高一数学公式大全

1.元素与集合的关系

XG4。K屯CAxwx隼A

V,・

2.德摩根公式

4(X1研=C/AC溶G(XA0=CuAr\CuB

3.包含关系

A(\B=/O/AB=EC4aBoCOB^CVA

cA^\CVB=®oCUAJHH=R

4.容斥原理

card(AAB)=cardA+cardB-card(AC\B)

G=atftAi-+MHdC-朝

-c，4(4n切-c・4(bnO-<*rd(cn⑷+<ard(xnBC\C)

5.集合M，,，…，，｝的子集个数共有2a个；真子集有2"-1个；非空子集

有2a-1个；非空的真子集有2a-2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式打")=**'+6x+cfa*o);

⑵顶点式江©■蛇-»+欧&*。)；

(3)零点式式分="*-々X*-，)(,*0)

7.解连不等式"V式幻〈"常有以下转化形式

N<必力<Me

c22cM-

11

of⑶-NM-N

8.方程六百二0在g,与)上有且只有一个实根,与六与)f(与)<°不等价，前者

是后者的一个必要而不是充分条件.特别地，方程也？+加+c・0Q*0)有且只有一

上〈一士<占+.

个实根在3,与)内，等价于g)g)<°,或贴)=°且2a2，或

4+与b

六与)=。且一1"“一万

9.闭区间上的二次函数的最值

b_

二次函数式£）——+版+攻*'*0）在闭区间口，用上的最值只能在*="五处及

区间的两端点处取得，具体如下：

x=---[p，q]

（1）当a>0时，若2&*'」，则

式均a=,（-?）,式勾―=0｛式⑼，/1（«）｝

江刘3=3｛北Pk负0）｝,北©修=皿｛或「），£（◎｝.

⑵当a<0时，若“"甚‘山®,则"心=面£气原"明，若

X=~^t[p，g\则"幻"=max｛71（□）,/：（/｝式幻修=面11｛式口），式0）｝

10.一元二次方程的实根分布

依据：若"回%0<0,则方程式©=°在区间（皿功内至少有一个实根.

设式幻=马+声+g,则

（1）方程式刀二°在区间（犯也）内有根的充要条件为其团=。或

0

-->m

2；

（2）方程式刀二°在区间5⑷内有根的充要条件为“山）式功<°或

，式MA0

武力）>0

<，-4q20

团<丁"或[侬>。或19>0；

（3）方程六刀二°在区间（-孙幻内有根的充要条件为六㈤<°或

4gzo

--<m

I2

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

⑴在给定区间（-W5）的子区间上（形如L。],（-8，。],b，2）不同）上

含参数的二次不等式式寓。2°”为参数）恒成立的充要条件是/（x,O_aO（xtfZ）

（2）在给定区间（2，《°）的子区间上含参数的二次不等式式昌。Z°”为参数）

恒成立的充要条件是式<0（"玲.

g。

，ANor«<0

（3）/©=++以2+00恒成立的充要条件是3>0或1〃_4刖<0.

12.真值表

Pq非PP或qp且q

真假真真

真il'z假真假

假真真真假

假1设真假假

13.常见结论的否定形式

原结论反设词原结论反设词

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有n个至多有（n-l）

个

小于不小于至多有“个至少有（n+1）

个

对所有X,存在某*,，或0U且F

成立不成立

对任何X,存在某X,p且q”或F

不成立成立

14.四种命题的相互关系

原命题互逆逆命题

若P则q若q则P

互互

互为为互

否否

逆逆

否否

否命题逆否命题

若非P则非q互逆若非q则非P

15.充要条件

（1）充分条件：若p=g,则P是g充分条件.

（2）必要条件：若g=#,则P是g必要条件.

（3）充要条件：若p=g,且g=>#,则，是g充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

16.函数的单调性

⑴设外•/60，以为#!那么

式巳）一式已）A。。式x）在［司司

（4-/）［式幻-武动］>。0鼻上是增函数;

式马）一式圣J<0。双均在［时可

a-%）［爪始-£（巧）卜「=上是减函数.

（2）设函数,.其蜀在某个区间内可导，如果£（WAO,则外2为增函数；如

果F（N）V。，则打©为减函数.

