初中数学人教九年级上册第二十四章 圆2023秋圆周角教学设计

圆周角

——城郊中学冯在芳

【教学目标】

1.理解圆周角的概念.探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系，并会用圆周角定理及推论进

行有关计算和证明.

2.经历探索圆周角定理的过程，初步体会分类讨论的数学思想，渗透解决不确定的探索型问题

的思想和方法，提高学生的发散思维能力.

3.通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验.

【教学重点】

圆周角定理及其推论的探究与应用.

【教学难点】

圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法以及

圆周角定理及推论的应用.

【教学过程】

一、情境导入，初步认识

如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内

的海洋动物，同学甲站在圆心0的位置.同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C,他们的视角（N

AOB和NACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E,他们的视角（N

ADB和NAEB）和同学乙的视角相同吗？

[相同，2ZACB=2ZAEB=2ZADB=ZAOB]

【教学说明】教师出示海洋馆图片，引导学生思考，引出课题，学生观察图形、分析，初步感

知角的特征.

二、思考探究，获取新知

1.圆周角的定义

探究1观察下列各图，图（1）中NAPB的顶点P在圆心O的位置，此时NAPB叫做圆心角，

这是我们上节所学的内容.图（2）中NAPB的顶点P在。0上，角的两边都与。0相交，这样的角

叫圆周角.请同学们分析（3）、（4）、（5）、（6）是圆心角还是圆周角.

【教学说明】设计这样的一个判断角的问题，是再次强调圆周角的定义，让学生深刻体会定义

中的两个条件缺一不可.

【归纳结论】圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.二者缺一不

可.

2.圆周角定理

探究2如图，（1）指出。0中所有的圆心角与圆周角，并指出这些角所对的是哪一条弧？

（2）量一量ND、NC、NAOB的度数，看看它们之间有什么样的关系？

（3）改变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化？你发现其中有规律吗？若

有规律，请用语言叙述.

解：（1）圆心角有：NAOB圆周角有：NC、ZD,它们所对的都是AB

（2）ZC=ZD=1/2ZAOB

.（3）改变动点C在圆周上的位置，这些圆周角的度数没有变化，并且圆周角的度数恰好等于

同弧所对圆心角度数的一半.

【教学说明】教师利用几何画板测量角的大小，移动点C,让学生观察当C点位置发生改变

过程中，图中有哪些不变，从而交流总结，找出规律，同时引导学生观察圆心与圆周角的位置关系,

为定理分情况证明作铺垫.

为了进一步研究上面发现的结论，如图，在。0上任取一个圆周角NACB,将圆对折，使折

痕经过圆心0和NACB的顶点C.由于点C的位置的取法可能不同，这时折痕可能会：

（1）在圆周角的一条边上；

（2）在圆周角的内部；

（3）在圆周角的外部.

已知：在。0中，AB所对的圆周角是NACB,圆心角是NAOB,求证：ZACB=1/2ZAOB.

[提示分析：我们可按上面三种图形、三种情况进行证明.]

如图（1）,圆心0在NACB的边上，VOB=OC,AZB=ZC,而/BOA=NB+NC,

/.ZB=ZC=1/2ZAOB.

图（2）（3）的证明方法与图（1）不同，但可以转化成（1）的基本图形进行证明，证明过程

请学生们讨论完成.

得出圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半.

注意：①定理应用的条件是“同圆或等圆中”，而且必须是“同弧或等弧”，如下图（1）.

②若将定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了.因为一条弦所对的圆周

角有两种情况，它们一般不相等（而是互补）.如下图（2）.

（2）2。与2c2都是

但一4BWCD弦AB所对的圆周

角很明显乙的W乙孰.

