2023年云南省玉第高三第一次模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z=(2+i)(l+i)(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.将函数.f(x)=sin(x+f]图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移£个单位长度，得到函数

I3

y=g(x)的图象，则函数y=g(x)图象的一个对称中心为()

A.心，o)B.与0)c.3。)D.存

3.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复.若

该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是()

A.该市总有15000户低收入家庭

B.在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户

C.在该市无业人员中，低收入家庭有4350户

D.在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户

4.已知集合A/={x|-4<x<2},N={X|X2-X-6<0},则A/cN=

A.{XH<X<3}B.{%H<X<-2}C.{X|-2<X<2}D.{X|2<X<3}

5.设/(x)=|lnx],若函数g(x)=〃x)-侬在区间(01)上有三个零点，则实数。的取值范围是()

6.函数/（x）=x3—f+x的图象在点（ij⑴）处的切线为/,贝”在），轴上的截距为（）

A.-1B.1C.-2D.2

7.若直线/不平行于平面a,且/方，则（）

A.a内所有直线与/异面

B.a内只存在有限条直线与/共面

C.a内存在唯一的直线与/平行

D.a内存在无数条直线与/相交

8.在AABC中，A。为8C边上的中线，£为AD的中点，且|而|=1,|正|=2,ZBAC=120°,贝！||丽|=（）

A屈n血「布V7

A----B.---C.--nD.

4424

:12

9.已知M=J--dx9N=jcosxdx，由程序框图输出的5为（）

A"十1J

71

A.1B.0C.—D.In2

2

10.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车

登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外

村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：

甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；

乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；

丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；

事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）

A.甲走桃花峪登山线路B.乙走红门盘道徒步线路

C.丙走桃花峪登山线路D.甲走天烛峰登山线路

11.我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数

可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不

超过15的素数中，随机选取2个不同的素数。、b,则卜-母＜3的概率是（）

1412

A.—B.—C.—D.一

51535

x-y+l＜0,

12.已知族为圆（x—+（y+炉=1的一条直径，点M（x,y）的坐标满足不等式组＜2x+y+320,则旗.砺的

取值范围为（）

~o~|

A.-,13B.[4,13]

7

C.[4,12]D.-,12

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若四棱锥P-ABCD的侧面PAB内有一动点Q,已知Q到底面ABCD的距离与Q到点P的距离之比为正常数k,

且动点。的轨迹是抛物线，则当二面角P-AB-C平面角的大小为30。时，％的值为.

14.从2、3、5、7、11、13这六个质数中任取两个数，这两个数的和仍是质数的概率是（结果用最简分数表

示）

15.记复数z=a+〃（i为虚数单位）的共粗复数为N=。一次（。，beR）,已知z=2+i,则/=.

16.公比为正数的等比数列｛6,｝的前〃项和为S,，若生=2,S4-552=0,则S6-乞的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）中国古代数学经典《数书九章》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四

个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖膈”.在如图所示的阳马P-ABCD中,底面A5CQ是矩形.PA，平面ABCD,

PA=AD=2,AB=6，以AC的中点0为球心，AC为直径的球面交尸。于M（异于点O）,交PC于N（异于

点O.

（1）证明：AM_L平面PCO,并判断四面体是否是鳖席，若是，写出它每个面的直角（只需写出结论）；若

不是，请说明理由；

(2)求直线ON与平面ACM所成角的正弦值.

18.(12分)若不等式l+2'+4'-a>0在xe(O4］时恒成立，则”的取值范围是.

22

19.(12分)如图，椭圆二+二l(q>b>0)的长轴长为4,点A、8、C为椭圆上的三个点，A为椭圆的右端点,

a2b2

过中心。，且忸C|=2|AB|,S^BC=3.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)设P、。是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点(异于A、C),且满足NPBC=NQR4,试讨论直线肝与

直线BQ斜率之间的关系，并求证直线PQ的斜率为定值.

20.(12分)已知(x+1)"=4+a1(x-1)+-1)~+。3(*-I)，"I---1"《［(x-1)”,(其中〃eN*)

Sn=4+见+/+•,,+•

⑴求S"；

(2)求证：当时，S„>(n-2)2n+2z?2.

