高考真题与模拟训练 05 导数及其应用（解析版）

专题5导数及其应用

第一部分真题分类

一、单选题

1.(2021•全国高考真题)若过点(a,。)可以作曲线y=e'的两条切线，则()

ba

A.e<aB.e<b

C.0<a<e6D.0<b<ea

【答案】I)

【解析】在曲线y=e'上任取一点「9,")，对"函数y=e"求导得y'=e',

所以，曲线)=短在点P处的切线方程为y-d=d(x—即y=e'x+(l—f)d,

由题意可知，点(a,b)在直线_y=e'x+(l—上，可得方=£ze'+(l—f)d=(a+l-f)d,

令/(r)=(a+l-r)e，则/'«)=(a-7)e'.

当，<a时，/'。)>0,此时函数/(，)单调递增，

当/>a时，/'(。<0,此时函数/«)单调递减，

所以，“，)3=/(。)=丸

由题意可知，直线y=b与曲线>=/")的图象有两个交点，则人</(0,1ax=e",

当，<a+l时，/(r)>0,%>a+l时，/(。<0,作出函数/⑺的图象如下图所示：

1

由图可知，当ovbve"时，直线》=人与曲线>=/(，)的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线y="的图象如图所示，根据直观即可判定点(a,》)在曲线卜方和x轴上方时才可

以作出两条切线.由此可知0<b<e".

故选：D.

2.(2021•全国高考真题(理))设awO,若x=。为函数〃x)=a(x—〃兴》—3的极大值点，则

()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【解析】若a=。，则/(x)=a(x—a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故〃b.

依题意，为函数〃x)=a(x—a『(x—3的极大值点，

当"0时，由x>。,/(x)<0,画出f(x)的图象如下图所示:

由图可知Z?<a,a<0,故时>/.

2

当a＞0时，由x＞b时，/（x）＞0,画出的图象如下图所示:

由图可知b＞。，a＞0.故a。〉".

综上所述，。匕＞"成立.

故选：D

3.（2020•全国高考真题（理））若直线/与曲线广«和/+户（都相切，则/的方程为（）

A.尸2x+lB.尸21+；C.尸g-x+1D.片gx+g

【答案】D

【解析】

设直线/在曲线y=«上的切点为国）,则玉）＞0,

L，1/1

函数y=4的导数为y=而，则直线/的斜率k=可］

设直线/的方程为y一后

即x—2dx^y+x0=0,

,,1入01

由于直线/与圆厂+V=一相切，则f/-=F,

5V1+4xoV5

,1

两边平方并整理得5片一4/-1=0,解得玉＞=1,（舍），

则直线/的方程为x-2y+l=0,即y=J_x+_L.

22

故选：D.

4.（2020•全国高考真题（理））函数/。）=/-2n3的图像在点（1，/（D）处的切线方程为（）

A.y=-2x-1B.y=-2x+l

3

C.y=2x-3D.y=2x+I

【答案】B

【解析】

,.,/(x)=x4—2X3,/./,(x)=4x3—6x2,/(1)=—1,/,(l)=-2,

因此，所求切线的方程为y+l=-2(x-l),即y=-2x+l.

故选：B.

5.已知曲线,=。/+只)1%在点(l,ae)处的切线方程为y=2x+。，则()

A.a=e,h=-\B.a=e,b=1C.a=e~',b=\D.a=e^',b=-X

【答案】D

【解析】

解析：y'=ae*+lnx+l,

k=y'\x=l=ae+\=2,a=e''

将(1,1)代入y=2x+b得2+。=1*=一1,故选l).

，2

“、1—2OX+2Q,x,1,_”、c

6.已知。eR,设函数/(%)=若关于工的不等式/(x)..O在R上恒成立，则。的

x-a\nx,x>1,

取值范围为()

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[i,e]

【答案】C

【解析】

V/(0)>0,即心0,

2222

(1)当OWaWl时，f(x)=x-2ax+2a=(<x-a)+2a-a>2a-a=a(2-a)>0,

当a>l时，/(D=l>0,

故当a20时，/一2℃+2。20在(—』]上恒成立；

X

若x—alnxNO在(1,48)上恒成立，即—在(1,48)上恒成立，

Inx

4

x，/、lnx-1

令g(x)="j—，则g(x)=7^―石，

Inx(Inx)

当x>e,函数单增，当0<x<e,函数单减，

故g(x)M=g(e)=e,所以当aNO时，f一2at+2a»0在(YO,1]匕恒成立;

综上可知,a的取值范围是[0,e],

故选C.