17.如果函数六旬和双*都是减函数,则在公共定义域内，和函数式刀+S（功也

是减函数；如果函数式。）和。二双与在其对应的定义域上都是减函数，则复合

函数旺氟切是增函数.

18.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个

函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴

对称，那么这个函数是偶函数.

19.若函数y■式不是偶函数，则*X+&）=/（-，-a）；若函数式x+&）是

偶函数，则*A-x+«）.

20.对于函数V式©（*wK）,江*+*）=n〜-幻恒成立，则函数式©的对称

£+b_8+b

x=—「两个函数式与27的图象关于直线"*丁"

轴是函数x+H）

对称.

（―°）

21.若式与=-n-*+&）,则函数式幻的图象关于点2'J对称；若

n©=-n*+A）,则函数尸■武力为周期为28的周期函数.

22.多项式函数/为=%/+#，16'+…+%的奇偶性

多项式函数P（目是奇函数CN勾的偶次项（即奇数项）的系数全为零.

多项式函数网切是偶函数cP（©的奇次项（即偶数项）的系数全为零.

23.函数式幻的图象的对称性

（1）函数式刀的图象关于直线*=3对称on&+©=

O式20-力=/力

一+b

（2）函数V式幻的图象关于直线*"丁"对称=式&+皿）=flb-nvi）

=代3+6-2»力=寅AMT）

24.两个函数图象的对称性

(1)函数式力与函数了二/一刀的图象关于直线*=。(即y轴)对称.

a+b

(2)函数y二其血-4)与函数式人闻的图象关于直线*对称.

(3)函数武不和尸’(幻的图象关于直线y二x对称.

25.若将函数式处的图象右移，、上移b个单位，得到函数了=其，-*)+»

的图象；若将曲线式用力二°的图象右移■、上移b个单位，得到曲线

n*-。，六切=0的图象.

26.互为反函数的两个函数的关系

式-1(与・8

4［尸⑸-切

27.若函数y=8h+b)存在反函数，则其反函数为k，并不是

W［尸(ix+A),而函数”［尸出+A)是%*耳一切的反函数.

28.几个常见的函数方程

(D正比例函数人力-。，*"+/=A*)+nanD=c

(2)指数函数式力■/，/x)式力武D=awO.

(3)对数函数/勾=l°g,"，*初=—+人力式A)=l(a>Q,awl)

⑷累函数式x)・/,其砌•武力武力-a

(5)余弦函数*")=8。，正弦函数仪8=sin”,

f{x-另■*®+双心双。，

z°x

29.几个函数方程的周期(约定a>0)

(1)北通=n"+叫，则式4的周期T=a；

(2)式力=式*+»)=0,

f(x+

或公)，

皿、1

/Yx+8)----------

或负力(式力wO),

-+产⑺=久*+4),(式&E［0,1］)〃>

或2丫\'L",则式©的周期T=2a；

门力-1---------------0)

(3)/*+&)，则其刀的周期T=3a；

式4)+3

久玉+^)=7

(4)1-式幻式马)且①)=1卬£).f(4)#L0v|4-、k2s)则

式总的周期T=4a；

(5)式包+4”+0+4*+2a)f(x+3d)+4*+甸

-“©”*+*)4,20武”+34)我*+40)贝ij式近的周期T=5a；

(6)式工+*)=式&--*+，),则K6的周期T=6a.

30.分数指数累

(1)旧(8>0.皿ueM,且n>l)

金1

(2)a*(8>。.圾ueM,且0>1).

31.根式的性质

(1)前),・*.

(2)当工为奇数时，行=&；

打小1=广心*

当n为偶数时，卜典$<0.

32.有理指数幕的运算性质

(1)，♦/=&'"(a〉0""wQ).

⑵(*‘)'"a"(«>0,r,se(?)

(3)(*与'-/yQA0.bA0.re(?)

注：若a>0,p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数.上述有理指数募

的运算性质，对于无理数指数幕都适用.

33.指数式与对数式的互化式

log,N=Aoa*=N(a>0,a#1,N>0)

34.对数的换底公式

logN

log,N=•加一

(&>0,且awl,m>0,且mwl,N>0).

log-if=-log.b公

推论1sLffi(。>0,且4>l,gn>°,且NAO).

