与的函数关系式；(3)当教室空气中的药物浓度不低于时，对杀灭病毒有效问：本次消毒中有效杀灭病毒的时间持续多长时间？【答案】(1)6(2)(3)8min【分析】（1）依据题意，将代入可以得解；（2）由（1）得坐标，再设反比例函数解析式，从而将代入反比例函数解析式可以得解；（3）依据题意，令，结合函数的性质可得有效时间．【详解】（1）解：由题意，，即为，．（2）解：由（1）可得．设熏蒸完后函数的关系式为：，．熏蒸完后函数的关系式为：．（3）解：药物浓度不低于，当时，，当时，，有效时长为，答：有效杀灭病毒的时间持续．【点睛】本题考查了反比例函数及正比例函数的应用，解题的关键是能够从实际问题中抽象出反比例函数和正比例函数模型，难度不大．19．（21·22下·扬州·期末）如图，已知点在正比例函数图像上，过点作轴于点，四边形是正方形，点在反比例函数图像上．(1)若点的横坐标为，求的值；(2)若设正方形的边长为，试用含的代数式表示值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正比例函数的上得到点的坐标为，再根据正方形的性质及反比例函数的解析式即可解答；（2）根据正比例函数的解析式及正方形的性质得到的坐标为，再根据反比例函数的解析式得到．【详解】（1）解：∵点在正比例函数图象上，∴当时，，点的坐标为，∴，，的坐标为，∴点在反比例函数图像上，∴，∴．（2）解：∵正方形的边长为，∴，∴和的纵坐标为，∴的坐标为，，∴点的坐标为，∴代入反比例函数得，．【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的上点的特征，正方形的性质，利用正方形的性质求各个点的坐标是解题的关键．20．（22·23下·乐山·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示．(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；(2)问血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间多少小时？【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为，下降阶段的函数关系式为．(2)15小时【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法求解析式，并写出自变量的取值范围即可；（2）根据题意得出在两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围．【详解】（1）解：当时，设直线解析式为：，将代入得：，解得：，故直线解析式为：；当时，设反比例函数解析式为：，将代入得：，解得：a=32，故反比例函数解析式为：；所以血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为，下降阶段的函数关系式为．（2）解：如图：由题意：，解得：；，，∴∴血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间为15小时．【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意得出函数解析式是解题关键．五、题型五：反比例与一次函数图像共存问题21．（23·24上·邢台·阶段练习）在同一平面直角坐标系xOy中，函数和的图象大致是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分和两种情况分类讨论即可确定正确的选项．【详解】解：时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，无选项符合；时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，A选项符合．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不大．22．（22·23下·新乡·期中）在同一坐标系中，函数和的图像大致是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分两种情况讨论：当时和当时，分析反比例函数所在象限和一次函数经过的象限，即可获得答案．【详解】解：当时，函数的图像位于第一、三象限，经过第一、二、四象限；当时，函数的图像经过第二、四象限，经过第一、二、三象限．综上所述，选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图像的识别，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键．23．（22·23上·成都·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点,两点，当时，则自变量的取值范围是．【答案】或【分析】根据图象中一次函数与反比例函数的分布即可求出取值范围．【详解】由图像知，当或时，一次函数在反比例函数上方，即，故答案为：或【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的图象问题，解题的关键是不要被题目中的无关字母干扰．24．（22·23下·杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，．请根据图象写出不等式的解集．【答案】和【分析】从函数图象看，当和时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，从而求解．【详解】解：从函数图象看，当和时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，故不等式的解集为和．故答案为：和．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据图象所给条件应用反比例函数与一次函数的交点问题进行求解是解决本题的关键．25．（22·23下·红桥·阶段练习）已知一次函数（，为常数，）的图象如图所示，则正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一次函数（，为常数，）的图象判定，确定图象分布，判断即可．【详解】解：根据一次函数（，为常数，）的图象判定，∴的图象分布在二四象限，反比例函数的图象分布在二四象限，故选：D．【点睛】本题考查了一次函数图象分布，反比例函数图象的分布，熟练掌握图象分布与k，m的关系是解题的关键．26．（22·23下·呼伦贝尔·期中）如图，已知、是一次函数的图象和反比例函数的图像上的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线与y轴的交点C的坐标及的面积．【答案】(1)，；(2)6；【分析】（1）将点代入两个解析式中求出待定系数即可得到答案；（2）求出直线与坐标轴的交点，根据求解即可得到答案．【详解】（1）解：将将点、代入，点代入得，，，解得：，，∴，；（2）解：当时，，当时，，解得，∴，，∴；【点睛】本题考查一次函数与反比例函数结合题，解题的关键得到解析式，求出函数图象与坐标轴的交点．题型六：反比例函数几何综合27．（23·24上·岳阳·期中）如图，直线与双曲线相交于、两点，与y轴相交于点C．(1)直线与双曲线的表达式(2)若点D与点C关于轴对称，求的面积；(3)请根据图像，直接写出不等式的解．【答案】(1)，(2)3(3)或【分析】（1）由题意，将，坐标代入反比例函数解析式求得，的值，再将将，坐标代入一次函数与即可求出与的值，进而可得答案；（2）利用直线表达式求得点的坐标，由轴对称求得点的坐标，可知轴，则，在根据即可求解；（3）由题意可知只需的图象在的上方所对应的即为解集，根据图象即可求得．【详解】（1）解：把，代入，得：，解得：，；把，代入，得，解得：，；∴直线的表达式为，双曲线的表达式为；（2）当时，，即，点的坐标为，∵点与点关于轴对称，∴点的坐标为，又∵，∴轴，则，∴；（3）由题意可知要使得，只需的图象在的上方，观察图象，可知，不等式的解集为或．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，不等式与函数的关系，数形结合是解决本题的关键．28．（21·22上·佛山·期末）如图，在直角坐标系中，点和点是一次函数和反比例函数图象的交点．(1)求一次函数、反比例函数的表达式和点的坐标．(2)不等式的解集为：______．(3)为线段上一点，且横坐标为正，作轴与反比例函数交于点，当的面积最大时，求点的坐标．【答案】(1)一次函数表达式为：反比例函数表达式为y=，；(2)或(3)【分析】（1）由一次函数求得的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式，解析式联立成方程组，解方程组求得的坐标；（2）根据图象即可求得；（3）设则，根据题意表示出即可得到结论．【详解】（1）解：把代入可得，，即，∴，解得，∴反比例函数表达式为，解，得或，∴；（2）解：由图象可得，当>时，或；（3）解：如图1所示，设，则，∴∴=()=2，∴当时，的面积最大，此时，的坐标为．故答案为：．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．，29．（21·22上·安庆·期末）如图所示，已知，为反