2021高中数学-第56炼 数列中的整数问题

第56炼数列中的整数问题

一、基础知识：

1、整数的基本性质：

(1)整数的和，差，积仍为整数

(2)整数的奇偶性:若〃=2k+1(攵wZ),则称〃为奇数;若〃=2k(kGZ),则称n为偶数,

在加,减,乘法运算中，其结果有以下规律：

①奇数土奇数=偶数②奇数土偶数=奇数

③偶数土偶数=偶数④奇数x偶数=偶数

⑤偶数x偶数=偶数⑥奇数x奇数=奇数

(3)若a,/?eZ,且a＜。，则aWb—1

(4)已知〈仇若〃wZ,且〃e(a,b),则〃只能取到有限多个整数(也有可能无

解)

(5)若@GZ,称。能被「整除，则有:

b

①即图

②Z?为。的一个因数

(6)最小数原理：自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数

2、整数性质的应用：

(1)若变量属于整数,则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变

量的值,通常要依赖方程,而不等式只能解得变量的范围。但是在整数范围内，除了方程,在不

等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值(即性质(4))，例如：若〃eN,〃e(2,5),

则〃的取值只能是3,4o所以在涉及求整数的值时,思路不要局限于寻找等量关系,构造不等

关系依然可以求解。

(2)整除问题：若表达式形式较为简单,可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值;

若表达式次数较高,则可以先利用二项式定理去掉高次的项,再进行处理。

(3)多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。通常的处

理方式有两个：

①通过对表达式进行因式分解,对另一侧的常数进行因数分解,进而将不定方程拆成多个方

程的方程组,进而解出变量

②将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域,进而将

参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值

（4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点：

①所解得变量非整数，或不符合已知范围

②等式两侧为一奇一偶

3、整数问题通常会与数列联系起来,其特征就是数列中项的序数，以及前〃项和的项数,均为

正整数。

二、典型例题：

例1：已知数列｛%｝的通项公式为。“=2〃-7,若组包为数列｛%｝中的项，则％=

am+2

（2"；）（2;-5）,｛%｝中的项为大于等于—5（

思路:区4+14=一5）的奇数，所以

金+2

考虑将&向奇数形式变形：⑵〃-7）（2〃L5）1（2〃L3）-4上[⑵"3）二2]

册+22m-32m-3

QQQ

=（2加一3）-6+-----=2加-9+------,可得------应该为大于等于4的偶数，所以

2m—32m-32m-3

QQC

-----=4或-------=8,解得〃2=—（舍）或加=2

2m-32m-32

答案：m=2

小炼有话说：（1）本题的亮点在于对O'“二7）（2〃?一5）的变形，在有关整数的问题里，通常

2m-3

可对分式进行“分离常数”的变形，从而将复杂的分式简化，并能立刻找到需处理的部分。例

8

如在本题中通过“分离常数”可迅速将目标锁定在------上。

2m-3

8

（2）本题对------的处理有多个角度，还可以从分母出发，观察到2机-3应为奇数，而

2m-3

Q

---------EZ,而8的奇因数只有1和一1,同样可确定团的值。

2m-3

例2：已知等差数列｛4｝的公差d>0,设｛%｝的前〃项和为5,,,%=1区•邑=36

（1）求%的通项公式

（2）求〃2,eN*）的值，使得a,”+a,“+|+…=65

例3：已知数列｛q,｝的前〃项和为S“，且5“=工/+U〃(〃eN*)

(1)求数列｛q｝的通项公式

a“(n=2k-l,k£N*)*.、，、

(2)设/(«)=<八•，是否存在wsN*,使得/(6+15)=5/(m)成

-13(〃=2k,kGTV*)

立？若存在，求出加的值;若不存在，请说明理由

11

解：(1)S“=；〃2+?〃,s,i=g(〃—1)气：(〃-1)(心2)

2

a*=Sn-S,i=n+5(n>2)①

a,=£=g+£=6符合①a“=〃+5

(2)思路：/(〃)按照奇偶分段，所以要确定机+15,帆的奇偶。观察可发现无论〃？为何

值，机+15,/〃均为一奇一偶，所以只需要对打的奇偶进行分类讨论，解出符合条件的机即可

/、。“=〃+〃

解：/(〃)=〈5,=2%—1

13a”-13=3〃+2,〃=2%

当加为奇数时，m+15为偶数

/(m+15)=5/(m)=>3(m+15)+2=5(/?7+5)