35.对数的四则运算法则

若a>0,aWl,M>0,N>0,则

⑴log.(JWN)=log,M+log,N.

M

=log,M-log,N

⑵~N

(3)log.M'=ulog,M(nwR)

36.设函数六©=四、取+cX&wQ),记A="-4的.若北©的定义域为

K,则。>。，且A<0；若K©的值域为K,则。〉Q,且A20.对于4=。的情形，需

要单独检验.

37.对数换底不等式及其推广

若g>。，a>o,*>o,**；,则函数歹=1%&幻

⑴当”b时,在e7和牛+8)上片53)为增函数.

,⑵当。V5时,在(°:)和(h8)上y=lng„(M为减函数.

推论:设户>0,。>0,且#wl,则

(Dbg3Kli+_p)vk>”

,m+n

log.mlog.n<log.-------

(2)2.

38.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N,平均增长率为P,则对于时间x的总产值,，有

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

耳.n-1

・[4-J，n22(数列｛々｝的前0项的和为％=,+%+—+■・).

40.等差数列的通项公式

aa=%+(n-l)d=dn+a,-d(weV).

其前n项和公式为

3+/)a(a-l).

8n=*■=224]+-------------G

22

+(马-加n

41.等比数列的通项公式

4=4六=-g"(asV)

q;

其前n项的和公式为

&=<L-q

—:------>«**

%=<i-g

或〔叫,g・l

42.等比差数列MJ：=/q*°）的通项公式为

6+(a-l)d,^=l

M+(«f-为--d,

---------；-------，q/1

9-1

其前n项和公式为

'抽+&(A-l)d,(q=1)

i-q

43.分期付款（按揭贷款）

_砍1+-

每次还款一。+力'-1元（贷款♦元,n次还清，每期利率为8）.

44.常见三角不等式

⑴若*"岭,

则向*<x<tan*.

（2）若*'""2）,则lcinx+8sxM4.

（3）|simr|+|cosx|^l

45.同角三角函数的基本关系式

血“Q+cosa6=1,tan,二cose,tan^*cot6=1.

46.正弦、余弦的诱导公式

（n为偶数）

（n为奇数）

(-1)1gin%

疝（亭+Q）

所1

2

(-1)cosa9

（n为偶数）

（n为奇数）

a)=«Al

［（-1产皿即

47.和角与差角公式

sin(a±P)-fiinacosfl±cosasinp.

cos(a±^)=(x>sacos^7siiiasiii/7.

.八tana±tan/

tan(a±').------------------

耳tanatanA

»in(a+Bin(a--sin2a-sin2(平方正弦公式)；

cos(a+A)COBQ-jff)-cos2a-sin2p

aBina+6cosa=J，+从8in(a+，)(辅助角P所在象限由点的象限决

b

tan歹=一

定，。).

48.二倍角公式

sin2a=smacosa.

ow2o■ao^ff-■fBla■2OM'・T・1-2B1B:I，

.2tana

tan2a=-------：-

1-t&n2a.

49.三倍角公式

*30-3ate0-4ata,9-4ria*i«j-0)iMj+«)

0”■节i—:*jw.u■♦一n•一，

50.三角函数的周期公式

函数尸=而3"#,XGR及函数xGR(A,3j为常数，且

2rv

A#o,3>0)的周期'=T；函数y=tanS*+#,"后+亍**/(A,3,P为

常数，月.AWO,3>0)的周期二.

51.正弦定理

abc

-------=-------=---------2R

sinAHinBsinC

52.余弦定理

d="+--2bcconA,

d2=，+8'-2«»cogB；

c1=a2+t^-2abcosC.

53.面积定理

。1-1,

S=-Q.=-P2L=-ci▲x工

(1)2'2r2T(4、4、4分别表示a、b、c边上的高).

S=—«hBinC=—ftcsinA=—CKtinB

(2)222

小=1V(IOA\-\OB^-(OAOB)1

(3)2.