21.(12分)在ZL4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2ccos8=2a—b,

(I)求NC的大小；

(n)若a-g丽=2,求AABC面积的最大值.

22.(10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)=log2(|x+l|+|x-2|-m).

(1)当m=7时，求函数f(x)的定义域；

(2)若关于x的不等式f(x)>2的解集是R,求m的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

将z整理成。+力,的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限.

【详解】

解：Z=(2+Z)(1+/)=2+Z2+3Z=1+3Z,所以z所对应的点为(1,3)在第一象限.

故选:A.

【点睛】

本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把i2当成1进行计算.

2.D

【解析】

根据函数图象的变换规律可得到y=g(%)解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可.

【详解】

解：〃x)=sin(x+W)图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，得到sin(gx+(j

再将图像向左平移9个单位长度，得到函数g(x)=sin+£的图象

故选：D

【点睛】

考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题.

3.D

【解析】

根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.

【详解】

解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%,

则该市总有低收入家庭900+6%=15000(户)，A正确，

该市从业人员中，低收入家庭共有15000x12%=1800(户)，B正确，

该市无业人员中，低收入家庭有15000x29%%=4350(户)，C正确，

该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有15000x4%=600(户)，D错误.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基

础题.

4.C

【解析】

本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养.采取数轴法，利用数形结合的思想解题.

【详解】

由题意得，M={x|-4<x<2},N={x|-2<x<3},贝!]

MryN={x|-2<x<2}.故选C.

【点睛】

不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分.

5.D

【解析】

令g(x)=/(x)-ar=0,可得,f(x)=6ix.

在坐标系内画出函数/(x)=|lnx|的图象(如图所示).

当x>l时，/(x)=lm•.由y=lnx得y'=L

设过原点的直线y="与函数y=/〃x的图象切于点A(Xo/nx°),

Inx()="卜°=e

则有11,解得41.

a=—a——

e

所以当直线y=内与函数丫=/〃x的图象切时。=1.

e

又当直线丫=依经过点B(e2,2)时，有2=4*2,解得

结合图象可得当直线y=办与函数/(x)=|lnx|的图象有3个交点时，实数4的取值范围是.

即函数g(x)=/(x)-公在区间(01)上有三个零点时，实数。的取值范围是(擀,：).选D.

点睛：已知函数零点的个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)的方法

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复

杂的函数的零点问题常用此方法求解.

6.A

【解析】

求出函数在x=l处的导数后可得曲线在处的切线方程，从而可求切线的纵截距.

【详解】

f\x)=^-2x+\,故r(1)=2,

所以曲线y=/(x)在(lj(l))处的切线方程为：y=2(x-l)+/(l)=2x-l.

令x=0,则丁=-1,故切线的纵截距为—1.

故选：A.

【点睛】

本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与＞轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题

属于基础题.

7.D

【解析】

通过条件判断直线/与平面a相交，于是可以判断ABCD的正误.

【详解】

根据直线/不平行于平面a,且/Ua可知直线/与平面a相交，于是ABC错误，故选D.

【点睛】

本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.

8.A

【解析】

根据向量的线性运算可得唠=X,月-w恁,利用I丽|2=丽2及|通|=1J*|=2,ABAC=120°计算即可.

【详解】

因为丽=丽+4月=—‘汨+A月=-'xL(Z月+/)+A月=°A后一,/，

22244

所以|丽,二丽？^-AB-2x-x-ABAC+—AC2

164416

xl2--xlx2x(-l)+—x22

168216

19

=9

16

所以|丽|=乎,

故选：A

【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.

9.D

【解析】

[11j£

试题分析：M=——t/x=ln(x+l)|=ln2,N=；cosx0r=sinx|2=1，所以M<N,所以由程序框图输出

Jx+10J

o人丁'on

的S为ln2.故选D.

考点：1、程序框图；2、定积分.

10.D

【解析】

甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线，由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的，再分情况讨论即可.

【详解】

若甲走的红门盘道徒步线路，则乙，丙描述中的甲的去向均错误，又三人的陈述都只对一半，则乙丙的另外两句话“丙走红

门盘道徒步线路”，“乙走红门盘道徒步线路”正确，与“三人走的线路均不同”矛盾.