解得：m=\\

当机为偶数时，6+15为奇数

/./(m+15)=5/(m)=>(/n+15)+5=5(3zn+2)

解得：机=工(舍)

7

综上所述：加=11

例4：已知各项均为整数的数列｛4｝满足%=-1，%=4,前6项依次成等差数歹11,从第五项

起依次成等比数列

(1)求数列｛为｝的通项公式

(2)求出所有的正整数加,使得a“,+a,“+|+am+2=amam+lam+2

解：(1)设前6项的公差为d,则%=%+2d=-1+2d，4=4+4d=-1+4d

,.♦a5M6M7成等比数列，=a5'ai=>(4t/-l)2=4(2d-l)

解得：d=l

〃46时，an=a3+(〃-3)d=n—4

%=I,%=2,则q=2.二〃>7时，an=&•q"°=2"—'

〃-4,〃<6

[2n-\n>7

(2)思路：由于数列｛4｝分为两部分，当题之5时，即为公比是2的等比数列，所以考虑对于

数列的前几项可进行验证，后成等比数列，从而可进行抽象的计算，看是否能够找到符

合条件的mo

解：由(1)可得：也｝:一3,-2,-1,0,124,8,・・・

则当加=1时，4+。2+。3=-6=%。2a3

当772=2时，4+%+4=-2M2=3%=°，〃2+%+%工〃2a3a4

当〃z=3时，q+。4+%=0=a3a4a5

当772=4时，〃4+%+4=3M4〃5〃6=°，〃4+%%。a445a6

当加i5时，假设存在m，使得am+am+1+am+2=amam+iam+2

则有2*50+2+4)=23m-12即：7-2"-5=23m-12=>7=22m-7

vm>5.-.2m-7>3，Z?"'f之2?=8>7,从而7=22"f无解

时,不存在这样的m，使得am+am+l+am+2=amam+lam+2

综上所述：加=1或帆=3

例5：已知数列｛%｝的前"项和为S“，且满足q=—2,/T+3S“+2=0(nGN*).

(1)求。2,a3的值；

(2)求数列｛%｝的通项公式；

(3)是否存在整数对(加,〃)，使得等式a^-m-a„=4机+8成立？若存在,请求出所有满足

条件的(加,〃)；若不存在,请说明理由.

解：（1）在a“+i+3S“+2=0中，令〃=1,得：4+3S1+2=0

a2=—2—3Sj=—2—3q=4

再令〃=2,得：a3+3s2+2=0=>q=—8

(2)由q川+3S〃+2=0①,可得：4+3S〃T+2=0(〃N2)②

①一②可得：。“+1—a“+=0=an+l=-2an(n>2)

｛凡｝从第二项开始成等比关系，公比为—2

n

/.an=a2•(—2广之=(-2)(«>2)而q=-2符合上式

•■-«„=(-2/'

(3)思路：所成立的等式为(―2)2"—〃?(一2)"=4m+8,考虑将加,〃进行分离得至I：

[(-2)[、8

QQ

m=(-2V-4+-----------,再利用根,〃为整数可得一-一为整数，从

(-2)"+4(-2)+4(-2)"+4

而求出符合条件的〃，再求出加。

解：由⑵得：(―2户—2)"=4加+8

--12~12

(-2)-8(-2)-16+88

m=--------------=(一2)"—4+

KT+4(-2)"+4(-2)"+4

Q

,:mwZ且(―2)"—4eZ只需---------eZ,即(―2)"+4=±1,±2,±4,±8

(-2)"+4

Q

经计算可得：〃=1,2,3时，一弓一eZ

(-2)+4

n=1[n=2=3

「•解得：〈AJ

m=-2\m=\[m=-14

共有三组符合题意：(一2,1),(1,2),(-14,3)

