初中数学二次函数大题10题(含答案解析)

1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C（0,-3）,

A点的坐标为（-1,0）。

（1）求二次函数的解析式；

（2）若点P是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标，并求出四

边形ABPC的最大面积；

（3）若点Q为抛物线对称轴上一动点，直接写出使△QBC为直角三角形的点Q的坐标。

2.如图，抛物线1-=OV、历过.<4,0）,胡1,3两点.

备用图

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上一点，且位于第一象限，当△.小P的面积为3时，求出点P的坐标；

（3）过8作BC_LOA于C,连接。B,点G是抛物线上一点，当NRAG40BC二N：BAO

时，请直接写出此时点G的坐标.

3.如图，抛物线y=ax?+bx-2的对称轴是直线x=L与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点A的坐标

为（-2,0）,点P为抛物线上的一个动点，过点P作PDJLx轴于点D,交直线BC于点E.

（1）求抛物线解析式;

（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；

（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M

和点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请

说明理由.

4.如图，直线y=x-4与n轴、】'轴分别交于』、刀两点，抛物线1,=暴2八一造过，、R两

点，与T轴的另一个交点为C，连接RC

*用品

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）点”在抛物线上，连接\fR,当^1/5.44屋=时，求点1/■的坐标；

（3）点尸从点c出发，沿线段CX由c向/运动，同时点。从点a出发，沿线段sr由月向。运

动，P、0的运动速度都是每秒1个单位长度，当0点到达C■点时.，P、0同时停止运动，试问在

坐标平面内是否存在点n,使p、。运动过程中的某一时刻，以r、n.p、。为顶点的四边形为

菱形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由.

5.如图，抛物线y=Q+bx+c经过点B(3,0),C(0,-2),直线I：y=-gx-1交y轴于点E,且

与抛物线交于A,D两点，P为抛物线上一动点(不与A,D重合).

(2)当点P在直线I下方时,过点P作PMIIx轴交I于点M,PNUy轴交l于点N,求PM+PN的最大值.

(3)设F为直线I上的点，以E,C,P,F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标;

若不能，请说明理由.

6.如图，抛物线y=ax2-5ax+c与坐标轴分别交于点A,C,E三点，其中A(-3,0),C(0,4),点B

在x轴上，AC=BC,过点B作BD_Lx轴交抛物线于点D,点M,N分别是线段CO,BC上的动点，且

CM=BN,连接MN,AM,AN.

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；

(2)当ACMN是直角三角形时，求点M的坐标;

(3)试求出AM+AN的最小值.

7.如图，直线y=-分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，ZACB=90°,抛物线

y=ax2+bx+△经过A,B两点.

(1)求A、B两点的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH_LBC于点H,作MDIIy轴交BC于点D,求△DMH

周长的最大值.

8.如图，已知抛物线y=ax?+bx+c(awO)的对称轴为直线x=-1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,

与x轴交于点B.

(1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的

坐标；

(3)设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.

9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(-1,0),B(4,0),C(0,-4)三点,

点P是直线BC下方抛物线上一动点.

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)是否存在点P,使APOC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明

理由：

(3)动点P运动到什么位置时，APBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积.

10.如图，以D为顶点的抛物线y=-x?+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C,直线BC的表达式为y=-

（2）在直线BC上有一点P,使PO+PA的值最小，求点P的坐标；

（3）在x轴上是否存在一点Q,使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的

坐标；若不存在，请说明理由.

答案解析部分

一、综合题

1.【答案】(1)解：A(-l,0),C(0,-3)在y=x?+bx+c上,

H-b-0=0

,解得-2

k=-3-3

二次函数的解析式为y=x2-2x-3

(2)解：在y=x2-2x-3中，

令y=0可得0=X2-2X-3,

解得x=3或x=-l,

B(3,0),且C(0,-3),经过B,C两点的直线为y=x-3

设点P的坐标为(x,X2-2X-3)

如图，过点P作PD_Lx轴，垂足为D,与直线BC交于点E,则E(x,x-3)

i2329227S

•'S四边形ABPC=SaABC+SaBCP=3X4x3+—(3x-x)x3=--^X+3x+6=(x-[)+

...当x=W时，四边形ABPC的面积最大，止匕时P点坐标为(3，[J),四边形ABPC的最大面积为

75~

T

「一)或(L、a-)或(1,2)或(1,4)