二、填空题

2Y-1

7.(2021•全国高考真题(理))曲线y=-----在点(-L-3)处的切线方程为

x+2

【答案】5x-y+2=0

【解析】由题，当x=—l时，丁=一3,故点在曲线上.

2(x+2)-(2x-1)5

求导得：),'

(x+2)2-(x+2)?所以VL=-i=5.

故切线方程为5x-y+2=0.

故答案为：5x-y+2=0.

8.(2021•全国高考真题)函数/(x)=|2x-l|-21nx的最小值为.

【答案】1

【解析】由题设知：/。)=|2X一1|一2111%定义域为(0,+8),

.,.当0cx〈工时，f(x)-l-2x-21nx,此时/(x)单调递减；

2

19

当一时，/(x)=2x-l-21nx,有/'(尤)=2——<0,此时/(幻单调递减；

2x

2

当x>l时，f(x)=2x-\-2\nx,有/'(x)=2-->0,此时f(x)单调递增：

x

又/(X)在各分段的界点处连续，

...综上有：0<%<1时，f(x)单调递减，X>1H寸，/3)单调递增；

/(x)>/(1)=]

故答案为：1.

9.(2020•江苏高考真题)在平面直角坐标系相加中，已知P(日,0),A,8是圆G%2+(y-^)2=36±

5

的两个动点，满足PA=PB,则△为8面积的最大值是.

【答案】1075

【解析】

QPA=PB:.PCtAB

设圆心C到直线AB距离为d,则|A阴=2,36-/J尸。|=旧+；=i

所以SVPAB«1-2,36-唐(4+1)=5(36-解)3+1尸

令y=(36-/)(4+1)2(0<</<6)y'=2(d+1)(-2J2-d+36)=0:.d=4(负值舍去)

当044<4时，/>0；当4Wd<6时，V<0,因此当"=4时，》取最大值，即I.取最大值为10逐,

故答案为：10店

10.(2020•全国高考真题(文))设函数/(x)=f_.若/(1)=£,则所

x+a4

【答案】1

/、e'(x+〃)—e'+a—1)

【解析】由函数的解析式可得：/(无)=———1—=V——「，

(X+Q)(x+a)

「"八e'x(l+a-l)aeaee

则：/1=-^~L=T~M，据此可得：=

(l+a)(a+1)(a+l)4

整理可得：〃一为+1=0,解得：a=l.

故答案为：1.

11.(2020•全国高考真题(文))曲线y=lnx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为

【答案】y=2x

［解析】设切线的切点坐标为(x0,y0),y=lnx+x+l,y=-+l,

X

y'l,r='+1=2,玉)=1,%=2,所以切点坐标为(1,2),

X。

所求的切线方程为y-2=2(%-1),即y=2x.

故答案为：y=2x.

6

4

12.在平面直角坐标系xOy中，尸是曲线y=x+—（x>0）上的一个动点，则点〃到直线户片0的距离的

x

最小值是.

【答案】4.

4

【解析】当直线x+y=0平移到与曲线y=x+—相切位置时.，切点0即为点P到直线x+y=O的距离最

x

小.

由y'=1—^=—1,得x=舍）'y-3A/2,

x

即切点。（、5,30）,

IV2+3V2I

则切点0到直线x+y=0的距离为।4，

故答案为4.

三、解答题

3—2无

13.（2021•北京高考真题）已知函数/（x）=m

（1）若a=0,求y=/（x）在（1,/。））处切线方程；

（2）若函数/（X）在x=-l处取得极值，求/（x）的单调区间，以及最大值和最小值.