小炼有话说：

(1)在第(2)问中，要注意〃的取值范围变化，并且要把〃所能取到的最小值代入到递推公

式中以了解递推公式从第几项开始满足。

(2)二元不定方程在求解时，参变分离是一种方式，通过变形让两变量分居不等号的两侧，

这样可以以一侧作为突破口（比如本题中的整除问题），来求得变量的解

例6：已知数列｛4｝是各项均不为0的等差数列，S,是其前〃项和，且满足a：=S2,i，令

bn=—,数列他｝的前〃项和为7；

44+1

（1）求数列｛可｝的通项公式及7；

（2）是否存在正整数加,〃（1＜加＜〃），使得7],（“，（成等比数列？若存在，求出所有的

相，”的值;若不存在,请说明理由。

解：（1）$2,1J+y;L.（2〃—1）+%一=2a“

•,Sa=（2〃一1）凡a;=52）,_,且《尸0

an=2〃-1

』=__i__ap__

"（2〃-1）（2〃+1）2（2〃-12H+1J

yvi"~1,7

（2）思路：先假定存在满足条件的m,n,则由窗=7；­T可得--------r=--------,无法

n（2m+1）32〃+1

直接得到不等关系，考虑变形等式：（2加：1）.=出+3,分离参数可得:3+4—2=3,

m~nmmn

3A/61+瓜

以一〉0为突破口可解出7的范围1一T，F,从而确定m的值后即可求出〃

n

解:假设存在机〃（1<相<〃），则7；=4W

m21n（2m+1）~6〃+34m2+4/T?+16〃+3

即-------r=-------=>-———=------=------；----=------

（2帆+1）~32〃+1加“nmn

41,3口“41「3八

/.4AH---1——=64—即—I---2=->0

mm~nmm~n

—2m~+4m+1n.,.A/6,76

------；----->0解得：1-----<m<1+——

m222

3411

，加=2,代入可得：巳=—+f—2=—,解得：/?=12

n2224

.•・存在加=2,〃=12,使得7；,7；,Tn成等比数列

例7：已知各项均为正数的数列｛q｝满足：4=3,且—1）。的—4=O,〃eN*

（1）设/=凡-」■，求数列也｝的通项公式

(2)设S“=a；+a；+…+4?；H--H---1--，求S〃+7?,并确定最小正整数〃,使

。2%

得S“+7；为整数

解：（1）—2—On47?+1

,1a；+i7=2a；—]=2(a“一斗22

••b”+i=a”+i--------

IaJ

.•.｛〃,｝是公比为2的等比数列

思路：由可得/———=b„^b,-2"-'

(2)(1),an的通项公式可求但是比较复杂,

43

不利于求出S,,,。，但观察发现可将S“+7；中的项重新组合，进而能够和瓦找到联系。

\2

21+2=比+2,求和可得S„+Tn=|^(4"—1)+2”，若S“+7；为整数,

%7

则4”一1能被27整除，而27=33,考虑可将4"写成0+1）”,通过二项式定理展开并找到最

小的正整数/?

(1、

解:S.+7＞出相1+++…

a

171In)

22

1-(11

a\—+%------++In

ka2)

2222

(8

•4~+•••+I・4"T+2〃

哨+”(|)5

4r^2〃埸(4一)+2〃

若S.+7；为整数，因为2〃eZ号（4"—l）eZ

即l）eZ

4"—1=（3+1）"=《3"+C：3"T+…+G”+C"-232+C：i3+C；；-l

=C：3"+C*3*T+…+C；”+C；；-232+CL3

.•.C；232+^13能被27整除

片32+端3=9.当雪3〃=生产

所以可得〃=9时,£-232+端3能被27整除

.•・”的最小值是9

例8：已知｛4,｝为等差数列,前n项和为S„，若S4=4s2,%,=24+1

（1）求％

（2）对VmcN*,将｛4｝中落入区间（2"',22"’）内项的个数记为仇｝

①求0

2T-t

②记£“=③心,>｛。｝的前加项和记为1“，是否存在根,fGN*,使得才—=

2-b„,Tm+1-t

成立？若存在，求出〃?"的值;若不存在，请说明理由

解：（1）设｛凡｝的公差为。

S4=4S2=4q+6d=4（2q+d）

a2il-2an+1nq+（2〃—l）d=2[q+（〃—l）d]+l

解得：6=1,4=2/.an=2n-1

yn<172m11

（2）①2m<2«-l<22m<n<=—^~

22

2m-'+-<n<2rm-]+--：neN'

22

21m[

・•・+\<n<2"-bm=2?，2-

（门丫〕

②思路：由①可得：C...=—-=—7；=41—；一，则所解方程变形为：

r"2"-'(2J\2/

,得到关于m.t的不定方程，可考虑对m.t进行变量分离

，以等式左右边的符号作为突破口（左边为正数），得到4一，＞0,即

re{l,2,3},然后代入/解出符合条件的加即可

〉0,4+出

>0

.,.4-r>0^>/G(1,2,3)

3

r=1时,解得:=>m=log］一eZ（舍）

25

r=2时，解得：（g）=；=〃z=log|geZ（舍）

f=3时，解得：f—=—=>/n=3eZ

⑶8

m=3

•.•存在这样的，满足所给方程

t=3

小炼有话说:

