高考数学一轮复习 讲义空间直线平面的垂直 教师

课题：空间直线、平面的垂直知识点1．垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作：．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．直线与平面垂直时，它们的唯一公共点叫做垂足。2．直线与平面垂直的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b3．平面与平面垂直的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直l⊥α，l⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β【注1】在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线与平面垂直。即将“线面垂直”转化为“线线垂直”【注2】直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系。【注3】应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直。口诀为：见到垂面做垂线．【注4】线面、面面垂直的综合应用1．直线与平面垂直（1）判定直线和平面垂直的方法：①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．（2）直线和平面垂直的性质：①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角：斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直（1）平面与平面垂直的判定方法：①定义法．②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．（2）平面与平面垂直的性质：如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．【注5】证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面）．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．【注6】判定面面垂直的方法：（1）面面垂直的定义．（2）面面垂直的判定定理（a⊥β，⇒α⊥β）．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直．转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．【注7】1．垂直关系的转化：2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．典型例题例1如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是（）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【答案】C【解析】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE．因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE．又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以选C．例2m是一条直线，α，β是两个不同的平面，以下命题正确的是（）A．若m∥α，α∥β，则m∥β B．若m∥α，∥β，则α∥β C．若m∥α，α⊥β，则m⊥β D．若m∥α，m⊥β，则α⊥β【答案】D例3空间中，设表示直线，，表示不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】B【解析】若，，则或，故A错；若，，则和的位置关系不确定，故C错；若，，则或，故D错，选B．例4设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列四个命题中假命题的是（）A．若则B．若则C．若则D．若，则【答案】C【解析】设m∩α=O，过O与直线n的平面β，利用线面平行的性质得线线平行，再由线线平行得线线垂直，来判断A是否正确；根据平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，来判断B是否正确；借助图形，若l∥α，α⊥β，直线l与平面β的位置关系不确定，由此可判断C是否正确；根据平行平面中的一个垂直于一条直线，另一个也垂直于这条直线，由此判断D是否正确．例5如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（

）A．2条B．4条C．6条D．8条【答案】D【解析】在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．故选：D．例6已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，下列命题正确的是（

