北师大 八年级上册 第1章 勾股定理 单元测试卷 （解析版）

第1章勾股定理单元测试卷

一、选择题（共12小题）.

1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）

A.7,24,25B.3—,4—15—

222

C.3,4,5D.4,7—,8—

22

2.如图，以直角三角形4、氏C为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方

形，上述四种情况的面积关系满足S|+S2=S3图形的个数有（）

3.如图，在平面直角坐标系中，点尸坐标为（-2,3）,以点。为圆心，以0P的长为半

径画弧，交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于（）

A.-4和-3之间B.3和4之间C.-5和-4之间D.4和5之间

4.下列各命题的逆命题成立的是（）

A.全等三角形的对应角相等

B.如果两个数相等，那么它们的绝对值相等

C.两直线平行，同位角相等

D.如果两个角都是45°,那么这两个角相等

5.若AABC的三边a、b、c满足条件（a-b）（a2+b2-c2）=0,贝QABC为（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

6.如图，在水塔。的东北方向32机处有一抽水站A,在水塔的东南方向24〃?处有一建筑工

则水管的长为（）

C.50mD.56m

7.如图，在△ABC中，ZC=90°，AC=2,点。在上,ZADC=2ZB,AD=^,则

8c的长为（）

心1C.V5-1D.遥+1

8.直角三角形的周长为24,斜边长为10,则其面积为（)

A.96B.49C.24D.48

9.小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5根远的水底，竹竿高出

水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（）

A.2/nB.2.5mC.2.25mD.3m

10.一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其

它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（）组

A.13,12,12B.12,12,8C.13,10,12D.5,8,4

BC上的中线4。=6,BC的长是（）

C.2/61D.6

12.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12c/n,底面周长为lOc/n,在容

器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上

沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是()

B.13cmC.2V61c/nD.2声诵

二、填空题(共6小题).

13.平面直角坐标系中，已知点A(-1,-3)和点B(l,-2),则线段AB的长为

14.若直角三角形的两直角边长为“、b,且满足，a2-6a+9+lb-4|=0,则该直角三角形的

斜边长为.

15.如图，△A8C中，ZB=90°,AB=2®,BC=2,AD=CD=^,则NZMC=

16.如图，把一张长方形纸片ABC。折叠起来，使其顶点C与A重合，折痕为EF.若AB

=1,BC=2,则AB长为

17.观察下列一组数：

列举：3、4、5,猜想：32=4+5；

列举：5、12、13,猜想：52=12+13；

歹IJ举：7、24、25,猜想：72=24+25；

列举:13、b、c,猜想：132=b+c；

请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得6=,c=.

18.在△ABC中，AB=2料，BC=\,ZABC=45Q,以AB为一边作等腰直角三角形ABD,

使/AB£)=90°,连接CC,则线段CO的长为.

三、解答题（共14分，每小题7分）

19.如图，在△A8C中，AD±BC,AD=U,80=16,CD=5.求：△ABC的周长.

20.如图，在一棵树的10米高8处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C,

而另一只爬到树顶。后直扑池塘C,结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？

四.解答题（共40分，每小题10分）

21.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫格点，以格

点为顶点按下列要求画图：

（1）在图中画一条线段使万；

（2）在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角△OEF.

②

22.如图，已知四边形ABC。中，NB=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边

形ABC。的面积.

23.小明和小亮在同一所学校上学，放学后，小明先向东走1800米，再向南走200米到家,

小亮先向北1000米，再向东走200米到家，根据题意，先画出示意图，再计算小明家和

小亮家的距离.

24.如图，A、8两个村子在河8的同侧，A、8两村到河的距离分别为AC=lhw,BD=

3km,CD=3km.现在河边CO上建一水厂分别向A、8两村输送自来水，铺设水管的费

用为20000元/千米.

（I）请你在河CD边上作出水厂位置O,使铺设水管的费用最省;

（2）求出铺设水管的总费用.