【答案】（1）4x+y-5=0；（2）函数/（x）的增区间为（-8,-1）、（4,”），单调递减区间为（-1,4）,

最大值为1，最小值为

4

【解析】⑴当a=0时，=则/（「J（x；3）,..*1）=1,尸⑴=-4,

•XX

此时，曲线y=/（x）在点（1,/。））处的切线方程为y—1=-4（%-1）,即4x+y—5=0；

—2

9rz2（x4-tz）—2x（3—2x）

⑵因为/（x）=等，则r（x）=-.~~272J,

x2+a（X2+<7）（x2+a）

/、2（4-〃）

由题意可得）（—1）=/八2=。，解得a=4,

（。+1）

故小）=与号_2（x+l）（x-4）

,列表如下:

厂+41+4r

7

X(-CO,-1)-1(T,4)4(4,+oo)

/'(x)+0—0+

增极大值减极小值增

所以，函数/(x)的增区间为(一8,—1)、(4,+00),单调递减区间为(-1,4).

当X<!■时，/(%)>o；当时，/(^)<o,

所以，仆)3=/(-1)=1,/(xL=/(4)=-j

14.(2021•全国高考真题)已知函数/(x)=x(lTnx).

(1)讨论〃x)的单调性；

(2)设。，匕为两个不相等的正数，S.b}na-a\nb=a-b,证明：2<'+'<e.

ab

【答案】(1)/(X)的递增区间为(0』)，递减区间为(1,+8)；(2)证明见解析.

【解析】(1)函数的定义域为(0,+力)，

又/'(x)=l-lnx-1=-lnx,

当xe(0,l)时，/(力>0,当XG(1,+OO)时,ff(x)<0,

故/(x)的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+8).

(2)因为Rna—alnb=a—)，故b(lna+l)=a(ln8+1),即""+1=八1"1,

ab

故小心}

设,二工］,'二九2，由(1)可知不妨设0<%<1，%2>1•

ab

因为(0,1)时,y(x)=x(l-lnx)>0,xG(e,+<x))HvJ,/(x)=x(l-lnx)<0,

故1<々<e.

先证：+x2>2,

8

若々22,玉+工2＞2必成立.

若修＜2,要证：玉+々＞2,即证玉＞2-々，而0＜2-/＜1,

故即证f（xJ＞/（2—%）,即证：/（马）＞/（2—电），其中1＜々＜2.

设g（x）=/（x）-/（2-x）,l＜x＜2,

则g'（x）=/'（x）+/'（2-x）=-lnx-ln（2-x）=-ln[x（2一切,

因为l＜x＜2,故0＜x（2-x）＜l,故-lnx（2-x）＞0,

所以g'（x）＞0,故g（x）在（1,2）为增函数，所以g（x）＞g⑴=0,

故/（力＞/（2-x）,即/'（电）＞“2-％2）成立,所以西+%＞2成立,

综上，玉+々＞2成立.

设W=/，则/>1,

结合------=------，_=玉,7=工2可得：Jq(l-lnx1)=x2(l-lnx,),

abab

ar,11/,,,\,/—I—/If!/

即：1-ln玉=t(l-Inf-In%]),故lnX]=---------,

要证：x,+x2<e,即证(r+l)%<e,即证ln(r+l)+lnX]<1,

即证：ln(f+l)+‘T一"n’<1,即证：(r-l)ln(r+l)-rlnr<0,

令s(7)=(f—l)ln(f+l)—八nr,/>l,

则S()=ln(f+l)+*—l_lnf=ln(l+；J_g,

先证明一个不等式：ln(x+l)4x.

设〃(x)=ln(x+l)-x,则/(x)=-1=-,

当-IvxvO时，wr(x)>0；当天>0时，M(x)vO,

故“(X)在(一1,0)上为增函数，在(0,+8)上为减函数，故〃(可皿=4(0)=0,

故ln(x+l)(x成立

9

由上述不等式可得当f>l时，故S'(f)<0恒成立,

故5(。在(1,+8)上为减函数，故S(f)<S(l)=0,

故-l)ln(r+l)-rlnt<0成立，即西+々<e成立.

综上所述，2<L+」<e.

ab

15.(2021•全国高考真题(文))设函数/(x)=/无2+ox-31nx+l,其中q>0.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若y=/(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围.