）A．若，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，，则【答案】D【解析】对于A，若，，则或或与相交，故A错误．对于B，若，，，则或或与相交，故B错误．对于C，若，，则或与相交，故C错误．对于D，利用线面垂直，及面面垂直的位置关系，可知D正确．故选：D例7设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，，，，则C．若，，则D．若，，，则【答案】D【解析】利用正方体确定线面之间的位置关系，如图所示，对于A选项，设AD为m，BC为n，面为，则满足，，，故A错误；对于B选项，设AD为m，BC为n，AB为l，面为，满足，，，，，故B错误；对于C选项，面为，面为，AD为l,满足，，，故C错误；对于D选项，由面面平行性质定理：两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行，所以，，，可得．故D正确．例8如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．求证：（1）平面；（2）平面．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）连接，四边形为正方形，为中点，又为中点，，平面，平面，平面．（2）平面，平面，；四边形为正方形，，又，平面，平面．例9如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是的中点．求证：（1）平面；（2）．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）∵底面为矩形，∴，∵底面，底面，∴，又∵，平面，∴平面．（2）∵平面，平面，∴，∵，是的中点，∴，又∵，平面，∴平面，∵平面，∴．例10如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面平面．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）连接交于点，连接，四边形为正方形，为中点，又为中点，，平面，平面，平面．（2）平面，平面，；四边形为正方形，；，平面，平面，平面，平面平面．例11如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE．例12如图，已知四棱柱中，各棱长都为，底面是正方形，顶点在平面上的射影是正方形的中心，求证：平面．【答案】证明见解析【解析】证明：在正方形中，，则为、的中点，且，平面，平面，，则，，，，在四棱柱中，，，平面，平面，，，，、平面，平面，平面，，，、平面，因此，平面．例13如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC．证明：AE∥MN．【答案】证明见解析【解析】因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD．因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD．又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD．因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD．又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN．例14如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点．求证：平面．【答案】证明见解析【解析】证明：由已知可知，是圆柱的母线，所以平面，平面，∴．∵点是上异于、的点，是的直径，所以．又，平面∴平面．例15如图，四边形是矩形，平面，平面，，．（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】（1）证明：平面，平面，，又平面，平面，平面，在矩形中，，且平面，平面，平面，又，∴平面平面．（2）平面，∴点到平面的距离为，∵四边形是矩形，，，，．例16如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点．求证：（1）平面；（2）平面平面．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）如图，取的中点，连接，．为棱的中点，，且．又为棱的中点，且底面为正方形，，且，，且，四边形为平行四边形，则，又平面，平面，平面．（2）为棱的中点，，．底面，平面，，又，，平面，平面，平面，．，平面，平面．平面，平面平面．例17如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，点E是PB的中点．求证：（1）平面PAB；（2）平面平面PBC．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）∵底面ABCD为矩形，∴．∵底面ABCD，底面ABCD∴．又∵，平面PAB，∴平面PAB．（2）∵平面PAB，平面PAB，∴．∵，E是PB的中点，∴．又∵，平面PBC，∴平面PBC．又∵平面AEC，∴平面平面PBC．例18如图所示，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，分别是的中点．求证：（1）平面PCE（2）平面平面【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）取的中点，连接，如图所示：因为分别为的中点，所以，且．又因为是的中点，所以，．所以，，即四边形为平行四边形，即．因为平面，平面，，所以平面．（2）因为平面，平面，所以．因为，，，平面，所以平面．又因为平面，所以．因为为中点，，所以．因为，，，平面，所以平面．又因为，所以平面．又因为平面，所以平面平面．例19如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱上一点，且，为棱的中点．（1）证明：平面平面；（2）求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明：由题意，，，平面平面，平面，平面平面，平面，又平面，平面平面；（2）解：设的中点为，连接，，所以是等腰三角形，，即是梯形底边上的高，，由题意知，，所以，是的中点，到底面的距离为，四棱锥的体积为；综上，四棱锥的体积为．例20空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3．求证：AC⊥BD．【答案】证明见解析【解析】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GEBD，同理GFAC．∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°．即异面直线AC与BD所成的角是90°．∴AC⊥BD．例21已知四棱锥的底面是菱形，平面．（1）设平面平面，求证：；（2）求证：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）平面平面，平面，又平面，平面平面，．（2）平面平面，四棱锥的底面是菱形，，平面，平面，又平面．举一反三1．下列四个命题中，正确命题的个数是（）个①若平面平面，直线平面，则；②若平面平面，且平面平面，则；③平面平面，且，点，，若直线，则；④直线为异面直线，且平面，平面，若，则．A．B．C．D．【答案】B2．设，是两个不同的平面，是一条直线，给出下列命题：①若，，则；②若，，则．则（）A．①②都是假命题B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题D．①②都是真命题【答案】B【解析】如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，所以①正确；若，，则与不一定垂直，所以②错误．故选择B．3．已知平面与两条不重合的直线，则“，且”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A4．若m、n、l表示不同的直线，（、（表示不同的平面，则下列推理正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】B【解析】在正方体中，记平面为平面，平面为平面，为，为，为，对于A选项，，，但和相交，所以A错；对于C选项，，，但和相交，所以C错；对于D选项，，，但与相交，所以D错；对于B选项，由线面垂直的性质可知B对；故选：B5．已知为三个不同的平面，为一条直线，给出下列四个命题①若，则；

②若，则③若，；

④若，，则；其中，是假命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】对于①②③，在正方体中，平面看成平面，平面看成平面，平面看成平面，所以①不正确；平面看成平面，平面看成平面，平面看成平面，所以②不正确；对于③因为，则可能平行，故③不正确；对于④因为，过任作平面与相交，设，由线面平行的性质定理得又因为，所以，又因为，所以，故④错误．综上假命题的有①②③④故选：D6．已知为不同的直线，为不同的平面，以下四个命题①

