新高考数学一轮复习讲义+分层练习 1.2《命题及其关系、充分条件与必要条件、全称量词与存在量词》 (原卷版)

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件、全称量词与存在量词1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.4.理解全称量词和存在量词的意义.5.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且qp4.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.5.全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，﹁p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，﹁p(x)eq\o([常用结论])1.在四种形式的命题中，真命题的个数只能为0,2,4.2.p是q的充分不必要条件，等价于﹁q是﹁p的充分不必要条件.其他情况依次类推.3.集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，p是q的充分不必要条件⇔AB；p是q的必要不充分条件⇔AB；p是q的充要条件⇔A＝B.4.含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x﹣3<0”是命题.()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”.()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.()(5)“全等的三角形面积相等”是全称命题.()二、教材改编1.下列命题是真命题的是()A.矩形的对角线相等B.若a＞b，c＞d，则ac＞bdC.若整数a是素数，则a是奇数D.命题“若x2＞0,则x＞1”的逆否命题2.命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是()A.“若x＜y，则x2＜y2”B.“若x＞y，则x2＞y2”C.“若x≤y，则x2≤y2”D.“若x≥y，则x2≥y2”3.“(x﹣1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是()A.∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0≤0B.∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＜0C.∀x∈R，x2＋x≤0D.∀x∈R，x2＋x＜05.下列命题中的假命题是()A.∃x0∈R，lgx0＝1B.∃x0∈R，sinx0＝0C.∀x∈R，x3＞0D.∀x∈R,2x＞06.命题“若α＝eq\f(π,3)，则sinα＝eq\f(\r(3),2)”的逆命题为________命题，否命题为________命题.(填真或假)考点1命题及其关系判断命题真假的2种方法(1)直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.(2)间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.1.下列命题是真命题的是()A.若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，则x＝yB.若x2＝1，则x＝1C.若x＝y，则eq\r(x)＝eq\r(y)D.若x＜y，则x2＜y22.下列命题中的真命题是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m＞0，则x2＋x﹣m＝0有实根”的逆否命题；④“若x＝30.5，则x是无理数”的逆否命题.A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④3.已知命题α：如果x＜3，那么x＜5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的有________.(填序号)①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题.4.设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x﹣m＝0有实根”的逆否命题是________.四种命题的3个处理技巧(1)要分清原命题的条件与结论.当原命题有大前提时，它的其他三种命题要保持大前提不变，只需改变小前提和结论.如T4.(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.(3)判断一个命题是真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题可举反例.考点2充分、必要条件的判定充分条件和必要条件的3种判断方法(1)定义法：可按照以下三个步骤进行①确定条件p是什么，结论q是什么；②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；③确定条件p和结论q的关系.(2)等价转化法：对于含否定形式的命题，如﹁p是﹁q的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件.(3)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.(1)设a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)设x∈R，则“x2﹣5x＜0”是“|x﹣1|＜1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(3)设点A，B，C不共线，则“eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(AC,\s\up8(→))的夹角为锐角”是“|eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))|＞|eq\o(BC,\s\up8(→))|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[逆向问题]“不等式x2﹣x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()A.m＞eq\f(1,4)B.0＜m＜1C.m＞0D.m＞1判断充要条件需注意3点(1)要分清条件与结论分别是什么.(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断.(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明.1.已知x∈R，则“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的()A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件2.给定两个命题p，q，若﹁p是q的必要不充分条件，则p是﹁q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的()A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件考点3充分条件、必要条件的应用根据充要条件求参数值(或范围)的方法是先把充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合的关系列出关于参数的不等式(组)求解.已知P＝{x|x2﹣8x﹣20≤0}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________.[母题探究]把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m的取值范围.利用充要条件求参数的2个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍.提醒：含有参数的问题，要注意分类讨论.