高考数学一轮复习 高考达标检测（二十九）求解空间几何体问题的2环节-识图与计算 文试题

高考达标检测（二十九）求解空间几何体问题的2环节——识图与计算一、选择题1．(2018·大连调研)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中点P是棱CD上一点，则三棱锥P­A1B1解析：选D在长方体ABCD­A1B1C1D1中，从左侧看三棱锥P­A1B1A，B1，A1，A的射影分别是C1，D1，D；AB1的射影为C1D，且为实线，PA1的射影为PD2.(2017·永州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为()A．1 B.eq\f(\r(5),2)C.eq\r(6) D．2eq\r(3)解析：选D由题意得，该几何体的直观图为三棱锥A­BCD，如图，其最大面的表面是边长为2eq\r(2)的等边三角形，故其面积为eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(2))2＝2eq\r(3).3．已知某空间几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24π＋48，则该几何体的表面积为()A．24π＋48 B．24π＋90＋6eq\r(41)C．48π＋48 D．24π＋66＋6eq\r(41)解析：选D由三视图可知，该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为3r、高为4r的四分之一圆锥，右边是一个底面是直角边长为3r的等腰直角三角形、高为4r的三棱锥，则eq\f(1,4)×eq\f(1,3)π(3r)2×4r＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3r×3r×4r＝24π＋48，解得r＝2，则该几何体的表面积为eq\f(1,4)×π×6×10＋eq\f(1,4)×π×62＋eq\f(1,2)×6×6＋2×eq\f(1,2)×6×8＋eq\f(1,2)×6eq\r(2)×eq\r(82)＝24π＋66＋6eq\r(41).4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．60－12π B．60－6πC．72－12π D．72－6π解析：选D根据三视图知该几何体是直四棱柱，挖去一个半圆柱体，且四棱柱的底面是等腰梯形，高为3，所以该组合体的体积为V＝eq\f(1,2)×(4＋8)×4×3－eq\f(1,2)π×22×3＝72－6π.5．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为()A.eq\f(4π,3) B．3πC.eq\f(\r(3),2)π D．π解析：选C由三视图可知，该几何体是棱长为1的正方体截去4个角的小三棱锥后的几何体，如图所示，该几何体的外接球的直径等于正方体的对角线，即R＝eq\f(\r(3),2)，所以外接球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(\r(3),2)π.6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．72 B．48C．24 D．16解析：选C由三视图可知，该几何体是一四棱锥，底面是上、下底边长分别为2,4，高是6的直角梯形，棱锥的高是4，则该几何体的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(2＋4)×6×4＝24.7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A.eq\f(123,5)π B.eq\f(124,3)πC.eq\f(153,4)π D.eq\f(161,5)π解析：选D由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是两腰长为3、底边长为4的等腰三角形，过底面等腰三角形顶点的侧棱长为4且垂直于底面．设等腰三角形的顶角为θ，由余弦定理可得cosθ＝eq\f(32＋32－42,2×3×3)＝eq\f(1,9)，sinθ＝eq\f(4\r(5),9)，由正弦定理可得底面三角形外接圆的直径2r＝eq\f(9,\r(5))，则球的直径2R＝eq\r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,\r(5))))2)＝eq\r(\f(161,5))，所以外接球的表面积为eq\f(161,5)π.8．(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则VA．4π B.eq\f(9π,2)C．6π D.eq\f(32π,3)解析：选B设球的半径为R，∵△ABC的内切圆半径为eq\f(6＋8－10,2)＝2，∴R≤2.又2R≤3，∴R≤eq\f(3,2)，∴Vmax＝eq\f(4,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9π,2).二、填空题9．四面体A­BCD中，若AB＝CD＝eq\r(2)，AC＝BD＝eq\r(3)，AD＝BC＝2，则四面体A­BCD的外接球的体积是________．解析：作一个长方体，面对角线分别为eq\r(2)，eq\r(3)，2，设长方体的三棱长分别为x，y，z，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝2，,x2＋z2＝3，,y2＋z2＝4，))则该长方体的体对角线为eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\f(3\r(2),2)，则该长方体的外接球即为四面体A­BCD的外接球，则外接球的半径为R＝eq\f(\r(x2＋y2＋z2),2)＝eq\f(3\r(2),4)，体积为V＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)))3＝eq\f(9\r(2),8)π.答案：eq\f(9\r(2),8)π10.三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，正视图是底边长为2的等腰三角形，则正视图的面积为________．解析：因为正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且底面是边长为2的正三角形，则该正三棱锥的侧棱长为eq\r(2)，其三棱锥的高eq\r(\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\r(3)))2)＝eq\f(\r(6),3)即为正视图的高，又正视图是底边长为2的等腰三角形，则正视图的面积S＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(6),3).答案：eq\f(\r(6),3)11．若三棱锥S­ABC的所有的顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝2，AC＝4，∠BAC＝eq\f(π,3)，则球O的表面积为________．解析：由题意，得三棱锥S­ABC是长方体的一部分(如图所示)，所以球O是该长方体的外接球，其中SA＝AB＝2，AC＝4，设球的半径为R，则2R＝eq\r(AC2＋SA2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，所以球O的表面积为4πR2＝20π.答案：20π12．(2017·新余二模)已知A，B，C是球O的球面上三点，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，∠ABC＝60°，且三棱锥O­ABC的体积为eq\f(4\r(6),3)，则球O的表面积为________．解析：∵AB＝2，AC＝2eq\r(3)，∠ABC＝60°，∴在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(2,sinC)＝eq\f(2\r(3),sin60°)，解得sinC＝eq\f(1,2)，又0°<C<120°，∴C＝30°，∴A＝90°，BC＝eq\r(4＋12)＝4，∵A，B，C是球O的球面上三点，∴△ABC外接圆的圆心为BC的中点，故△ABC外接圆的半径为2.设球心O到平面ABC的距离为d，∵三棱锥O­ABC的体积为eq\f(4\r(6),3)，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)×d＝eq\f(4\r(6),3)，∴d＝2eq\r(2)，∴球O的半径R＝eq\r(2\r(2)2＋22)＝2eq\r(3)，∴球O的表面积为4πR2＝48π.答案：48π三、解答题13.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA.解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6cm的正方形，如图，其面积为36cm2.(2)由侧视图可求得PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2).由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝eq\r(6\r(2)2＋62)＝6eq\r(3)(cm)．14．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6，AH＝10，HB＝6.故S四边形A1EHA＝eq\f(1,2)×(4＋10)×8＝56，S四边形EB1BH＝eq\f(1,2)×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为eq\f(9,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)也正确)).1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(14,3) B．5C.eq\f(16,3) D．6解析：选A由三视图可知该几何体是直三棱柱ABD­EFG和四棱锥C­BDGF的组合体，如图，直三棱柱的底面是一个直角三角形，两条直角边分别是1,2，高是2，则该几何体的体积V＝V三棱柱ABD­EFG＋V四棱锥C­BDGF＝V三棱柱ABD­EFG＋V三棱锥C­DFG＋V三棱锥C­BDF＝V三棱柱ABD­EFG＋V三棱锥F­CDG＋V三棱锥F­BDC＝eq\f(1,2)×1×2×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(14,3).2．如图，是某几何体的三视