B

月

c\D

五、解答题（共24分，每小题12分）

25.如图，己知△OMN为等腰直角三角形，NMON=90°,点B为NM延长线上一点，0C

_LOB,且OC=OB,连CM

(1)求证：CN-BM-,

(2)作NBOC的平分线交MN于A,求证：AN2+BM2=AB2.

26.阅读下面的情景对话，然后解答问题:

（1）①根据“奇异三角形”的定义，请判断小红提出的命题是否正确，并填空（填

“正确”或“不正确”）；

②若某三角形的三边长分别是2、4、氏,则该三角形（是或不是）奇异三角

形；

（2）若RtZiABC是奇异三角形，且其两边长分别为2、2&,则第三边边长为；

且此直角三角形的三边之比为（请按从小到大排列，不得含有分母）；

Q

（3）在中，ZACB=90.AB=cfAC=b,BC=a,且b>a,若RtZ\A8C是

奇异三角形.求〃：b：c.

参考答案

一、选择题(共12小题).

1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是()

A.7,24,25B.3—,4—,5—

222

C.3,4,5D.4,7—,8—

22

解：A、=72+242=252,.•.能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

'：(3-1)2+(4-1)2#(55)2,.•.不能组成直角三角形,故本选项符合题意;

222

C、♦.•32+42=52,.♦.能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

D,V42+(7/)2=(8/)2,.•.能组成直角三角形，故本选项不符合题意.

故选：B.

2.如图，以直角三角形4、氏C为边，向外作等边三角形，半E机等腰直角三角形和正方

形，上述四种情况的面积关系满足S+S2=S3图形的个数有()

勺岳等00

S3

A.1B.2C.3D.4

解：(1)S[=®J52=近从$3=返2,

444

*/a2+b2=c2,

...：^2+：^2=叵2,

444

.•・S1+S2=S3.

/八c兀1c兀Qc兀1

(2)Si=・g岛Sz=：按,S3=-wc~,

Va2+b2=c2,

.\S1+S2=S3.

a2+b2=c2,

.•工+工2=12,

444

.•・S1+S2=S3.

(4)S\=a2,S2=b2,S3=d,

212

■:a+b=c9

•\S]+S2=Sy.

综上，可得

面积关系满足51+52=53的图形有4个.

故选：D,

3.如图，在平面直角坐标系中，点尸坐标为(-2,3),以点。为圆心，以。尸的长为半

A.-4和-3之间B.3和4之间C.-5和-4之间D.4和5之间

解：•・•点尸坐标为(-2,3),

•*-op=yj(-2)2+32=后,

♦.•点A、P均在以点。为圆心，以0P为半径的圆上，

V9<13<16,

•官〈JI"

•.•点A在x轴的负半轴上，

，点A的横坐标介于-4和-3之间.

故选：A.

4.下列各命题的逆命题成立的是()

A.全等三角形的对应角相等

B.如果两个数相等，那么它们的绝对值相等

C.两直线平行，同位角相等

D.如果两个角都是45°,那么这两个角相等

解：A、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误；

8、绝对值相等的两个数相等，错误；

C、同位角相等，两条直线平行，正确；

D、相等的两个角都是45°,错误.

故选：C.

5.若△A8C的三边“、b、c满足条件(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC为()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

解：：(a-b)(a2+b2-c2)—0,

:.a=b或c^+h^—c1.

当只有“=b成立时，是等腰三角形.

当只有第二个条件成立时：是直角三角形.

当两个条件同时成立时：是等腰直角三角形.

故选：C.

6.如图，在水塔O的东北方向32〃7处有一抽水站A,在水塔的东南方向24〃?处有一建筑工

地B,在4B间建一条直水管，则水管的长为()

C.50/HD.56m

解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角,

AZAOB=90°,

又OA=32/w,OB=24m，

；•AB=VOA2+OB2=40W-

故选：B.

7.如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=2,点。在BC上，ZADC=2ZB,AD=后,则

BC的长为()

C-V5-1D.依+1

解：；/AOC=2/B,NADC=NB+NBAD,

：.NB=ZDAB,

•••DB—DA=

在RtZXAQC中，

DC=7AD2-AC2=<5-4=1,

.•.8。=遥+1.