设n∈N*，则一元二次方程x2﹣4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝_______.考点4全称命题、特称命题(1)全称命题与特称命题的否定①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写.②否定结论：对原命题的结论进行否定.(2)全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假全称命题、特称命题的否定(1)命题“∀x＞0，eq\f(x,x－1)＞0”的否定是()A.∃x＜0，eq\f(x,x－1)≤0B.∃x＞0,0≤x≤1C.∀x＞0，eq\f(x,x－1)≤0D.∀x＜0,0≤x≤1(2)已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x﹣mx是增函数，则﹁p为()A.∃m∈R，f(x)＝2x﹣mx是减函数B.∀m∈R，f(x)＝2x﹣mx是减函数C.∃m∈R，f(x)＝2x﹣mx不是增函数D.∀m∈R，f(x)＝2x﹣mx不是增函数全(特)称命题的否定方法：∀x∈M，p(x)∃x0∈M，﹁p(x0)，简记：改量词，否结论.全称命题、特称命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是()A.∀x∈R，x2≥0B.∀x∈R,2x﹣1＞0C.∃x0∈R，lgx0＜1D.∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2因为命题p与﹁p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假.1.命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A.∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞nB.∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞nC.∃x0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0D.∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n02.已知命题p：∃x0∈(0，eq\f(π,2))，使得cosx0≤x0，则﹁p为________，是________命题(填“真”或“假”).考点5含有逻辑联结词的命题的真假判断判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤(1)判断复合命题的结构.(2)判断构成复合命题的每个简单命题的真假.(3)依据“‘或’：一真即真；‘且’：一假即假；‘非’：真假相反”作出判断即可.含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(﹁p)∧(﹁q)假.(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(﹁p)∧(﹁q)真.(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(﹁p)∨(﹁q)假.(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(﹁p)∨(﹁q)真.(5)﹁p真⇔p假；﹁p假⇔p真.根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题可转化为存在性问题.(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决.已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝(eq\f(1,2))x﹣m，若对∀x1∈解析：[0,3]，∃x2∈解析：[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是()A.解析：[eq\f(1,4),+∞)B.解析：[eq\f(1,2),+∞)C.(-∞,eq\f(1,4)]D.(-∞,-eq\f(1,2)]命题及其关系、充分条件与必要条件、全称量词与存在量词一、选择题1.已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定2.原命题“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A.0B.1C.2D.43.设x∈R，则“2﹣x≥0”是“(x﹣1)2≤1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设x∈R，则“|x﹣eq\f(1,2)|＜eq\f(1,2)”是“x3＜1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.有下列命题：①“若x＋y＞0，则x＞0且y＞0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m＞1，则mx2﹣2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题.其中为真命题的是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①④6.下列说法正确的是()A.命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”B.“x＝﹣1”是“x2﹣x﹣2＝0”的必要不充分条件C.命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题是真命题D.“tanx＝1”是“x＝eq\f(π,4)”的充分不必要条件7.若x＞2m2﹣3是﹣1＜x＜4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是()A.解析：[﹣3,3]B.(﹣∞，﹣3]∪解析：[3，＋∞)C.(﹣∞，﹣1]∪解析：[1，＋∞)D.解析：[﹣1,1]8.已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则()A.p是假命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B.p是假命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0C.p是真命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D.p是真命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞09.已知5有四个关于三角函数的命题：P1：∃x∈R，sinx＋cosx＝2；P2：∃x∈R，sin2x＝sinx；P3：∀x∈解析：[-eq\f(π,2),eq\f(π,2)]，eq\r(\f(1＋cos2x,2))＝cosx；P4：∀x∈(0，π)，sinx＞cosx.其中真命题是()A.P1，P4B.P2，P3C.P3，P4D.P2，P410.若命题“∃x0∈R，使得3xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是()A.[﹣eq\r(3)，eq\r(3)]B.(﹣∞，﹣eq\r(3)]∪[eq\r(3)，＋∞)C.(﹣∞，﹣eq\r(3)]D.[eq\r(3)，＋∞)二、填空题11.在△ABC中，“A＝B”是“tanA＝tanB”的________条件.12.设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)13.直线x﹣y﹣k＝0与圆(x﹣1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.14.若∃x0∈解析：[eq\f(1,2),2]，使得2xeq\o\al(2,0)﹣λx0＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________.1.设a，b均为单位向量，则“|a﹣3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(