(3)(1,

【解析】【解答】解：(3)y=x2-2x-3=(x-l)2-4,

二对称轴为x=l,.,.可设Q点坐标为(1,t)

B(3,0),C(0,-3),

BQ2=(l-3)2+t2=t2+4,CQ2=l2+(t+3)2=t2+6t+10,BC2=18

•••△QBC为直角三角形，

有NBQC=90。，ZCBQ=90。和NBCQ=90。三种情况.

①当NBQC=90。时，则有BQ2+CQ2=BC2

-3-拒或-3一折。

即t2+4+t2+6t+10=18,解得t=t=

此时Q点坐标为(1,',")或(1,,3，山1)

fnr

②当NCBQ=90。时，则有BC2+BQ2=CQ2,

即t2+4+18=t2+6t+10,

解得t=2,此时Q点坐标为(1,2)

③当NBCQ=90°时，则有BC2+CQ2=BQ2,

即18+t2+6t+10=t2+4,

解得t=-4,此时Q点坐标为(1,-4),综上，Q点的坐标为(1,-3一.犷)或(1,)或

22

(1，2)或(1,-4).

【分析】(1)将点A和点C的坐标代入即可得到b和c的值，求出二次函数的解析式即可；

(2)根据抛物线的解析式计算得到B点的坐标，求出直线BC的解析式，设出P点的坐标，表示出四边

形ABPC的面积，根据二次函数的性质求出面积的最大值以及P点的坐标即可；

(3)根据抛物线的解析式求出其对称轴，设出Q点的坐标，分情况讨论，结合勾股定理计算得到答案即

可。

2.【答案】(1)把点A(4,0),B(1,3)代入抛物线y=ax?+bx

zg».16(7-4A=(1

得

解得7

•b=4

••・抛物线表达式为：y=-x2+4x；

(2)设P点横坐标为m,

当l<m<4时，如图，过点P作PMIIy轴，交AB于点M,连接BP、AP,

PM=2,

设直线AB的解析式为y=kx+b,

将A（4,0）,B（1,3）代入y=kx+b,

；0=4卜一卜

N=Ib'

解得If=1

\b=4

直线AB的解析式为y=-x+4,

设展以一〃RT4川），AZ1，儿一"r4），

则PM=—/1>,14—<一川4|H-itr+5川一4,

一勿。♦5m-4=2，

解得，m=2或m=3,

・•・P点坐标为（24）或（3.3|

当0<mVl时，如图，过点P作PNIIx轴，交AB于点N,连接BP、AP,

PN=2,

设置〃L一川?44川），

则N点横坐标为m+2,（川T二.-〃f"

由于PN两点纵坐标相同，

一/fi-44oi=-2，

解得，m_色叵（舍去），一土叵

ni--------mflr；-、

5-J17-1+Jr7j

二p点坐标为—^―^•—■»

二二

综上所述，点P坐标为（3.3）,

（3）如下图，过点A作AE_Lx轴，过点G作GE_Ly轴，交AE于点E,

易得NBAC=45°,

若ZBAG-£OBC=ZBAO-

则NOBC=ZGAE,

.•.ABOO△AGE,即AE=3GE,

设(?(从一启则一加一4〃尸3：44一

解得，n=3或n=4(舍去)

G(3.3)，

如下图，连接AG交BC于点F,

若ZBAG-Z.OBC=NBAO.

则NOBC=ZGAO,

易得，△OBC合△FAC,

F(1,1)

可得直线AF的解析式为

3

%.二--41

解得，x=4（舍去）或x=%

综上所述，G[33），Gt—）.

【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线表达式.（2）设P点横坐标为m,当l<m<4时，过点P

作PMIIy轴，交AB于点M,连接BP、AP,通过三角形的面积先求出PM的长，然后利用m表示PM的

长，即可求出m,从而得到P点坐标；当0Vm<1时，如图，过点P作PNIIx轴，交AB于点N,连接BP、

AP,先通过三角形面积求出PN的长，可用m表示N点的横坐标，令P和N的纵坐标相等即可求出m,

从而求出P点的坐标.综上即可得到答案.（3）通过已知条件，得到NBAO为45。，然后分点G在AB上方

和下方两种情况讨论即可.

