2024届北京市西城区第一五六中学高一数学第一学期期末质量检测试题含解析

2024届北京市西城区第一五六中学高一数学第一学期期末质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．函数的单调递减区间为A. B.C. D.2．若是钝角，则是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角3．设，则“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．设定义在R上的函数满足，且，当时，，则A. B.C. D.5．已知集合，则中元素的个数为A.1 B.2C.3 D.46．若则一定有A. B.C. D.7．已知函数，将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若对任意，都有成立，则的值为A. B.1C. D.28．函数的图像的大致形状是（）A. B.C. D.9．已知函数的值域是（）A. B.C. D.10．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程(为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（）A. B.C. D.11．已知，并且是终边上一点，那么的值等于A. B.C. D.12．若＜α＜π，化简的结果是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．，若，则________.14．已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________.15．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数如果对，，使得，则实数m的取值范围为______16．为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移_________个单位长度而得三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知定理：“若、为常数，满足，则函数的图象关于点中心对称”.设函数，定义域为.（1）试求的图象对称中心，并用上述定理证明；（2）对于给定的，设计构造过程：、、、.如果，构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止.若对任意，构造过程可以无限进行下去，求的取值范围.18．已知平面直角坐标系中，，，Ⅰ若三点共线，求实数的值；Ⅱ若，求实数的值；Ⅲ若是锐角，求实数的取值范围19．已知的部分图象如图.（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的单调增区间.20．（1）计算：.（2）化简：.21．（1）计算：；（2）化简：22．已知函数（1）求函数的定义域及的值；（2）判断函数的奇偶性；（3）判断在上的单调性，并给予证明

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、C【解析】由幂函数的性质知，函数的图像以原点为对称中心，在均是减函数故答案为C2、D【解析】由求出，结合不等式性质即可求解.【详解】，，,在第四象限.故选：D3、D【解析】若，则，故不充分；若，则，而，故不必要，故选D.考点：本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.4、C【解析】结合函数的周期性和奇偶性可得，代入解析式即可得解.【详解】由，可得.，所以.由，可得.故选C.【点睛】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性，着重考查了学生的转化和运算能力，属于中档题.5、A【解析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的个数【详解】∵集合∴A∩B＝{3}，∴A∩B中元素的个数为1故选A【点睛】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用6、D【解析】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选7、D【解析】利用辅助角公式化简的解析式，再利用正弦型函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得的值【详解】，（其中，），将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，得到，∴，，解得，故选D.8、D【解析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.【详解】根据，是减函数，是增函数.在上单调递减，在上单调递增故选：D.【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9、B【解析】由于，进而得，即函数的值域是【详解】解：因为,所以所以函数的值域是故选：B10、B【解析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况,即直线的斜率变化即可.【详解】解：对于乌龟，其运动过程分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，一直以匀速前进，其路程不断增加；到终点后，等待兔子那段时间路程不变；对于兔子，其运动过程分三段：开始跑的快,即速度大，所以路程增加的快；中间由于睡觉，速度为零，其路程不变；醒来时追赶乌龟，速度变大，所以路程增加的快；但是最终是乌龟到达终点用的时间短.故选：B【点睛】本题考查利用函数图象对实际问题进行刻画，是基础题.11、A【解析】由题意得：，选A.12、A【解析】利用三角函数的平方关系式，根据角的范围化简求解即可【详解】=因为＜α＜π所以cos<0,结果为,故选A.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数式的化简求值，考查计算能力二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、【解析】分和两种情况解方程，由此可得出的值.【详解】当时，由，解得；当时，由，解得（舍去）.综上所述，.故答案为：.14、【解析】利用扇形的面积求出扇形的半径，再带入弧长计算公式即可得出结果．【详解】解：由于扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形的面积，解得：，此扇形所含的弧长.故答案为：.15、【解析】先求出时，，，然后解不等式，即可求解，得到答案【详解】由题意，可知时，为增函数，所以，又是上的奇函数，所以时，，又由在上的最大值为，所以，，使得，所以.故答案为【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定与应用，以及函数的最值的应用，其中解答中转化为是解答的关键，着重考查了转化思想，推理与运算能力，属于基础题.16、（答案不唯一）；【解析】由于，再根据平移求解即可.【详解】解：由于，故将函数的图象向右平移个单位长度可得函数图像.故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1），证明见解析；（2）.【解析】（1）计算出的值，由此可得出结论；（2）分、、三种情况讨论，求出函数的值域，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围.【详解】（1），由已知定理得，的图象关于点成中心对称；（2），当时，若，由基本不等式可得，若，由基本不等式可得.此时，函数的值域为，当时，的值域为，当时，的值域为，因为构造过程可以无限进行下去，对任意恒成立或，由此得到.因此，实数的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义问题，解本题的关键在于对实数的取值进行分类讨论，求出函数的值域，根据题意得出所满足的不等式组求解.18、(Ⅰ)-2；(Ⅱ)；(Ⅲ)，且【解析】Ⅰ根据三点共线，即可得出，并求出，从而得出，求出；Ⅱ根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出的值；Ⅲ根据是锐角即可得出，并且不共线，可求出，从而得出，且，解出的范围即可【详解】Ⅰ，B，P三点共线；；；；；Ⅱ；；；Ⅲ若是锐角，则，且不共线；；，且；解得，且；实数的取值范围为，且【点睛】本题主要考查向量平行时的坐标关系，向量平行的定义，以及向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，属于中档题．利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.19、（1）；（2）和.【解析】（1）由图知：且可求，再由，结合已知求，写出解析式即可.（2）由正弦函数的单调性，知上递增，再结合给定区间，讨论值确定其增区间.【详解】（1）由图知：且，∴.又，即，而，∴.综上，.（2）∵，∴.当时，；当时，，又，∴函数在上的单调增区间为和.20、（1）；（2）【解析】（1）根据分数指数幂及对数的运算法则计算可得；（2）利用诱导公式及特殊值的三角函数值计算可得；【详解】解：（1）（2）21、（1）；（2）【解析】（1）由题意利用对数的运算性质，计算求得结果（2）由题意利用诱导公式，计算求得结果【详解】解：（1）（2）22、（1）(2)偶函数（3）在上是减函数,证明见解析.【解析】(1)根据对数函数成立的条件即可求函数f(x）的定义域及的值；(2）根据函数奇偶性的定义