【答案】⑴/(x)的减区间为增区间为(：,+8)；(2)

【解析】(1)函数的定义域为(0,+纺)，

又小)=(26+3)3-1),

X

因为Q>0,x>0,故2依+3>0,

当o<x<L时，/(幻<0：当时，r(x)>o;

aa

所以/(x)的减区间为(o,J,增区间为+8.

(2)因为/(1)=4+。+1>0且y=/(x)的图与X轴没有公共点，

所以>=/(力的图象在％轴的上方，

由(1)中函数的单调性可得/(x)ms=/(B)=3_31n：=3+31na,

故3+31na>0即a>-.

e

16.(2021•浙江高考真题)设a,。为实数，且a>l,函数/(x)=a'-bx+e2(xeR)

(1)求函数/(x)的单调区间；

10

(2)若对任意b>2e2,函数/(X)有两个不同的零点，求a的取值范围;

blnbe2

(3)当a=e时，证明：对任意。〉函数/(x)有两个不同的零点占多满足x

22e21b

(注：e=2.71828…是自然对数的底数)

【答案】(1)人〈0时，/(x)在R上单调递增；b>0时，函数的单调减区间为-8,log“单调增

b2

区间为----,+8(2)(l,e];(3)证明见解析.

1na

【解析】(1)/(%)=ax—bx+e2,f(x)-a'\na-b,

①若匕WO,则f(x)=a，lna—820,所以/(©在R上单调递增;

②若b>0.

当XG，00,10g“白，时，/'(X)<OJ(X)单调递减，

当xe[og“t^,+8)时，/'(x)>0,/(x)单调递墙

综上可得，AW0时，f(x)在R上单调递增；

匕>0时，函数的单调减区间为log“,单调增区间为(log“3，+81

卜InaJVInaJ

⑵/(x)有2个不同零点=优-bx+e2=0有2个不同解=e"n。一版+e?=0有2个不同的解,

令f=xlna,则e'--—+e2=0=>-^―-e+e-,/>0.

InaInat

.e'+e2..e，+e2^^(r-l)-e2

1Lg(f)=-----,g(0=———-=-----

trr

记/?(/)=el(t—1)—e2(/)=e'(t—1)+el-I=e1-t>0,

又再⑵=0,所以，£(0,2)时，h(t)<0,fw(2,+oo)时，h(t)>0,

bb

则g«)在(0,2)单调递减，(2,+oo)单调递增，.，.；一>g(2)=e\:.\na<—9

inae

•：/7>2e2,>2,/.In(7<2=>1<a<e2.

11

即实数a的取值范围是(I4?].

闭。=仇/(》)=俄—Zzx+e?有2个不同零点，则e*+e2=bx，故函数的零点一定为正数.

由(2)可知有2个不同零点，记较大者为々，较小者为西，

x1x2

,e'+ee-+e4

b=-------=------->e,

X|x2

注意到函数y=在区间(0,2)上单调递减，在区间(2,+8)上单调递增，

X

故玉<2<%，又由f5ve知>>5,

v,

7e+e22e22e2

h--------<----%|<-------,

%x]b

b\nber„,e~

要uEX-,>2,-“I+，八帝马>In人+>

22ex-/

b=----+-e--<——且关于b的函数g仿)=ln/?+幺在0〉e4上单调递增，

7

x2x2b

2

2e'2ex

所以只需证%>In—+5^(x2>5)，

2ex-e2x

只需证ln/2-lne——衿〉0，

x

x22e-

2

只需证Inx-J^-ln2〉0,

2ex

J4x

*/一<4，只需证人(x)=lnx-----ln2在x>5时为正，

2e

山Th(x)=—+4xe~x-4e~x=~+4e-v(x-l)>0,故函数〃(％)单调递增，

xx

又〃(5)=ln5-与一ln2=ln*-工>0,故//(x)=lnx—尊一ln2在x>5时为正，

e~2ee

从而题中的不等式得证.

17.(2021•全国高考真题(理))已知a>0且a#l,函数/(x)=m(x>0).

12

(1)当a=2时，求/(x)的单调区间;

(2)若曲线>=/(%)与直线y=l有且仅有两个交点，求a的取值范围.

总+8上单调递减;

【答案】(1)o,A上单调递增;(2)(l,e)u(e,+oo).