3.【答案】（1）解：•.・抛物线y=ax2+bx-2的对称轴是直线x=l,A（-2,0）在抛物线上，，

[一方=1，解得：!“一*,抛物线解析式为y=,x2-gx-2；

-2b-2=0lb=—5

(2)解：令丫=Jx2-lx-2=0,解得：Xi=-2,X2=4,当x=0时，y=-2,，B(4,0),C(0,-2),

设BC的解析式为y=kx+b,则解得：,.・.y=2x-2,

b=-2-2

设D(m,0),

DPIIy轴，

E(m,\m-2),P(m,-jm2--2),

*/OD=4PE,

m=4(-jm2--^m-2-！m+2),

m=5,m=0(舍去),

D(5,0),P(5,；),E(5,{),

...四边形POBE的面积=SAOPD-SAEBD=\x5x--2lx-y=—;

(3)解：存在，设M(n,gn-2),

①以BD为对角线，如图1,

图1

四边形BNDM是菱形,

MN垂直平分BD,

n=4+2,

M（R,

24

•・.M,N关于x轴对称，

N（号，-1）;

②以BD为边，如图2,

•••四边形BNDM是菱形，

MNIIBD,MN=BD=MD=1,

过M作MH_Lx轴于H,

MH2+DH2=DM2,

即（2n-2）2+（n-5）2=12

ni=4（不合题意），廿5.6,

N（4.6,,

同理（--n-2）2+（4-n）2=1,

过M作MH_Lx轴于H,

MH2+BH2=BM2

即（2n-2）2+（n-4）2=12,

ni=4+,0=4-平（不合题意，舍去），

N（5+邛，3）,

综上所述，当N（?,-1）或（4.6,右）或（5-芈，警或（5+变,至），以点B,

D,M,N为顶点的四边形是菱形.

【解析】【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx-2的对称轴是直线x=LA（-2,0）在抛物线上，于是列方

程即可得到结论；（2）根据函数解析式得到B（4,0）,C（0,-2）,求得BC的解析式为y=2x-2,

设D(m,0),得到E(m,-2),P(m,Jm?-\m-2),根据己知条件列方程得到m=5,

m=0（舍去）,求得D（5,0）,P（5,；）,E（5,,根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）

设M（n,4n-2）,①以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD,求得n=4+\,于是得

到N（?,-］）；②以BD为边，根据菱形的性质得到MNIIBD,MN=BD=MD=1,过M作MHJLx轴

于H,根据勾股定理列方程即可得到结论.

4.【答案】（1）解：直线解析式y=x-4,令1=0,得v=-4；令】=0,得1=4-J4.0）>

5（0.・点-4、笈在抛物线Y=《上，+岫1，'=。，解得卜一，，.•.抛物

线解析式为：।--4.\-r*'—4-令，=-5'=0，解得：）—4或\=4，

.JJ35

Ct-3,0）.

（2）解：ZMB-WT^CBO=A5'>设A/tv,vY①当b"_L5C时，如答图1所

示.2450=4。£118一44.《方。=4'，故点”满足

条件.过点Mi作轴于点F,则3/]£=1,OE=-v,5£=4+y.

tanM^BE=UnBCO=，直线BWj的解析式为：y=^1-4.联立

y=^x-4^y=--|x-4»得：A-4=|.vi-1x--l»解得：M=0,4=号，二

②当斤”与8c关于1'轴对称时，如答图1-、所示.

N.ABOt=4MBA-2MBO=，^AfBO=/CBO,ZA/B.444CBO=45*>故点V

满足条件.过点、八作A/【E_Li轴于点F,则AA£=X,OE=1,，5£=4+v-/

tan/M^BE=tanCBQ=j.•,•本=：，」•直线的解析式为：y=4.Y-4.联立

y=*x—4与>=l屋—*7得：+r-4,解得：Xi=0,A?=5,•,.

