高三数学复习排列与组合(含答案)

排列与组合1．排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”。取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合。2．排列、组合问题的求解方法与技巧①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题要先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题倍缩法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反，等价转化。一、走进教材1．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()2．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()A．18 B．24二、走近高考3．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种 B．18种C．24种 D．36种4．从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数。(用数字作答)三、走出误区微提醒：①分类不清导致出错；②相邻元素看成一个整体，不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方法。5．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有________种。6．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种。考点一简单的排列问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数。(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻。【变式训练】(1)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A．Aeq\o\al(18,18)种 B．Aeq\o\al(20,20)种C．Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,18)Aeq\o\al(10,10)种 D．Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(18,18)种(2)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有()A．10种B．16种C．20种D．24种考点二组合问题【例2】(1)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种。(用数字作答)(2)共享单车是指企业与政府合作，在公共服务区等地方提供自行车单车共享服务。现从6辆黄色共享单车和4辆蓝色共享单车中任取4辆进行检查，则至少有两辆蓝色共享单车的取法种数是________。【变式训练】(1)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科。学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为()A．6B．12C．18D．19(2)现有12张不同的扑克牌，其中红桃、方片、黑桃、梅花各3张，现从中任取3张，要求这3张牌不能是同一种且黑桃至多一张，则不同的取法种数为________。考点三排列与组合的综合应用微点小专题方向1：排列与组合应用题【例3】(1)将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为()A．15B．20C．30D．42(2)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24B．18C．12D．6方向2：定序问题【例4】某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种。方向3：分组分配问题【例5】数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有()A.eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(3,3))Aeq\o\al(4,4)种 B．Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)34种C.eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))43种 D．Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)43种【题点对应练】1．(方向1)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人。其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为()A．8B．7C．6D．52．(方向2)我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，规定乙机不能最先着舰，且丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻)，那么不同的着舰方法种数为()A．24 B．36C．48 D．963．(方向3)6位机关干部被选调到4个贫困自然村进行精准扶贫，要求每位机关干部只能参加一个自然村的扶贫工作，且每个自然村至少有1位机关干部扶贫，则不同的分配方案有__分组分配问题中的易错点一、整体均分问题【典例1】国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生，将其平均分到3所学校去任教，有________种不同的分配方法。二、部分均分问题【典例2】将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为________。三、不等分组问题【典例3】将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法。【变式训练】某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派1名教师，则有________种不同的分配方法。涂色问题1.给图中的四个矩形涂色，使得有公共边的矩形颜色不同，现有四种颜色供选择，这样的涂法种数有.2.如图一圆面分成五个部分，有4种颜色的涂料，要求相邻部分涂不同的颜色，则涂法种数为（）A、72B、36C、24D、123.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，现要求栽种4种不同颜色的花，每部分栽种1种，且相邻部分不能栽种同种颜色的花，不同的栽种方法有______种隔板法

排列与组合答案一、走进教材1．解析末位数字排法有Aeq\o\al(1,2)种，其他位置排法有Aeq\o\al(3,4)种，共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,4)＝48(种)排法，所以偶数的个数为48。故选C。答案C2．解析选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3)＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)＝30种。解析：从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(3,4)－Ceq\o\al(3,3)＝30。故选C。二、走近高考3．解析4＝2＋1＋1，由题意，3名志愿者中，有两人各完成1项，一人完成2项，先将4项工作分成三堆，共eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))种分组方法，再把这三堆分配给3名志愿者，共Aeq\o\al(3,3)种分配方法，由分步乘法计数原理，共eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝36种。故选D。答案D4．解析若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)。综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝720＋540＝1260。答案1260三、走出误区微提醒：①分类不清导致出错；②相邻元素看成一个整体，不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方法。5．解析分两类：第一类，取2台原装计算机与3台组装计算机，有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(3,5)种方法；第二类，取3台原装计算机与2台组装计算机，有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,5)种方法。所以满足条件的不同取法有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,5)＝350(种)。答案3506．解析设这5件不同的产品分别为A，B，C，D，E，先把产品A与产品B捆绑有Aeq\o\al(2,2)种摆法，再与产品D，E全排列有Aeq\o\al(3,3)种摆法，最后把产品C插空有Ceq\o\al(1,3)种摆法，所以共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,3)＝36(种)不同摆法。答案36考点一简单的排列问题【例1】解(1)从7人中选5人排列，有Aeq\o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2520(种)。