【教学说明】在定理的证明过程中，要使学生明确，要不要分情况来证明.若要分情况证明，

必须要明白按什么标准来分情况，然后针对各种不同的情况逐个进行证明.在证明过程中，第（1）

种情况是特殊情况，是比较容易证明的，经过添加直径这条辅助线将（2）、（3）种情况转化为第（1）

种情况，体现由一般到特殊的思想方法。对于后面要学生注意的两个问题，是为了加强学生对圆周

角定理的理解，使学生能准确的掌握好圆周角定理。

3.圆周角定理的推论

议一议（1）特殊的弧一一半圆，它所对的圆周角是多少度呢？

（2）如果一条弧所对的圆周角是90°,那么这条弧所对的圆心角是多少呢？

结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.（圆周角定理的

推论）

【教学说明】这个推论是圆中很重要的性质，为在圆中确定直角，构成垂直关系创造了条件.

同时这一结论为在圆中证明直径提供了重要依据.

4.圆内接四边形

定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫

做这个多边形的外接圆.

如图，四边形ABCD是。O的内接四边形.

OO是四边形ABCD的外接圆.

连接OB、OD,由圆周角定理可知:

NA=1/2N1,ZC=1/2Z2

乙1+42=360。二比0。

而Nl+N2=360°,/.ZA+ZC=22

，NA与NC互补，同理可得NADC+NABC=180°.

由此可知在。O的内接四边形ABCD中，对角NA与NC,NADC与NABC互补.

若延长BC至E,使得四边形ABCD有一个外角NDCE,则NDCE+NBCD=180°.

，NA=NDCE.即：外角NDCE与内对角NA相等.

由此可知圆内接四边形有如下性质：

圆内接四边形的对角互补，外角等于内对角.

【教学说明】从圆内接四边形的定义出发，可知圆内接四边形的四个内角都是圆周角，再由圆

周角定理，把圆周角与相应的圆心角联系起来，就很容易得出圆内接四边形的性质定理.对于这个

性质，学生要能分清这个命题的题设和结论，并结合图形写出已知和求证.

三、典例精析，获取新知

例1如图，€)0的直径AB为10cm,弦AC为6cm,NACB的平分线交。。于D.

求BC、AD、BD的长.

D

分析：由直径AB可知aACB和aADB为直角三角形，进而可用勾股定理求BC,又由CD

平分NACB可知N1=N2,从而得到AD、BD.再次用勾股定理求出AD、BD的长.

解：•..AB为。。的直径，AZACB=ZADB=90°,...△ACB和AADB为直角三角形.

在RtZ\ABC中，BC={AB--AC'=V1O--6~=8(cm).

•..CD平分NACB,.*.Z1=Z2,，AD=BD,AD=BD

.又在RtaABD中，AD=BD=V2/2AB=5^(cm)

【教学说明】利用圆周角定理及其推论，将求线段长的问题转化到解直角三角形的问题上来.

例2如图.AB为。O的直径，点C、D在。O上，NAOD=30°.求NBCD的度数.

分析：这题有两种解答思路，可用圆周角定理，ZC=(180°+ZAOD)X1/2,也可由圆内接

四边形的对角互补知：NC+NA=180°.而/A=ND,是等腰4OAD的两底角，从而可求出NC.两

种方法都不难求出/C=105°.

【教学说明】教师提示，学生可自主选择方法，并由学生板书解答过程，发展学生的数学符号

语言能力.

四、运用新知，深化理解

1.如图(1)所示，。。的直径AE=10cm.NB=NEAC,求AC的长.

2.如图(2)所示，AB是的直径，以AO为直径的(DC与。O的弦AD相交于点E.(1)

你认为图中有哪些相等的线段？(2)连接OE、BD.你认为OE与BD之间的关系是怎样的？

3.如图(3)所示，两圆相交于A、B两点，小圆经过大圆的圆心。，点C、D分别在两圆上，

若/ADB=100°,求NACB的度数.

【教学说明】让学生通过习题巩固本节知识点，同时体会这节常见题型及常见辅助线的作法.

在解题过程中，教师要对没有找到方法的学生进行点拨.

【答案】1.50cm

2.(1)OA=OB,AC=OC,AE=DE(2)OE=1/2BD且OE〃BD

o

五、师生互动，课堂小结

师生共同回顾本节所学的知识点有哪些？常见的辅助线有哪些？

【教学说明】学生自主交流小结，教师加以补充和点评，营造轻松愉悦的氛围.

【课后作业】

1.布置作业：从教材“习题”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.

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