22

.z、x„,、2x^2'-x^2'ln2x♦2*(2-xln2)

【解析】(1)当a=2时，〃刈=9，/(%z)=---------二飞-------=-------p---------,

2(2r)4

令r(x)=o得》=三，当o<x<二时，r(x)>0,当%>心_时，r(x)<0,

...函数〃x)在(0,白上单调递增;一,+00］上单调递减;

m2)

(2)=二=1。a*=x"oxlna=alnxo,设函数g(x)=—

axxax

则g'(x)=1［；*，令g'(x)=。,得x=e,

在(O,e)内$(x)>0,g(x)单调递增;

在(e,+oo)上g'(x)<0,g(x)单调递减;

•■•g(x)3=g(e)=：，

又g(l)=0,当x趋近于内时，g(x)趋近于0,

所以曲线y=/(%)与直线y=1有且仅有两个交点，即曲线y=g(x)与直线y=含有两个交点的充分

必要条件是0〈叱〈!，这即是0<g(a)<g(e),

ae

所以。的取值范围是(l,e)u(e,+8).

18.(2021•全国高考真题(理))设函数〃x)=ln(a-x),已知x=0是函数>=4(力的极值点.

(1)求a；

/、x+/(x)

(2)设函数g(x)=—证明：g(x)<l.

xf(x)

【答案】1；证明见详解

1Y

【解析】(1)由/(x)=ln(a-x)n/'(x)=------.y=V(x)=y'=ln(a-x)+-------

x-cix-a

13

又x=0是函数y=4(x)的极值点，所以>'(O)=lna=O,解得a=l；

%+/(%)_x+ln(l-%)

(2)由⑴得/(x)=ln(l-x),g(x)=x<1目.x。0,

#U)xln(l-x)

当xe(0,l)时，要证g(x)="：U?<1，1.-x>0,ln(l-x)<0,.-.xln(l-x)<0,即证

xln(l-xj

x4-ln(l-x)>xln(l-x),化简得x+(l-x)ln(l-力>0；

同理，当X€(-8,0)时，要证g(x)=="1l~?<1，1>•x<0,In(l-x)>0,.-.xln(l-x)<0,即证

xln(l-x)

x+In(1-x)>xln(1-x),化简得x+(17)ln(17)>0；

令/2(x)=x+(l-x)ln(l-x),再令f=则fG(0,1)U(1,+°°)，X=1V，

令g(/)=lT+〃n/,^*(r)=-l+lnr+l=lnr,

当f«0,l)时,g'(x)<0,g(x)单减,假设g⑴能取到，则g⑴=0,故g(f)>g⑴=0；

当，«1,+0。)时，g'(x)>0,g(x)单增，假设g(l)能取到，则g⑴=0,故g(f)>g(l)=0；

x+ln(l—x)

综上所述，g(x)=<1在xe(F,0)U(0,l)恒成立

xln(l-x)

19.(2021•全国高考真题(理))已知抛物线。：彳2=2〃>，(。>0)的焦点为尸，且尸与圆

M:/+。+4)2=1上点的距离的最小值为4.

(1)求P；

(2)若点P在M上，是。的两条切线，A8是切点，求△PA8面积的最大值.

【答案】(1)〃=2；(2)2075.

【解析】⑴抛物线C的焦点为尸卜),名，|厂闸=勺4,

所以，F与圆〃：/+。+4)2=1上点的距离的最小值为5+4—1=4,解得p=2；

2无

(2)抛物线。的方程为V=4y,即y=、r，对该函数求导得y'=],

14

设点4aM、8（冷必）、尸（%,为），

直线Q4的方程为=5（》_玉），即）=:_乂，即毛工_2乂-2y=0,

同理可知，直线PB的方程为％2%一2%一2丁=0,

石』一2%-2%=0

由于点。为这两条直线的公共点，贝川

色一2%—2%=0'

所以，点A、8的坐标满足方程/工一2丁一2%=0,

所以，直线A3的方程为x0x-2丁-2%=0，

x0x-2j-23,'0=0

联立，x2＞可得厂—2x0x+4%=0,

由韦达定理可得埋+%=2%,中2=4%,

.J4x；_16%=J（、+4）（x：-4%）

所以，5皿=扣用."=：#；+4）（片一4%）."；z—oL：

，，\Jx。+4，

•.•只一4%=1-（%+4-4%=-/一12%-15=-（％+6）2+21,

1£

由已知可得一54%4-3,所以，当为=-5时，的面积取最大值一x2（）3=20j?.