故选：D.

8.直角三角形的周长为24,斜边长为10,则其面积为（）

A.96B.49C.24D.48

解：直角三角形的周长为24,斜边长为10,则两直角边的和为24-10=14,

设一直角边为x,则另一边14--

根据勾股定理可知：N+(14-x)2=100,

解得x=6或8,

所以面积为6X8+2=24.

故选：C.

9.小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出

水面05”,把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（）

A.2mB.2.5mC.2.25mD.3m

解：若假设竹竿长x米，则水深（x-0.5）米，由题意得，

x2=1.52+（x-0.5）2解之得,%—2.5

所以水深2.5-0.5=2米.

故选：4

X\V-05

10.一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其

它的数据弄混了，请你帮助他找出来,是第()组

A.13,12,12B.12,12,8C.13,10,12D.5,8,4

解:4、132Kl22+62,错误;

B、122r82+62,错误；

C、132=122+52,正确;

D.52^42+42,错误.

故选：C.

上的中线AO=6,BC的长是（）

A.13B.12C.2-761D.6

解：延长到E,使OE=A£),连接BE.

'AD=ED

在△AOC与中，<NADC=NEDB，

,CD=BD

:.XADgXEDB(SAS),

：.AC=BE=l?>.

在△ABE中，AB=5,AE=12,BE=13,

.,.ZBA£=90°.

在△A3。中，ZBAD=90°,AB=5,40=6,

BD=VAB2+AD2=:V61,

•#-BC=2\6]».

故选：C.

、\、〜\••

-%

12.如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10c〃?，在容

器内壁离容器底部3c〃?的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上

沿3c机的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是()

蚂如K\

A.B.13cmC.D.2V31C7W

解：如图：

•.•高为12c机，底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，

此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，

：.A'D=5(cm),BD=\2-3+AE=}2(cm),

将容器侧面展开，作A关于E尸的对称点A',

连接A'B,则A'8即为最短距离，

A'D2+BD2=VB2+122=13(cm).

故选：B.

二、填空题(每小题4分，共24分)

13.平面直角坐标系中，已知点A(-1,-3)和点8(1,-2),则线段AB的长为_代_.

解：•.•点A(-1,-3)和点B(1,-2),

•**AB=7(-1-1)2+(-3+2)2=V5-

故答案为述.

14.若直角三角形的两直角边长为“、b,且满足Ja2_6a+9+|b-4|=0,则该直角三角形的

斜边长为5.

解：vVa2-6a+9+|b-4|=0'

/.a2-6〃+9=0,b-4=0,

解得a=3,b=4,

・・,直角三角形的两直角边长为〃、b,

22

该直角三角形的斜边长=7a+b=正+42=5.

故答案是：5.

15.如图，/XABC中，ZB=900,A8=2&,BC=2,AD=CD=^则/如AC=45°.

解：在Rt/VLBC中，ZB=90°,AB=2近,BC=2,

'•AC=JAB2+BC2=<8+4=2V3>

在△AOC中，AD=CD=A

4C2=12=4£>2+C£>2=6+6,

...△4OC为直角三角形，ZD=90°,

：.ZDAC=ZDCA=45°.

故答案为：45°.

16.如图，把一张长方形纸片ABCQ折叠起来，使其顶点C与A重合，折痕为EF.若A8

=1,BC=2,则AF长为_±_.

解：；四边形A3。是矩形，

：.ZB=90°,

由折叠可得，AF=FC,

®AF=x,贝ijBF=2-x,

在中，AB2+BF1=AF1,

即以+(2-x)

解得：x=W，

4

：.AF^—,

4

故答案为：

4

17.观察下列一组数：

列举：3、4、5,猜想：32=4+5；

列举：5、12、13,猜想:52=12+13；

歹U举：7、24、25,猜想：72=24+25；

列举：13、〃、c,猜想：132=b+c；

请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得力=84,c=85

解：在32=4+5中，4=$1工，5=铲+1:

22

在52=12+13中，12=57,13=$_」口_；

22

则在13、b、c中，〃=宜二L=84,C=]+]=85.