3=-4,］、=：,.•.*员仔卜综上所述，满足条件的点1/■的坐标为：庠-箱或(5用

(3)解：设LBCO-d<则t^ui9-4>sin^=7,co"假设存在满足条件的点D,设菱

形的对角线交于点F,设运动时间为t.

①若以C0为菱形对角线，如答图3一1.此时80=1,菱形边长=t.

解得「=奈.C0=^-z=W.过点0作0户>Lx轴于点F,

11…’一•11

则QF=C°\$m^=畤,CF-<?6><00$^=

o£=3-rr=-7T-d-叁、一点,点Di与点w坐标相差，个单位,

1131J11.

②若以P0为菱形对角线，如答图2-1此时80=，，菱形边长=r.

点0为8。中点,

-立.•・点功与点。横坐标相差，个单位，,D.l12-③若以CP为菱形对角线,

如答图33.此时B0=1,菱形边长=5-7.

解得,=相.QE-3-CE=3-41-,DyE-QE-C^'sm0=6坪h召

•••可-登司.综上所述，存在满足条件的点D,点77坐标为：|一笔-书)或IL7成

I11201-.

1~1111,,

【解析】【分析】(1)根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出A,B两点的坐标，将A,B两点的坐标分别代

入抛物线y=1x2+bx+c得出关于b,c的方程组，求解得出b,c的值，从而得出抛物线的解析式，再根据抛物

线与x轴交点的纵坐标是0,将y=0代入抛物线的解析式，楸树对应的自变量的值，从而求出C点的坐标；

(2)设M(x,y)①当BM_LBC时，如答图2-1所示.根据等腰直角三角形的性质及垂直的定义得出

ZMBA+NCBO=45。，故点M满足条件，过点Mi作MiEJ_y轴于点E,则MiE=x,OE=-y进而表示

出BE,根据同角的余角相等及等角的同名三角函数值相等得出tan/MiBE=tanNBCo4，根据正切函数

的定义得出关于x,y的方程，变形即可得出直线BMi的解析式，解联立直线BMi的解析式与抛物线的解

析式组成的方程组，即可求出Ml的坐标；②当BM与BC关于y轴对称时，如答图2-2所示.根据根

据角的和差及对称的性质得出NABO=ZMBA+ZMBO=45°,ZMBO=ZCBO,故NMBA+ZCBO=45°,

故点M满足条件过点M2作M正_Ly轴于点E,则M2E=x,OE=-y进而表示出BE,根据同角的余角

相等及等角的同名三角函数值相等得出tanNM2BE=tanNCBO=?,根据正切函数的定义得出关于x,y的

方程，变形即可得出直线BM2的解析式，解联立直线BM2的解析式与抛物线的解析式组成的方程组，即

可求出M2的坐标，综上所述即可得出M点的坐标；

（3）设ZBCO=0,则tane=g,sin6=。，cos。].假设存在满足条件的点D,设菱形的对角线

交于点E,设运动时间为t.①若以CQ为菱形对角线，如答图3-1.此时BQ=t,菱形边长日，

根据菱形的对角线互相平分得出CE=!CQ=±（5-t）,根据余弦函数的定义，由cosO=注，即可列出方程，

求解得出t的值，进而得出CQ的值，过点Q作QF"轴于点F,则QF=CQ-sin0,CF=CQ-cos6,分别

计算出QF,CF的长，进而得出OF的长，从而得出Q点的坐标，根据点Di与点Q横坐标相差t个单位即

可得出Di的坐标；②若以PQ为菱形对角线，如答图3-2.此时BQ=t,菱形边长=3根据线段中点坐

标公式，由点Q为BC中点得出Q点的坐标，根据点D2与点Q横坐标相差t个单位即可得出工的坐标；

③若以CP为菱形对角线，如答图3-3.此时BQ=t,菱形边长=5-t.根据cos。=抬列出方程，求解得