②③

④其中正确的序号为（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②③④【答案】C【解析】①或，故错误；②由线面垂直的性质定理知，正确；③由线面垂直的性质定理知，正确；④，m，n相交或异面，故错误；故选：C7．（多选）已知不同直线l、m、n与不同平面、，下列推论正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则或【答案】ABD【解析】对于A，根据直线平行的传递性可知，A正确；对于B，根据平面与平面垂直的判断定理可知，B正确；对于C，若，，与也可能相交，故C错误；对于D，根据平面与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的概念可知，D正确．8．如图，已知平面PBC，，M是BC的中点，求证：．【答案】证明见解析．【解析】∵，M是BC的中点，∴．又平面PBC，平面PBC，则，∵，面，∴面，而面，∴．9．在正三棱柱中，如图所示，，G，E，F分别是，AB，BC的中点，求证：直线直线GB．【答案】证明见解析【解析】证明：连接．在三角形中，G是的中点，所以．因为平面，平面，所以，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，又因为E，F分别是AB，BC的中点，所以，所以所以直线直线GB．10．圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，，，．（1）证明：面．（2）求圆柱的体积．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：连接，，，可得平面，∵平面，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∴，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）解：连接，∵，∴，∵垂直上底面，∴，∵，平面，，∴平面，又平面，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，，∴圆柱的体积为．11．在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．【答案】证明见解析【解析】证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．又AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC．因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD．因为l⊥平面PCD，所以l∥AE．12．如图，已知正方体A1C．（1）求证：A1C⊥B1D1；（2）M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）如下图，连接A1C1．因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1．因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1．又因为CC1∩A1C1＝C1，所以B1D1⊥平面A1C1C．又因为A1C⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C．（2）如上图，连接B1A，AD1．因为B1C1=AD，B1C1∥AD所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1D∥AB1，因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1．又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1．由（1）知A1C⊥B1D1．同理可得A1C⊥AB1．又因为AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1．所以A1C∥MN．故答案为：A1C⊥B1D1；MN∥A1C．13．如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．（1）若PB＝PD，求证：PC⊥BD；（2）求证：CE∥平面PAD．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）取BD的中点O，连接CO，PO，因为CD＝CB，所以△CBD为等腰三角形，所以BD⊥CO因为PB＝PD，所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO又PO∩CO＝O，PO，CO⊂平面PCO，所以BD⊥平面PCO因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD；（2）由E为PB的中点，连接EO，则EO∥PD，又EO⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以EO∥平面PAD．由∠ADB＝90°及BD⊥CO，可得CO∥AD，又CO⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CO∥平面PAD．又CO∩EO＝O，CO，EO⊂平面COE，所以平面CEO∥平面PAD，而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面PAD．14．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点E为PC的中点．（1）求证：平面BDE；（2）求证：PC⊥BD．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）证明：连接AC交BD于O点，连接EO，如图所示：∵底面ABCD是菱形，∴O为AC的中点∵点E为PC的中点，∴∵平面BDE，且平面BDE∴平面BDE（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD，∴PA⊥BD∵，平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又平面PAC，∴BD⊥PC．15．如图所示，和所在平面互相垂直，且，点分别为的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】证明：由且，可得，所以，又由为的中点，所以，因为为的中点，同理可得，又因为且平面，所以平面，因为分别为的中点，所以，所以平面．16．如图所示，M是菱形ABCD所在平面外一点，．求证：AC垂直于平面BDM．【答案】证明见解析．【解析】设AC交BD于点O，连接MO,因为ABCD是菱形，所以,因为，且，所以，因为MO、BD是平面BDM上的两条相交直线，所以AC垂直于平面BDM．17．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面底面分别为的中点．．（1）求证：直线平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）因为为的中点，，所以，又因为，所以四边形为平行四边形，因为，所以平行四边形是矩形，所以，因为，所以，又因为平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，又因为平面，所以平面．（2）因为，所以，由平面为中点，所以点到平面的距离等于，所以．18．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E．【答案】证明见解析【解析】因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC．①又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD平面ABC，所以AD⊥BB1．②BC，BB1为平面BB1C1C内两条相交直线由①②得AD⊥平面BB1C1C．由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C，所以，AD⊥C1E．19．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC．【答案】证明见解析【解析】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH．因为E是AB的中点，且AD=2，所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1．所以∠EHF（或其补角）是异面直线AD，BC所成的角．因为EF=，所以EH2+FH2=EF2，所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°，所以AD⊥BC．20．如图，四棱锥的底面为矩形，底面，，点是棱的中点．（1）求证：；（2）若，，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）平面，平面，；四边形为矩形，，又，平面，平面，又平面，．（2）平面，平面，，又为中点，，由（1）知：平面，．21．如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，．求证：平面．【答案】证明见解析．【解析】∵在中，D是AB的中点，，∴,∵E是PB的中点，D是AB的中点，∴，∴，又，，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，又，，平面，平面，∴平面．课后练习1．已知m,n是两条不同的直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】D【解析】不正确，因为垂直于同一条直线的两个平面平行；不正确，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交；平行于同一条直线的两个平面平行或相交；正确．2．已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A．若则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】B【解析】选项A：若则或相交或异面；选项B：若，，则；选项C：若，，则或；选项D：若，，则或斜交或．故选B．3．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是（