1、本题中②的方程，并没有在一开始就将7；代入，否则运算会复杂的多，所采取的策略为先

化简变形，变形完成之后再代入。可简化不必要的运算

2、本题在解mJ的不定方程所用的方法为变量分离法，将两个只含某一字母的式子用等号连

接，则两边式子的范围应当一致。以其中一个式子作为突破口(比如(g))，再结合变量必

须取整数的条件，便可用不等关系将变量所能取的值确定下来。

例9：已知数列｛a,,｝是等差数列，数列｛4｝是等比数列，且对任意的〃eN*,都有：

aQi+a2b2+,,,+a“b"—n"2",若q=8,则：

(1)求数列也｝,｛〃｝的通项公式

(2)试探究：数列｛a｝中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它r(reN/N2)项

的和？若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由

解：(1)q4+%%+…+a/”=〃,2"”①

,(+2

4a+a2b2H---Fan_lbll_i=(〃-1).2②

①一②可得：

rt+2

anbn=n-2*3_(〃_I""?=(〃+l)2(n>2)

令”=1,则64=124n。=2

4

令〃=2,则a2b2=3-2=(6+d)仿q=48

令“=3,则生4=4■2,=（4+2J）4/=128

2（8+d）q=48d=4

所以有:，解得:

2（8+24）q=1284=2

an=4〃+4,b“=2"

(2)思路：首先要把命题翻译为等式，将其他，项可设为〃，…,乙，设存在某项〃“，则

*1*2。

b=h,+b,H-----\-h.=2"'=2，+2'2H—+2",设4</,<…<。，则同除以2',就会

Hl1|<2*rII，

出现左右两侧奇偶不同，从而假设不成立

解：假设存在某项bm及数列中的其他r项々,…,％也<马<•••<。)

:.b=b,+b,+.••+)=2'”=24+2"+…+2",所以2"'>2">机>。

lii«|<2*r，

两边同时除以2‘，可得：

=1+2,2f+.-+2'尸"，左边为偶数,右边为奇数。所以等式不成立

所以不存在这样的项

小炼有话说：(1)通过本题要学会如何表示数列中某一串项：如果是相邻项，则可表示为：

…，如果不一定相邻，则可用…。作角标，其中1,2,…/体现出这一串项

所成数列中项的序数，而入,"•••'.表示该项在原数列中的序数

(2)本题还有一个矛盾点：题目中的r项不一定为相邻项，但是可通过放缩将右边的项补全，

变为从，一直加到2",即2"+2"+--+2"<21+22+・一+2"。则

2"'<2+22+…+2"=2'3一1①，由整数性质可得m>tr=>m>tr-1,所以

2，“22'川>2'川一1,与①矛盾，所以不存在。

例10：已知等差数列｛%｝的首项为。，公差为伍等比数列也｝的首项为。，公比为。，其中

a力均为大于1的正整数，且q<如仇<4，对于任意的〃eN*,均存在meN*,使得

a,„+3="成立，贝！Jan=

思路：本题的关键是求出依已知a力均为大于1的正整数，所以考虑从两个不等关系入手

,a<b

尝试求的值或范围：©<〃。av4二>Z?。<。+2。，所以《，从而

bava+2b

根据不等号方向可得：ba<a+2b<b+2b=3b解得：。<3,所以1VQV3=Q=2,

从而册+3=bn=>以+(m-l)b+3=ba"”,代入a=2可得：

(加一1)人+5="2〃一=>5=42"|—机+1),因为-m+leZ,所以

b=l2"“一m+1=12"“一加+1=12"~]—m

<(舍)或<。所以<=>《成立，

2'1—/〃+1=5[8=5]〃=5[人=5

所以a=2,8=5,=2+5(〃-1)=5〃-3

答案：a”=5〃-3

三、历年好题精选

1、(2014,山东师大附中五模)用部分自然数构造如图的数表：用为。＞J)表示第i行第j个

数(LjeNQ，使得%=,%="每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和,

设第〃(〃GM)行中的各数之和为勿

1

(1)写出伪，仇也，&,并写出6向与么的递推关系(不要求证明)22

343

(2)令g=d+2,证明：匕｝是等比数列,并求出也｝的通项公式4774

51114115

(3)数列也｝中是否存在不同的三项与也也(/”,reN+)恰好.................

