专题02 实数运算（解析版）-2022中考数学高频考点

2/2高频考点：实数运算一、平方根、算术平方根、立方根【高频考点精讲】1．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．2．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．3．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根。（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根。4．平方根和立方根的性质（1）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。（2）立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。【热点题型精练】1．（2021•广安中考）16的平方根是（）A．4 B．±4 C．8 D．±8解：∵（±4）2＝16，∴16的平方根是±4．答案：B．2．（2021•南充中考）如果x2＝4，则x＝±2．解：x2＝4，开平方得x＝±2；答案：±2．3．（2021•济南中考）9的算术平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．解：∵32＝9，∴9的算术平方根是3．答案：A．4．（2021•上海中考）已知＝3，则x＝5．解：∵＝3，∴x+4＝9∴x＝5．答案：5．5．（2021•达州中考）已知a，b满足等式a2+6a+9+＝0，则a2021b2020＝﹣3．解：∵a2+6a+9+＝0，∴（a+3）2+＝0，∴a+3＝0，b﹣＝0，解得：a＝﹣3，b＝，则a2021b2020＝（﹣3）2021•（）2020＝﹣3×（﹣3×）2020＝﹣3．答案：﹣3．6．（2021•河池中考）计算：＝﹣2．解：＝﹣2．答案：﹣2．7．（2021•益阳中考）若实数a的立方等于27，则a＝3．解：∵a3＝27，∴a＝＝3，答案：3．二、无理数定义及估算【高频考点精讲】1．无理数定义（1）定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）常见三种类型①开不尽的方根，如等．②特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．③含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．2．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法，即用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．【热点题型精练】8．（2021•湖北中考）下列实数中是无理数的是（）A．3.14 B． C． D．解：A.3.14是分数，属于有理数，故本选项不合题意；B.＝3是整数，故本选项不合题意；C.是无理数，故本选项符合题意；D.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；答案：C．9．（2021•永州中考）在0，，﹣0.101001，π，中无理数的个数是1个．解：0，，是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；﹣0.101001是有限小数，属于有理数；无理数有π，共1个．答案：1．10．（2021•广东中考）设6﹣的整数部分为a，小数部分为b，则（2a+）b的值是（）A．6 B．2 C．12 D．9解：∵3＜＜4，∴2＜6﹣＜3，∵6﹣的整数部分为a，小数部分为b，∴a＝2，b＝6﹣﹣2＝4﹣，∴（2a+）b＝（2×2+）×（4﹣）＝（4+）×（4﹣）＝6，答案：A．11．（2021•北京中考）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n＜＜n+1，则n的值为（）A．43 B．44 C．45 D．46解：∵1936＜2021＜2025，∴44＜＜45，∴n＝44，答案：B．12．（2021•百色中考）实数的整数部分是10．解：∵＜＜，∴10＜＜11，∴的整数部分为10，答案：10．13．（2021•安徽中考）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形．底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是﹣1，它介于整数n和n+1之间，则n的值是1．解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴1＜﹣1＜2，又n＜﹣1＜n+1，∴n＝1．答案：1．三、实数的运算【高频考点精讲】1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．【热点题型精练】14．（2021•株洲中考）计算：＝（）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣ D．2解：﹣4×＝﹣4×＝﹣2．答案：A．15．（2021•河北中考）若取1.442，计算﹣3﹣98的结果是（）A．﹣100 B．﹣144.2 C．144.2 D．﹣0.01442解：∵取1.442，∴原式＝×（1﹣3﹣98）≈1.442×（﹣100）＝﹣144.2．答案：B．16．（2021•滨州中考）计算：+﹣|π0﹣|﹣（）﹣1＝3．解：+﹣|π0﹣|﹣（）﹣1＝4+2﹣|1﹣|﹣3＝4+2﹣（﹣1）﹣3＝4+2﹣+1﹣3＝3，答案：3．17．（2020•邵阳中考）在如下方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为．32163解：设方格中两个空格代表的实数分别为x，y．由题意可得：xy＝，xy＝．答案：．18．（2021•十堰中考）对于任意实数a、b，定义一种运算：a⊗b＝a2+b2﹣ab，若x⊗（x﹣1）＝3，则x的值为2或﹣1．解：由题意得：x2+（x﹣1）2﹣x（x﹣1）＝3．整理得：x2﹣x﹣2＝0．即（x﹣2）（x+1）＝0．解得：