故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路''正确，故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误，“甲走天烛峰登山线路''正确.乙的话中

“甲走桃花峪登山线路”错误，“丙走红门盘道徒步线路”正确.

综上所述,甲走天烛峰登山线路，乙走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路

故选：D

【点睛】

本题主要考查了判断与推理的问题，重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论，属于基础题型.

11.B

【解析】

先列举出不超过15的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数。、b,

满足卜-4<3”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

不超过15的素数有：2、3、5、7、11、13,

在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数,所有的基本事件有：（2,3）、（2,5）、（2,7）、/（再）-/（%,）、（2,13）,

（3,5）、（3,7）、（3,11）、（3,13）、（5,7）、（5,11）、（5,13）、（7,11）,（7,13）、（11,13）,共15种情况，

其中，事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数〃、》，且|。一4<3”包含的基本事件有：（2,3）、（3,5）、

（5,7）、（11,13）,共4种情况，

4

因此，所求事件的概率为P=百.

故选：B.

【点睛】

本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.

12.D

【解析】

首先将磁•砺转化为而2_i，只需求出的取值范围即可，而表示可行域内的点与圆心丁距离，数

形结合即可得到答案.

【详解】

作出可行域如图所示

设圆心为则何•赤=(而+定)•(而+取")=

’・‘.»21'>2.2

(MT+TE)(MT-TE)=MT-TE=MT-b

过T作直线X-y+l=O的垂线，垂足为B,显然MBWMTWMA，又易得A(—2,1),

^_|l-(-l)+l|_3V2

所以M4=7[1-(-2)]2+(-1-1)2=V13，IDp=—.-=---,

2

--27

故MdM下:MT-le[-,12].

故选：D.

【点睛】

本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化

与划归的思想，是一道中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13.一

2

【解析】

二面角P-AB-C平面角为d点Q到底面ABC。的距离为点。到定直线4?得距离为d,则4=幽.

sin。

再由点。到底面ABC。的距离与到点P的距离之比为正常数A,可得归0|=幽，由此可得sin9=左，则由

k

cos0=cos30°=—可求4值.

2

【详解】

解：如图,

设二面角P-AB-。平面角为。，点。到底面ABC。的距离为|QH|,

点。到定直线A8的距离为d,贝！||QH|=dsin6,即［=也.

sin。

丁点。到底面ABC。的距离与到点P的距离之比为正常数A,

...与3则叱粤

•••动点。的轨迹是抛物线，

.•.|PQ|=d,即幽=幽则sin9=A.

11ksin©

二二面角P-AB-C的平面角的余弦值为cos6=J1—sii?6=J1—二=cos300=

解得：k=-(Z>0).

2

故答案为：—.

2

【点睛】

本题考查了四棱锥的结构特征，由四棱锥的侧面与底面的夹角求参数值，属于中档题.

1

14.-

5

【解析】

依据古典概型的计算公式，分别求“任取两个数”和“任取两个数，和是质数”的事件数，计算即可。

【详解】

“任取两个数”的事件数为〃=C：=15,“任取两个数，和是质数”的事件有(2,3),(2,5),(2,11)共3个，所以任取

31

两个数，这两个数的和仍是质数的概率是2=话=《。

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率求法。

15.3-4i

【解析】

计算得到3=(2+02=3+4i,再计算％?得到答案.

【详解】

,."z=2+i,.*.z2=(2+i)2=3+4i,Mz2=3-4/•

故答案为：3-4i.

【点睛】

本题考查了复数的运算，共挽复数，意在考查学生的计算能力.

16.56

【解析】

根据已知条件求等比数列的首项和公比，再代入等比数列的通项公式，即可得到答案.

【详解】

,/a2=2,S4—5S2=0,

%q—2,.

a.=1,

•••4(1-/)=

,---------=5i----------,〔4=2,

\-q1-q

34,

..56—S3=tz4+«5+=2+2+2=56.

故答案为：56.

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和前〃项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求

解能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析，是，ZAMC,/AMD,ZADC,NMDC；(2)也

5

【解析】

(1)根据AC是球的直径，则AW_LMC,又PA_L平面得到CD_LQ4,再由线面垂直的判定定理得到

CD,平面Q4。，，进而得到8,40,再利用线面垂直的判定定理得到AM_L平面PCD.