2

20.（2020•全国高考真题（理））设函数/*）=/+云+°,曲线y=/（x）在点（J,f（g））处的切线

与y轴垂直.

（1）求b.

（2）若/（幻有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1.

3

【答案】（1）匕=一二；（2）证明见解析

【解析】（1）因为/3=3/+人

15

,i(iY

由题意，/(-)=0,BP3x-+b=0

2121

则力=-2；

4

3

(2)由(1)可得/(x)=x3--x+c,

4

9311

/(X)=3X2--=3(X+-)(X--),

令f(x)>0,得x>g或x<—g；令f(x)<0,得—g<x<g,

所以/(©在(—J,')上单调递减，在(TO,-')，(L+8)上单调递增，

2222

且/(—=c—(-g)=c+；J(；)=c—；,"l)=c+；,

若/(x)所有零点中存在一个绝对值大于1的零点X。,则f(―1)>0或/(I)<0,

即c>工或c<.

44

当c>；时，/(-l)=c-l>0,/(-1)=c+l>0,/(i)=c-^>0,/(l)=c+i>0,

又/(-4c)=-64?+3c+c=4c(l-16c2)<0,

由零点存在性定理知/W在(-4c,-1)上存在唯一一个零点x°,

即/(x)在(-8,-1)上存在唯一一个零点，在(-1,-KO)上不存在零点，

此时Ax)不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

当c<_；时，/(-l)=c-^<0,/(-1)=c+l<0,/(1)=c-^<0,/(l)=c+^<0,

又/(-4c)=64c3+3c+c=4C(1-16C2)>0,

由零点存在性定理知fM在(l,-4c)上存在唯一一个零点4',

即/(X)在(1,+8)上存在唯一一个零点，在(F,1)上不存在零点，

此时/(x)不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

综上，/(幻所有零点的绝对值都不大于1.

21.(2020•全国高考真题(文))已知函数/*)=*3-履+42.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若f(x)有三个零点，求上的取值范围.

16

4

【答案】(1)详见解析；(2)(0,—).

27

【解析】(1)由题，f'(x)=3x2-k,

当左40时，f(x)N0恒成立，所以/0)在(7,+8)上单调递增;

当左＞0时，令f(x)=0.得x=±g,令八x)＜0,得一Jg■〈尤＜g

■|或x>J|,所以f(x)作(-J1,

令f(x)>0,得x<—上单调递减，在

3

(-oo,-^k|),(J|,+°o)上单调递增.

〃一曲＞0

(2)由(1)知，/(幻有三个零点，则女＞0,且《

心。

,2k

k2H—k.—>0

3V34

即《，解得0<Z<—»

k2--2kJ-<027

33

当。〈女＜&时，4＞|,且/(«)=公〉0,

27

所以/⑴在上有唯•一个零点,

同理一左一1＜一,/(_1)=_/_/+])2<0

所以fW在(一女上有唯一一个零点,

又,在(-百

上有唯一一个零点，所以f(x)有三个零点,

4

综上可知k的取值范围为(0,—).

22.(2020•全国高考真题(理))已知函数/。)=^+0?一心

17

(1)当a=l时，讨论f(x)的单调性;

(2)当xNO时，F(x)—x+1,求a的取值范围.

2

【答案】⑴当XG(T，O,0)时，/'(x)<O,/(x)单调递减，当xe(O,+8)时，尸(x)>OJ(x)单调递

「7-)

增.(2)-------,+oo

L4)

【解析】⑴当4=1时:/(x)=e"+f-x,f\x)=e'+2x-\,

由于1r(x)=e*+2>0,故/(x)单调递增，注意到/'(0)=0,故:

当xc(y,0)时，r(x)<OJ(x)单调递减,

当x«o,+oo)时，r(%)>oj。)单调递增.

