甘肃省天水市第六中学2024届高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

甘肃省天水市第六中学2024届高一数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．为了鼓励大家节约用水，遵义市实行了阶梯水价制度，下表是年遵义市每户的综合用水单价与户年用水量的关系表．假设居住在遵义市的艾世宗一家年共缴纳的水费为元，则艾世宗一家年共用水（）分档户年用水量综合用水单价/（元）第一阶梯（含）第二阶梯（含）第三阶梯以上A. B.C. D.2．今有一组实验数据如下：x23456y1.52.012.985.028.98现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是（）A. B.C. D.3．在线段上任取一点，则此点坐标大于1的概率是（）A. B.C. D.4．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f（1）＝0，则不等式＜0的解集为（）A.(－1，0)∪(1，＋∞) B.(－∞，－1)∪(0，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－1，0)∪(0，1)5．已知直三棱柱的顶点都在球上，且，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是（）A. B.C. D.6．已知一元二次方程的两个不等实根都在区间内，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.7．经过点(2,1)的直线l到A(1,1)，B(3,5)两点的距离相等，则直线l的方程为A.2x-y-3=0 B.x=2C.2x-y-3=0或x=2 D.都不对8．若是第二象限角，则点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限9．已知，则角的终边所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10．已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.11．已知，若，则（）A. B.C. D.12．对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是A.三角形的直观图仍然是一个三角形 B.的角的直观图会变为的角C.与轴平行的线段长度变为原来的一半 D.原来平行的线段仍然平行二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.现有两名剪纸艺人创作甲、乙两种作品，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名艺人上午创作的甲作品数和乙作品数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名艺人下午创作的甲作品数和乙作品数，i=1，①该天上午第1名艺人创作的甲作品数比乙作品数少；②该天下午第1名艺人创作的乙作品数比第2名艺人创作的乙作品数少；③该天第1名艺人创作的作品总数比第2名艺人创作的作品总数少；④该天第2名艺人创作的作品总数比第1名艺人创作的作品总数少.其中所有正确结论序号是___________.14．边长为3的正方形的四个顶点都在球上，与对角线的夹角为45°，则球的体积为______.15．用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度至少需要计算的次数是______________16．已知，且，则的最小值为__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．体育课上，小明进行一项趣味测试，在操场上从甲位置出发沿着同一跑道走到乙位置，有两种不同的行走方式（以下）.方式一：小明一半的时间以的速度行走，刹余一半时间换为以的速度行走，平均速度为；方式二：小明一半的路程以的速度行走，剩余一半路程换为以的速度行走，平均速度为；（1）试求两种行走方式的平均速度；（2）比较的大小.18．设直线与相交于一点.（1）求点的坐标；（2）求经过点，且垂直于直线的直线的方程.19．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.20．已知函数，，（1）求函数的值域；（2）若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围；（3）若对任意的，都存在四个不同的实数，，，，使得，其中，2，3，4，求实数a的取值范围21．已知函数为偶函数（1）求a的值，并证明在上单调递增；（2）求满足的x的取值范围22．设函数，其中.（1）求函数的值域；（2）若，讨论在区间上的单调性；（3）若在区间上为增函数，求的最大值.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、B【解析】设户年用水量为，年缴纳税费为元，根据题意求出的解析式，再利用分段函数的解析式可求出结果.【详解】设户年用水量为，年缴纳的税费为元，则，即，当时，，当时，，当时，，所以，解得，所以艾世宗一家年共用水.故选：B2、B【解析】根据表格中的数据，作出散点图，结合选项和函数的单调性，逐项判定，即可求解.【详解】根据表格中的数据，作出散点图，如图所示，根据散点图可知，随着的增大，的值增大，并且增长速度越来越快，结合选项：函数增长速度越来越缓慢，不符合题意；函数增长速度越来越快，符合题意；函数，增长速度不变，不符合题意；而函数，当时，可得；当时，可得，此时与真实数据误差较大，所以最接近的一个函数是.故选：B.3、B【解析】设“所取点坐标大于1”为事件A，则满足A的区间为[1,3]根据几何概率的计算公式可得，故选B.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率4、C【解析】利用函数奇偶性，等价转化目标不等式，再结合已知条件以及函数单调性，即可求得不等式解集.【详解】∵f(x)为奇函数，故可得，则＜0等价于.∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f（1）＝0，∴当x＞1时，f(x)＜0.∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，即x＜－1时，f(x)＞0.综上使＜0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)故选：.【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性解不等式，属综合基础题.5、C【解析】设点为外接圆的圆心，根据，得到是等边三角形，求得外接圆的半径r，再根据直三棱柱的顶点都在球上，由求得，直三棱柱的外接球的半径即可.【详解】如图所示：设点为外接圆的圆心，因为，所以，又，所以等边三角形，所以，又直三棱柱的顶点都在球上，所以外接球的半径为，所以直三棱柱的外接球的表面积是，故选：C6、D【解析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】设，则二次函数的两个零点都在区间内，由题意，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.7、C【解析】当直线l的斜率不存在时，直线x=2显然满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k则直线l为y-1=kx-2，即由A到直线l的距离等于B到直线l的距离得：-kk化简得：-k=k-4或k=k-4（无解），解得k=2∴直线l的方程为2x-y-3=0综上，直线l的方程为2x-y-3=0或x=2故选C8、D【解析】先分析得到，即得点所在的象限.【详解】因为是第二象限角，所以，所以点在第四象限，故选D【点睛】本题主要考查三角函数的象限符合，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.9、C【解析】化，可知角的终边所在的象限.【详解】,将逆时针旋转即可得到，角的终边在第三象限.故选：C【点睛】本题主要考查了象限角的概念，属于容易题.10、A【解析】由题意可得在单调递减，且，从而可得当或时，，当或时，，然后分和求出不等式的解集【详解】因为奇函数在上单调递减，且，所以在单调递减，且，所以当或时，，当或时，，当时，不等式等价于，所以或，解得，当时，不等式等价于，所以或，解得或，综上，不等式的解集为，故选：A11、C【解析】设，求出，再由求出.【详解】设，因为所以，又，所以，所以.故选：C.12、B【解析】根据斜二测画法，三角形的直观图仍然是一个三角形,故正确；的角的直观图不一定的角，例如也可以为，所以不正确；由斜二测画法可知，与轴平行的线段长度变为原来的一半,故正确；根据斜二测画法的作法可得原来平行的线段仍然平行,故正确,故选B.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、①②④【解析】根据点的坐标的意义结合图形逐个分析判断即可【详解】对于①，由题意可知，A1的横、纵坐标分别为第1名艺人上午创作的甲作品数和乙作品数，由图可知A1的横坐标小于纵坐标，所以该天上午第对于②，由题意可知，B1的纵坐标为第1名艺人下午创作的乙作品数，B2的纵坐标为第2名艺人下午创作的乙作品数，由图可知B1的纵坐标小于B2的纵坐标，所以该天下午第对于③，④，由图可知，A1,B1的横、纵坐标之和大于A2故答案为：①②④14、【解析】根据给定条件结合球的截面小圆性质求出球O的半径，再利用球的体积公式计算作答.【详解】因边长为3的正方形的四个顶点都在球上，则正方形的外接圆是球O的截面小圆，其半径为，令正方形的外接圆圆心为，由球面的截面小圆性质知是直角三角形，且有，而与对角线的夹角为45°，即是等腰直角三角形，球O半径，所以球体积为.故答案为：【点睛】关键点睛：涉及求球的表面积、体积问题，利用球的截面小圆性质是解决问题的关键.15、7【解析】设至少需要计算n次，则n满足，即，由于，故要达到精确度要求至少需要计算7次16、【解析】利用已知条件凑出，再根据“”的巧用，最后利用基本不等式即可求解.【详解】由，得，即.因为所以，,则=，当且仅当即时，等号成立.所以当时，取得最小值为.故答案为：.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1），（2）【解析】（1）直接利用平均速度的定义求出；（2）利用作差法比较大小.【小问1详解】设方式一中小明行走的总路程为s，所用时间为，由题意得，可知设方式二中所用时间为，总路程为s，则【小问2详解】.因为且，所以，即.18、（1）；（2）.【解析】（1）将两直线方程联立，求出方程组的公共解，即可得出点的坐标；（2）求出直线的斜率，可得出垂线的斜率，然后利用点斜式方程可得出所求直线的方程，化为一般式即可.【详解】（1）由，解得，因此，点的坐标为；（2）直线斜率为，垂直于直线的直线斜率为，则过点且垂直于直线的直线的方程为，即：.【点睛】本题两直线交点坐标计算，同时也考查了直线的垂线方程的求解，解题时要将两直线的垂直关系转化为斜率关系，考查计算能力，属于基础题.19、(I).(II)【解析】解：(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为.(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为.考点：古典概型点评：主要是考查了古典概型的运用，属于基础题20、（1）；（2）；（3）【解析】（1）利用基本函数的单调性即得；（2）由题可得恒成立，再利用基本不等式即求；（3）由题意可知对任意一个实数，方程有四个根，利用二次函数的图像及性质可得，即求.【小问1详解】∵函数，，所以函数在上单调递增，∴函数的值域为；【小问2详解】∵对任意的，都有恒成立，∴，即，即有，故有，∵，，∴，当且仅当，即取等号，∴，即，∴实数a的取值范围为；【小问3详解】∵函数的值域为，由题意可知对任意一个实数，方程有四个根，又，则必有，令，，故有，故有，可解得，∴实数a的取值范围为.21、（1）；证明见解析（2）【解析】（1）由偶函数的定义解方程可得a=1，再由单调性的定义，结合指数函数的单调性可得结论；（2）由偶函数的性质：，结合（1）的结论，原不等式化为，再由绝对值不等式的解法可得所求解集.【小问1详解】解：由题意函数为偶函数，∴，即∴对任意恒成立，解得∴任取，则由，可得，∴，即，∴在