(2)以A为原点，AB，AD,AP所在直线为x,y,z轴建立直角坐标系，设西=X方=(一在I,—242/1),由

ANA.CN,解得2,得到函，从而得到丽=反+函，然后求得平面ACM的一个法向量，代入公式

ONn

sin。=求解.

丽卜同

【详解】

（1）因为AC是球的直径，则

又B4_L平面ABCD,

ACD±R4,CD_LAT＞.，CD_L平面/W），

C£＞，AM,...海，平面PCD.

根据证明可知，四面体MCD4是鳖膈.

它的每个面的直角分别是NAMC,/AMD,ZADC,ZMDC.

（2）如图，

以A为原点，AB，AD,AP所在直线为x,y,z轴建立直角坐标系,

则B（a,0,0）,C（V2,2,0）,£＞（0,2,0）,尸（0,0,2）,O彳,1,0.

M为PD中点，从而M（0,l,l）.

所以中=（-72,-2,2）,设两=4次=（-722,-2/1,2/1）,

则丽=/+函_（血一血,2—2422）.

由4V，CN,

得福访=&（&-回-24（2-24）+4%=i（M2-6x=o.

由4Ho得力=3,即cM=j—不夜,一字不）.

5I555/

所以的=无+西=j一也,.

^1055J

设平面ACM的一个法向量为分=（x,y,z}

AM-n=y+z=0

由，

ACn=y[lx+2y=0

取x=V5,y=T,z=i,得到月=（友,-1,1）.

记ON与平面AMC所成角为e,

V2/x-16

一正、逝：5+5N

ONn

贝!|sine=

I丽I・同—+—+—-V2+1+1'

1002525

所以直线ON与平面AMC所成的角的正弦值为旦.

5

【点睛】

本题主要考查线面垂直的判定定理和线面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

八3

18.a>—

4

【解析】

原不等式等价于在（0』恒成立，令r=5,/“）=*+/,求出/0）在上的最小值后可得°

的取值范围.

【详解】

因为1+2£+4*々>0在％40,1］时恒成立，故在（0』恒成立.

令f=:，由xe（O,l］可得fe

「1、「1、3

令/⑺="+%re-jj,贝（1/⑺为5/J上的增函数，故〃。而

3

故答案为：a>——.

【点睛】

本题考查含参数的不等式的恒成立，对于此类问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最

值问题，本题属于基础题.

22

19.(1)工+1=1；(2)详见解析.

43

【解析】

试题分析：(1)利用题中条件先得出a的值，然后利用条件怛C=2|AB|,5小/=3结合椭圆的对称性得到点B的坐

标，然后将点B的坐标代入椭圆方程求出6的值，从而确定椭圆的方程；(2)将条件NP3C=

3

NQ8A得到直线BP与BQ的斜率直线的关系(互为相反数)，然后设直线3P的方程为=将此直线

的方程与椭圆方程联立，求出点P的坐标，注意到直线与8Q的斜率之间的关系得到点。的坐标，最后再用斜率

公式证明直线PQ的斜率为定值.

13

⑴v|BC|=2|AB|,

又AA0B是等腰三角形，所以

把3点代入椭圆方X"程2V=求得〃=3,

22

所以椭圆方程为土+匕=1;

43

(2)由题易得直线8P、8。斜率均存在，

又NPBC=ZQBA,所以左祝=-kKQ,

3r22

设直线3P:y—3=攵(工一1)代入椭圆方程］+\=1,

化简得(3+4攵2)》2_8《%_讣+4r_12左一3=0,

4"2一3

其一解为1,另一解为与=3+处

-N-6k3

可求力

3+4公2

4r+12%-3-\2k2+6k3

用一攵代入得先

3+4/“-3+4r+万'

,,力一小13代

,•kpQ=-------=-为定值.

xP-xQ2

考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.两点间连线的斜率

20.(1)3"-2"(2)见解析

【解析】

a

(1)取x=l,则％=2"；取x=2,则/+q+4+%■*-----n~,

=

***Sn6Z]+%+/+•••+=3〃-2"♦

⑵要证S”>(n-2)2"+2n2,只需证3">(〃-1)2"+2n2,

当“=4时，81>80；

假设当〃=伙％24)时，结论成立，即3'>伏一