(2)由/(x)25d+［得，e*+cix2,-x..%3+1,其中X之0,

①.当尸0时，不等式为：121，显然成立，符合题意；

②.当x〉0时，分离参数a得，02，

Cl...-----------Z----------------

X

x3

e-^x-x-l(x-2)ex--X2-x-l

2

()--------，g'(x)=-----------

gx=-------、x3

令/?(x)=ex-x-l(x>0),

则=-x-l,/z"(x)=e'-120,

故〃'(1)单调递增，⑼=0,

故函数〃(x)单调递增,/i(x)>/2(0)=0,

由〃(之()“『得：e"—］厂一x—1..0怛成立，

故当xw(O,2)时，g«x)>0,g(x)单调递增;

当xe(2,4o。)时，<0,g(x)单调递减;

L/-I7-4

因此’[g(x)L=g(2)=T

18

7-e2)

综上可得，实数a的取值范围是――,+co.

L4J

23.(2020•全国高考真题(理))已知函数/"(xhsidxsinZx.

(1)讨论f(x)在区间(0,万)的单调性；

(2)证明：I”小述;

3”

(3)设〃匕怫，证明：sin'xsin为xsin2^・・sin22"^^—.

4〃

(jr27r।

【答案】⑴当附,/(x)>O,/(x)单调递增，当时，/'(x)<OJ(x)单调

2%

递减，当XE时，_f(x)>O,/(x)单调递增.(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】(1)由函数的解析式可得：/(x)=2sin3xcosx,则：

,(x)=2(3sin2xcos2x-sin4x)=2sin2x(3cos2x-sin2x)

=2sin2x(4cos2x-1j=2sin2x(2cosx4-1)(2cosx-1),

r(x)=O在xe(O,»)上的根为：玉=5，%=^,

当时，尸(x)>O,/(x)单调递增，

当xG时，/'(X)单调递减，

当X€(茅万)时，/'(X)>。J(x)单调递增.

(2)注意到〃%+乃)=sin?(x+7r)sin[2(x+»)]=sin2xsin2x=/(x),

故函数〃x)是周期为4的函数，

结合(1)的结论，计算可得：/(())=/(7)=0,

19

据此可得：［〃X)L=¥，［〃切『¥

叩(小子.

⑶结合(2)的结论有：

sin2xsin22xsin24x---sin22nx

2

=[sin?xsin32xsin34x・・・sin，2"x]§

2

=^sinx(sin2xsin2x)卜in?2xsin4x)…卜in?2,,_1xsin2Mx)sin2Tl

2

二.3733>/33百.2°〃下

Ksinxx------x-------x•••x------xsin2x

888

2

第二部分模拟训练

一、单选题

1.已知函数/(x)=处-a,g(x)=3(lnx—),若方程/(x)=g(x)有2不同的实数解，则实数a的

xInx

取值范围是()

A.(-00,e)B.(0,-)C.(-8,0)u(e,+oo)D.(e,+8)

e

【答案】B

【解析】由/(x)=g(x)得皿一a=3(lnxf),去分母整理得(Inx-3x)(lnx—分)=0有2不同的实

xInx

InxInX

数解，所以Inx—3x=0或Inx—以=0,所以一=3或——=a,

xx

设〃。)=也"〉0)所以1(工)=上及，当o<x<e时，〃'(x)>o,函数//(x)单调递增，当X>e时,

XX

/(元)vo,函数的。)单调递减.

所以〃(X)max=〃(e)=,<3,所以处=3没有实数解•

ex

Inx

所以方程上一二Q有两个不同的实数解.纵1)=。

X

当x->0时，h(x)<0；当x—时，h(x)>0

20

X

故选：B

2.已知/(x)是定义在(-«>,+«))上的函数，/'(x)为的导函数，且满足/(x)+(x-l)r(x)>0,

则下列结论中正确的是()

A.〃力>0恒成立B./(x)<0恒成立

C./(1)=0D.当尤/)时，/(x)<0；当xe(l,+oo)时，/(x)>0

【答案】A

【解析】设g(x)=(x-l)f(x),所以g'(x)=/(x)+(xT)/'(x)>0,所以函数g(x)在R上单调递增，乂因

为g⑴