成等差数列？若存在，求出〃应"的关系，若不存在，说明理由

2、(2016,泰州一模)已知数列伍"｝,曲」满足25„=(a„+2)bn,其中S“是数列｛叫的前〃项

和.

21

(1)若数列他“｝是首项为§,公比为-耳的等比数列,求数列｛么｝的通项公式；

(2)若a=〃，々=3,求数列｛凡｝的通项公式;

(3)在(2)的条件下，设%=%，求证：数列｛.｝中的任意一项总可以表示成该数列其他

两项之积

3、已知数列｛4｝的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列｛4｝

前〃项和为S”,且满足S5=2%+a5,a9=%+4

(1)求数列｛%｝的通项公式

(2)若amam+l=am+2，求正整数m的值

(3)是否存在正整数，力,使得必匚恰好为数列｛q｝中的一项？若存在，求出所有满足条件

S2nLi

的加值，若不存在，说明理由

4、(2016,无锡辅仁高中12月月测)

(2、

己知数列｛%｝,｛〃,｝满足4=3,a也,=2,2+1=anbn------eN*

(1)求证：数列­是等差数列，并求数列｛a｝的通项公式

(2)设数列｛%｝满足c“=24-5,对于任意给定的正整数P,是否存在正整数

,、111

q,r(p<q<r)，使得丁，丁，丁成等差数列？若存在，试用，表示见「;若不存在，请说明理

由

习题答案:

1、解析：（1）仇=1,仇=4也=10,仇=22

猜想"+1=2〃+2

⑵2+1+2=2(〃+2)cn+,=2c„

.♦.{%}是等比数歹U,j=1+2=3

.•.C“=C-2"T=3-2"T

"=3•2"-'-2

(3)由(2)可得：2=3・2，1-2,々=3-2"T—2,"=3・2'T-2

若bp,bq,b,.(p,q,rGN.)为等差数列

则2々=々,+d=>2川=2/'+2'.

不妨设p为最小的数，则2-2（/-p=1+2'-p，左边为偶数，右边为奇数，显然不成立

不存在符合要求的p,%广

2（1Y-'（1Y

2、解析：（1）因为一上=-2--

3/\3,

(2)若"=〃，贝ij2S“=nan+2〃

•••2S,+i=(〃+1)%+2

...2a,用=(〃+1)«„+1-nan+2=>/M„=(n-l)«„+1+2

(〃-1)%=(〃-2)4+2

两式相减可得：n>2

时，na„-(n-l)a„_,=(n-l)a„+1-(n-2)a„=>2(n-l)a„=(71-1)^+(n-l)a„+I

•••2%=a,i+a,+i

•.•{%}为等差数列

2S1=a1+2可得：a1=2,因为%=3

.・.d=1+1

〃+1

(3)由(2)得％=——，

n

对于给定的〃GN*,若存在k,t/〃次,feN",使得c“=Q,

LtR〃+1Z+1/+1

只需——=--------,

nKt

…1八1、八1、口■1111…n(k+1)八

即1H—=(1H--)•(1+-),即一二—I---1----，则f=---------,.............12分

nktnktktk-n

取z=〃+l,则f=〃(〃+2),

77+]"+2,/I2+2”+1

•••对数列｛｝中的任意一项一，都存在-----和使得

c“q,=7cn+lcz,=----2---------

n+1-----"+2"n+2n

3、解析：（1）设4M3M5,…，”21，…的公差为d，设。2,4,4a2r…的公比为4

4—%q-lq,a3=q+d=1+d,ag=1+4d

S=2a4+a.[a=a.+a,+a,=2

由《5'4

%=%+%[q+4d=a】+d+2q[q=3

%=%q"।=2•3'I%==ax+(«-l)J=2k-l

n,n=2k-l

an=<n_}

2-32,n=2k

(2)若加=2&(ZeN*)，则a2ka2k+i=4一，即2.3=(2左+1)=2•3"

解得：2Z+1=3=&=1,即〃z=2

若〃?=2左一1(keN*),即a2k_xa2k=a2k+l

(2Z—=2k+ln2-3i=1+

2k-l

因为2凸一为正整数

-----为正整数.•.2攵—1=1=>左=1

2k-\

2

代入可知人=1不符2-3"T=1+-----，故舍去

21

综上所述：m=2

若昌匚为｛%｝中的一项，则占

为正整数

*^2m-l^2m-l

Szm-l=+%+…+)+(々+/+…+外,"-2)

=」---------L△-------=3"1+机2—1

23-1

.52„,S2m_,+«2„,3用+