(2)分两步完成，先选3人站前排，有Aeq\o\al(3,7)种方法，余下4人站后排，有Aeq\o\al(4,4)种方法，共有Aeq\o\al(3,7)·Aeq\o\al(4,4)＝5040(种)。(3)(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有Aeq\o\al(6,6)种排列方法，共有5×Aeq\o\al(6,6)＝3600(种)。解：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有Aeq\o\al(2,6)种排法，其他有Aeq\o\al(5,5)种排法，共有Aeq\o\al(2,6)Aeq\o\al(5,5)＝3600(种)。(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有Aeq\o\al(4,4)种方法，再将女生全排列，有Aeq\o\al(4,4)种方法，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(4,4)＝576(种)。(5)(插空法)先排女生，有Aeq\o\al(4,4)种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有Aeq\o\al(3,5)种方法，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(种)。【变式训练】解析(1)中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻，有Aeq\o\al(2,2)种站法；其他18国领导人可以任意站，因此有Aeq\o\al(18,18)种站法。根据分步计数原理，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(18,18)种站法。故选D。(2)一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座。因为要求每人左右均有空座，所以在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有Aeq\o\al(2,5)＝20种坐法。答案(1)D(2)C考点二组合问题【例2】解析(1)根据题意，没有女生入选有Ceq\o\al(3,4)＝4(种)选法，从6名学生中任意选3人有Ceq\o\al(3,6)＝20(种)选法，故至少有1位女生入选，不同的选法共有20－4＝16(种)。解析：可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12(种)；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝4(种)。根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16种。(2)分三种情况讨论：①两辆蓝色共享单车，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6)＝90种，②三辆蓝色共享单车，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6)＝24种，③四辆蓝色共享单车，有Ceq\o\al(4,4)＝1种。根据分类加法计数原理可得，至少有两辆蓝色共享单车的取法种数是90＋24＋1＝115。答案(1)16(2)115【变式训练】解析(1)在物理、政治、历史中选一科的选法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)＝9种；在物理、政治、历史中选两科的选法有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)＝9种；物理、政治、历史三科都选的选法有1种。所以学生甲的选考方法共有9＋9＋1＝19种。故选D。解析：从六科中选考三科的选法有Ceq\o\al(3,6)种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科，这种选法有1种，因此学生甲的选考方法共有Ceq\o\al(3,6)－1＝19种，故选D。(2)分类完成，含有一张黑桃的不同取法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,9)＝108(种)，不含黑桃时，有Ceq\o\al(3,9)－3Ceq\o\al(3,3)＝81(种)不同的取法。故共有108＋81＝189种不同的取法。答案(1)D(2)189考点三排列与组合的综合应用微点小专题方向1：排列与组合应用题【例3】解析(1)四个篮球中两个分到一组有Ceq\o\al(2,4)种分法，三个篮球进行全排列有Aeq\o\al(3,3)种分法，标号1,2的两个篮球分给同一个小朋友有Aeq\o\al(3,3)种分法，所以有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(3,3)＝36－6＝30种分法。(2)从0,2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1,3,5中选两个数字排在个位与百位，共有Aeq\o\al(2,3)＝6种；从0,2中选一个数字2，则2排在十位(或百位)，从1,3,5中选两个数字排在百位(或十位)、个位，共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,3)＝12种，故共有Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,3)＝18种。故选B。答案(1)C(2)B方向2：定序问题【例4】解析添入三个节目后共十个节目，故该题可转化为安排十个节目，其中七个节目顺序固定。这七个节目的不同安排方法共有Aeq\o\al(7,7)种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有Aeq\o\al(10,10)种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有eq\f(A\o\al(10,10),A\o\al(7,7))＝720(种)。解析：将10个节目看作10个元素排列位置。在10个位置中选7个按一定顺序排列，有Ceq\o\al(7,10)种排法，其余3个位置进行全排列，有Aeq\o\al(3,3)种排法，所以共有Ceq\o\al(7,10)Aeq\o\al(3,3)＝720(种)。答案720方向3：分组分配问题【例5】解析首先将12名同学平均分成四组，有eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))种分法，然后将这四组同学分配到四个不同的课题组，有Aeq\o\al(4,4)种分法，并在各组中选出1名组长，有34种选法，根据分步乘法计数原理，满足条件的不同分配方案有eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))·Aeq\o\al(4,4)·34＝Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)34(种)。故选B。解析：根据题意可知，第一组分3名同学有Ceq\o\al(3,12)种分法，第二组分3名同学有Ceq\o\al(3,9)种分法，第三组分3名同学有Ceq\o\al(3,6)种分法，第四组分3名同学有Ceq\o\al(3,3)种分法。第一组选1名组长有3种选法，第二组选1名组长有3种选法，第三组选1名组长有3种选法，第四组选1名组长有3种选法。根据分步乘法计数原理可知，满足条件的不同分配方案有Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,3)34种。故选B。【题点对应练】1．解析根据题意，分2种情况讨论：①乙和甲一起去A社区，此时将丙丁二人安排到B、C社区即可，有Aeq\o\al(2,2)＝2种情况，②乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙丁都去B社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有2×2＝4种情况，则不同的安排方法种数有2＋1＋4＝7种。故选B。2．解析根据题意，分2种情况讨论：①丙机最先着舰，此时只需将剩下的4架飞机全排列，有Aeq\o\al(4,4)＝24种情况，即此时有24种不同的着舰方法：②丙机不最先着舰，此时需要在除甲、乙、丙之外的2架飞机中任选1架，作为最先着舰的飞机，将剩下的4架飞机全排列，丙机在甲机之前和丙机在甲机之后的数目相同，则此时有eq\f(1,2)×Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(4,4)＝24种情况，即此时有24种不同的着舰方法。则一共有24＋24＝48种不同的着舰方法。故选C。答案C3．解析先将6位机关干部分成四组，有(1,1,1,3)和(1,1,2,2)两种情况，所以不同的分配方案共有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(3,6)＋\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4),2)))·Aeq\o\al(4,4)＝65×24＝1560(种)。一、整体均分问题【典例1】【解析】先把6个毕业生平均分成3组，有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有Aeq\o\al(3,3)＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))Aeq\o\al(3,3)＝90种分配方法。【答案】90【易错提醒】对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复