）①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥AC；③平面ABC⊥平面ACD．A．①②B．②③C．①③D．①②③【答案】D【解析】∵平面平面BCD，平面平面，，CD平面BCD,∴平面ABD，又∵CD平面ACD，∴平面平面ABD，故①正确；∵平面平面ABD，平面平面，，AB平面ABD，∴平面ACD，∵AC平面ACD，∴，故②正确；∵平面ACD，AB平面ABC，∴平面平面ACD，故③正确；故选：D4．在四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中错误的是（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】D【解析】对于A中，由已知底面，且底面为矩形，所以，且,平面，所以平面，又由平面，所以平面平面，所以A正确；对于B中，由已知底面，且底面为矩形，所以，且,平面，所以平面，又由平面，所以平面平面，所以B正确；对于C中，由已知底面，且底面为矩形，所以，且,平面，所以平面，又由平面，所以平面平面，所以C正确；对于D中，设为平面与平面的交线，因为，平面，平面，所以平面，因为为平面与平面的交线，所以，又，所以，因为平面，平面，所以，所以，又底面，所以，所以，所以为平面与平面的二面角，若平面平面，则，而底面，所以，此时三角形内角和大于，所以平面与平面不垂直，所以D错误．故选：D．5．（多选）如图，在三棱锥PABC中，平面的中点，则下列结论正确的是（

）A．平面B．C．平面D．平面【答案】ABC【解析】平面，平面，又，平面且平面，故A正确由平面，平面得又，是的中点，又平面，平面，平面，故B,C正确由平面，平面得因为与不平行因此与不垂直从而不与平面垂直，故D错误故选：ABC．6．（多选）设m、n、l表示不同的直线，表示不同的平面，则下列命题中正确的是（

）A．，则 B．，则C．，则 D．，则【答案】ACD【解析】选项A，根据空间中直线平行的传递性，可知A正确；选项B，若，则m与l可能相交，也可能异面，也可能平行，故B错；选项C，根据空间中平面平行的传递性，可知C正确；选项D，两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直，故D正确；故选：ACD．7．如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF．（1）求证：直线平面ADF；（2）求证：直线平面ADF；（3）当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．条件①：；条件②：；条件③：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】（1）证明：在直角梯形中，，，将直角梯形绕边旋转至，所以，又，平面，所以平面；（2）证明：依题意可得且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面；（3）证明：因为平面平面，，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，过点作，交于点，若选①，，，所以，所以，此时，所以如图过点作交的延长线于点，因为平面，平面，所以，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，显然平面与平面不垂直；若选②：，则，所以，，所以，即，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；若选③：，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；8．在条件①；②；③平面平面中任选一个，补充到下面的问题中，并给出问题解答．问题：如图，在直三棱柱中，，且________，求证：．【答案】证明见解析【解析】（情况一）补充条件①．证明：在直棱柱中，平面，因为平面，所以．因为，平面，平面所以平面．因为平面，所以，因为，所以四边形为菱形，所以．因为，平面，平面所以平面．因为平面，所以．（情况二）补充条件②．证明：设，连接．因为，M为的中点，所以．因为，所以四边形为菱形，所以．因为平面平面，所以平面．因为平面，所以，（情况三）补充条件③平面平面．证明：在棱柱中，因为，所以四边形为菱形，所以．因为平面平面，平面平面平面，所以平面．因为平面，所以．9．如图，在中，，，．分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）当为中点时，的长度最小，最小值为【解析】（1），平面，平面，平面．（2），，，，又，，，，平面，平面．（3）设，则，由（2）知：均为直角三角形．，即，当时，取得最小值；当为中点时，的长度最小，最小值为．10．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．（1）求到平面的距离；（2）设D为的中点，，平面平面，求线段BC的长度．【答案】（1）到平面的距离为（2）线段BC的长为2【解析】（1）解：由直三棱柱的体积为4，可得，设到平面的距离为，由，，，解得．即到平面的距离为；（2）解：连接交于点由直三棱柱，故四边形为正方形，，又平面平面，平面平面，平面，，由直三棱柱知平面，，又，平面，，，，又，解得，则线段BC的长为2．11．如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，．点为棱的中点，点为棱上的一点，且，平面平面．（1）证明：；（2）证明：平面．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）证明：因为四边形为等腰梯形，则，因为，则，所以，，故，，即，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，．（2）证明：取的中点，连接，取的中点，连接、，因为，，则，，因为，且为的中点，所以，且，因为，为的中点，所以，且，所以，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，、分别为、的中点，故，平面，平面，平面．，、平面，平面平面，平面，平面．12．如图，已知正方体的棱长为1，与交于点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】因为四边形为正方形，．在正方体中，易知平面，又平面，．又，平面，平面．13．如图，在正方体中，，，