出t的值，进而求出0E,由D3E=QE=CQ-sinO,从而得出D3的坐标，综上所述即可得出答案。

(1)解：把B(3,0),C(0,-2)代入y=^x2+bx+c得,i,..：T_砧"<-=0

5.【答案】

••・抛物线的解析式为：y=^x2-]x-2

(2)解：设P(m,-=7m2-fm-2),

,「PMIIx轴，PNIly轴，M,N在直线AD上，

)，*)4

N(m,-qm-Q)，M(-m2+2m+2,-=7m2--vm-2),

PM+PN=-m2+2m+2-m-qm-q-.m2+4m+2=--m2+-m+尊=-二(m-2)2+

・•・当m=2时，PM+PN的最大值是上

（3）解:能,

理由：.1=-JX-Q交y轴于点E,

E(0,-q),

CE=-4，

设P(m,4m2--jm-2),

••,以E,C,P,F为顶点的四边形能否构成平行四边形，

①以CE为边，CEIIPF,CE=PF,

F(m,-qrn-q),

，，〉4-4

-qm--T-rn+2="7,

m=l,m=0(舍去),

②以CE为对角线，连接PF交CE于G,

/.CG=GE,PG=FG,

*'•G(0,-f),

->J">■>

设P(m,-ym2--2),贝!JF(-m,qm-]),

1■»4，，4

-yx(qin2—-rn-2+.m--^)=--,

*/△<0,

「•此方程无实数根，

综上所述，当m=l时，以E,C,P,F为顶点的四边形能否构成平行四边形.

x

备用图

【解析】【分析】(1.)把B(3,0),C(0,-2)代入y=gx2+bx+c解方程组即可得到结论；(2.)设

1^47714

P(m,1m2-1m-2),得至ljN(m,-qm-q),M(-m2+2m+2,-rm2--^m-2),根据二

次函数的性质即可得到结论;

(3.)求得E(0,-g),得到CE='，设P(m,gm?-Jm-2),①以CE为边，根据CE=PF,列

方程得到m=l,m=0(舍去)，②以CE为对角线，连接PF交CE于G,CG=GE,PG=FG,得至G(0,-

g),设P(m,gm?-fm-2),则F(-m,gm-]),列方程得到此方程无实数根，于是得到

结论.

6.【答案】(1)解：把A(-3,0),C(0,4)代入y=ax2-5ax+c得的解得#=一

一.

r'=1r=4

..・抛物线解析式为y=-^x2+-x+4；

AC=BC,CO±AB,

OB=OA=3,

B(3,0),

■-交抛物线于点D,

，D点的横坐标为3,

当x=3时，y=-yx9+/x3+4=5,

.D点坐标为(3,5)«

(2)解：在RtAOBC中，BC=《而-：杼44?=5,

设M(0,m),贝ljBN=CM=4-m,CN=5-(4-m)=m+l,

ZMCN=ZOCB,

：.当-.冬时，△CMN-△COB,则NCMN=ZCOB=90°,

I(JI-n

即‘="L],解得m=普,此时M点坐标为(0,学)；

当^7--'匕时，△CMNs△CBO,则NCNM=ZCOB=90°,

CHC.CJ

即±R=2二L解得m=，此时M点坐标为(0,--)；

综上所述，M点的坐标为(0,普)或(0,§)。

(3)解：连接DN,AD,如图,

AC=BC,CO±AB,

/.OC平分NACB,

ZACO=ZBCO,

,/BDIIOC,

/.ZBCO=ZDBC,

•/DB=BC=AC=5,CM=BN,

・•・△ACMM△DBN,

・•.AM=DN,

AM+AN=DN+AN,

而DN+AN2AD(当且仅当点A、N、D共线时取等号)，

・•・DN+AN的最小值二AD二护：.2=如,

•1.AM+AN的最小值为质.