22

18.在AABC中，AB=2近,BC=],NABC=45°,以A8为一边作等腰直角三角形

使N4BO=90°,连接C£>,则线段CD的长为_遍或/

解：①如图1,点4、。在BC的两侧，;△AB。是等腰直角三角形，

.'.AD=y/^AB—y/2>:-2y[2=4,

VZABC=45°,

：.BE=DE=—AD=--X4=2,BEA.AD,

22

'：BC=\,

：.CE=BE-BC=2-1=1,

在Rt/XCDE中，CD-VCE2+DE2~Vl2+22~VS：

②如图2,点A、。在BC的同侧，：△ABO是等腰直角三角形，

:.BD=AB=2瓜

过点D作DELBC交BC的反向延长线于E,则△B0E是等腰直角三角形,

，DE=BE=返义2&=2,

：.CE=BE+BC=2+l=3,

在Rt/\CDE中,。。="比2+DE2r+22=而§,

综上所述，线段CZ）的长为爬或后.

故答案为：,\/13-

三、解答题（共14分，每小题7分）

19.如图，在△ABC中，AD±BC,AD=\2,BD=16,CD=5.求：ZiABC的周长.

A

222222

根据勾股定理得：AB=AD+BDfAC=AD-^CDf

AAfi=V162+122=20'AC={122+52=3

二△ABC的周长=A8+AC+8C=A8+AC+8D+£)C=20+13+16+5=54,即aABC的周长是

54.

20.如图，在一棵树的10米高8处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C,

而另一只爬到树顶。后直扑池塘C,结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？

解：设B£)=x米，贝I」A£)=(10+x)米，CD=(30-x)米，

根据题意，得：

(30-x)2-(x+10)2=202,

解得x=5.

即树的高度是10+5=15米.

四.解答题(共40分，每小题10分)

21.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫格点，以格

点为顶点按下列要求画图：

(1)在图中画一条线段MN,使

(2)在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角△£>££

解：如图所示:

M

②

22.如图，已知四边形ABCO中，ZB=90°,48=3,BC=4,CD=\2,AO=13,求四边

...△4BC为直角三角形，

又；AB=3,BC=4,

根据勾股定理得：AC=J7访刖=5，

又,：CD=12,40=13,

AU=132=169,CD2+AC2=122+52=144+25=169,

：.CD2+AC2=AD2,

.♦.△AC。为直角三角形，ZAC£>=90°,

贝！1S四边彩ABC"=SAABC+SAACO=-^-AB・8C+^4C・CZ)="^X3X4+^"X5X12=36.

故四边形ABC。的面积是36.

23.小明和小亮在同一所学校上学，放学后，小明先向东走1800米，再向南走200米到家,

小亮先向北1000米，再向东走200米到家，根据题意，先画出示意图，再计算小明家和

小亮家的距离.

解：如图所示：ABLBC,

由题意可得：AB=\200m,BC=\60Qm,

故ACRAB?+BC2=200。(山)•

答：小明家和小亮家的距离为2000,".

?°叫小亮家

A-：\

.、、

*•6、

a、

、、

(、

1000泄:\

*：1800m200m

B..................扁家

24.如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=lh〃，BD=

3km,CD=3km.现在河边CO上建一水厂分别向A、8两村输送自来水，铺设水管的费

用为20000元/千米.

(1)请你在河CD边上作出水厂位置O,使铺设水管的费用最省；

(2)求出铺设水管的总费用.

B

c\D

解：(D①水厂位置。如图所示；

(2)如图，作出以A'B为斜边的直角三角形,

\*AC=\km,BD=3kmfCD=3km,

；.A'E=CD=3km,3E=3+1=4切?

由勾股定理得，A1B=I/32+42=5km,

20000X5=100000元.

答：铺设水管的总费用100000元.

五、解答题(共24分，每小题12分)

25.如图，已知为等腰直角三