【解析】【分析】(1)将A(-3,0),C(0,4)代入函数解析式构造方程组解出a,c的值可得抛物线

解析式；由AC=BC,COJLAB,根据等腰三角形的"三线合一”定理，可得OB=OA=3,而BD_Lx轴交抛物线于

点D,则D点的横坐标为3,当x=3时求得y的值，即可得点D的坐标。

(2)当△CMN是直角三角形时，有两种情况：ZCMN=90°,或NCNM=90。，则可得△CMN-△COB,或

△CMN-ACBO,由对应边成比例，设M(0,m),构造方程解答即可。

(3)求AM+AN的最小值，一般有两种方法：解析法和几何法；解析法：用含字母的函数关系式表示出

AM+AN的值，根据字母的取值范围和函数的最值来求；几何法：将点A,M,N三点移到一条直线上；此

题适用于几何法：观察图象不难发现，AC=BD=5,CM=BN,且NBCO=NDBC,连接AD,可证得

△ACM空△DBN,贝l」AM=DN,而DN+AN2AD(当且仅当点A、N、D共线时取等号)，求AD的长即可。

7.【答案】⑴解：•.•直线y=-£x+4分别与x轴、y轴交于B、C两点，

•••B(3,0),C(0,，

0B=3,0C=

tanNBCO=yj=

ZBCO=60\

,,,ZACB=90°,

ZACO=30°,

乔=tan300=g,即晋=g,解得A0=l,

A(-1,0)；

(2)解：；抛物线y=ax?+bx+经过A,B两点,

I=0

•.,解得

|加+幼+后

•••抛物线解析式为y=-

(3)解：MDIIy轴，MH±BC,

ZMDH=ZBCO=60",则NDMH=30",

DH=4DM,MH=百DM,

△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+-DM+更DM=升亚DM,

z22

当DM有最大值时，其周长有最大值，

点M是直线BC上方抛物线上的一点，

瓦

，

可设M-

(t,3

&-诉

计

丁

DM=-丁

诉

2孚

瓦3

t+-

t2+二2+

DM=-丁t+2

班

.•当t=3_

DM行最大值，最大值为

此时匕BDM二"X巫=亚，

T~~T~~~~R~

即&DMH周长的最大值为班7.

S

【解析】【分析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在RtABOC中由三角函数定义可求得NOCB=60。，

则在R3AOC中可得NACO=30。，利用三角函数的定义可求得0A,则可求得A点坐标；（2）由A、B两

点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由平行线的性质可知NMDH=NBCO=60。，在RSDMH

中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而

可表示出^DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值.

Ib_1

8.【答案】⑴解：依题意得、一%=。'

£二R

]0=.]

解之得：b二一士

•1.抛物线解析式为y=-X2-2x+3

..・对称轴为x=-1,且抛物线经过A(1,0),

.,.把B(-3,0)、C(0,3)分别代入直线y=mx+n,

得=0

解之得：，W=1,

ln=2

直线y=mx+n的解析式为y=x+3

(2)解：设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.

把x=-1代入直线y=x+3得,y=2,

M(-1,2),

即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(-1,2)；

(3)解:

设P(-1,t),

又「B(-3,0),C(0,3),.1BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,

①若点B为直角顶点，则BC?+PB2=PC2即：18+4+t2=t2-6t+10解之得：t=-2；②若点C为直角顶点，则

BC2+PC2=PB2gp：18+t2-6t+10=4+t2解之得：t=4,③若点P为直角顶点,则PB?+PC2=BC2即:4+t2+t2-

6t+10=18解之得：t产t/ll，t2=匕叵；

综上所述P的坐标为(-1,-2)或(-1,4)或(-1,过;)或(-1，匕叵).

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【解析】【分析】(1)先把点A,C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b,c的关系式，再根据抛物

线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a,b,c的值即可得到抛物线解

析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n,解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；(2)设直

线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求

出点M坐标；(3)设P(-1,t),又因为B(-3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(-1+3)

2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P

的坐标.本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解析式、

利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题.

9.【答案】(1)解：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,

।a-b-6=0jc=]

把A、B、C三点坐标代入可得J6解得b-

■r.=-4-4

抛物线解析式为y=x2-3x-4；

(2)解：作OC的垂直平分线DP,交0C于点D,交BC下方抛物线于点P,如图1,

PO=PD,此时P点即为满足条件的点，

C(0,-4),

D(0,-2),

AP点纵坐标为-2,

代入抛物线解析式可得X2-3X-4=-2,解得x=上且(小于0,舍去)或x=Y

•••存在满足条件的P点，其坐标为(二,-2)；

(3)解：点P在抛物线上，

可设P(t,t2-3t-4),

过P作PELx轴于点E,交直线BC于点F,如图2,

图2

B(4,0),C(0,-4),

直线BC解析式为y=x-4,

F(t,t-4),

：.PF=(t-4)-(t2