54.三角形内角和定理

在AABC中，有4+E+C="=C"-(4•均

C环A+B

°T=7―一2~«2C=2K-2(A+B)

55.简单的三角方程的通解

dnx-«c»*-Jhr.(-I)*BrMiii.(±G弱

cos*=8o*=2h±arcco§0(上eZ|1).

tanx=anJbr+arctanZ,awR)

特别地,有

sina-sin^oa■jbr+(-l)*#(geZ)

cosa=cos*oa=2ix±g(keZ)

tana=tan/Jna=辰+g(kwZ)

56.最简单的三角不等式及其解集

占工・«■,1)一0

OMX^aj|Kl>o"@fe+mfl4幺~+2*-atMM・％AJF

-X>«(“，s»*■(A-1■&4»♦二^±■/

—JQn”(Ar4*・Z

2

57.实数与向量的积的运算律

设入、口为实数，那么

(1)结合律：入(ua)=(入u)a;

(2)第一分配律：(X+g)a=Xa+ua;

(3)第二分配律：X(a+b)=入a+入b.

58.向量的数量积的运算律：

(1)a•b=b•a(交换律)；

(2)(4a),b=A(a,b)=Aa,b=a*(Ab);

(3)(Kb)•c=a,c+b•c.

59.平面向量基本定理

如果el、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一

向量，有且只有一对实数入1、入2,使得a=Alel+A2e2.

不共线的向量el、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

60.向量平行的坐标表示

设a=（4，K）,b=（。%）,fib*0,则allb（b#0）o力%一小%=°.

53.a与b的数量积（或内积）

a•b-\a\|b|cos6.

61.a・b的几何意义

数量积a・b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影b|cos9的乘积.

62.平面向量的坐标运算

⑴设a=a，M）,b=a，另）,则a+b=（4+勺，）+劝.

（2）设a=（土耳），b=（巧，为），贝！］a-b=（巧一。百一片）.

⑶设展。始，B&，另），则福=/-位-珀.

（4）设a=（HM，4eK,则力.

（5）设a=a，始，b=（4%），则a•b=（巧5+%刀）.

63.两向量的夹角公式

西马+为%

文但⑷因），b=U，R）.

64.平面两点间的距离公式

%」而［J而屈

=«巧-玛）2+（必一无产（A（"）,BU'R）.

65.向量的平行与垂直

设a二（4因），b=（4%）,且b*0,则

A||b<=>b=Aa0。%一。豆=°.

alb（a*0）oa•b=0=+%%=°.

66.线段的定比分公式

设";,力）,半。%），P&团是线段A片的分点，4是实数，且

彳2=A飓,则

4+%

1+A

1+2C1+A

。尸（"1+2）

67.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为网5，丫1)、&/，力)、1*3，七)，则4ABC的重心

仅4+，+马■+■+勺

的坐标是3'31

68.点的平移公式

x=x+Ax=jr-A

彳.o,___

注：图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形声上的对应点为P'S，/),且

评的坐标为他©.

69.“按向量平移”的几个结论

(1)点翼。中按向量a=S的平移后得到点P'(x+也产©.

(2)函数y■式力的图象C按向量a=(也处平移后得到图象C;则d的函数解

析式为V式x-A)+*.

(3)图象W按向量a=(2©平移后得到图象C,若C的解析式¥一式©，则C1的

函数解析式为式^+叫-k

⑷曲线C：*&另=°按向量a=3©平移后得到图象则C"的方程为

“r-也尸©=0

(5)向量m=(码0按向量a=(&©平移后得到的向量仍然为m=(国力.

70.三角形五“心”向量形式的充要条件

设。为A3所在平面上一点，角AB,C所对边长分别为则

(1)。为A>WC的外心o凉=无2=宓.

(2)。为A谢*的重心c五4+丽+历=6.

(3)。为A4BC的垂心c凉，丽=丽•历=反方.

.■…..一

(4)。为AyWC的内心CWZB+。。。=0.

(5)。为A2dBC的N4的旁心c*0A=加用+C0C.

71.常用不等式：

(1)**Rn/+b'228b(当且仅当a=b时取"=”号).

(2)%兀肥=下-8(当且仅当a=b时取"=”号).

(3)a'+N+/23a阳a>0,b>0,c>0).

(4)柯西不等式

2t1l

(a+b^+d)^(ac+bd)tatb,ctdeR.

（5）卜卜麻卜+料小M

72.极值定理

已知孤尸都是正数，则有

（1）若积9是定值「，则当”工>时和x+y有最小值2、万；

（2）若和*+y是定值，，则当x=y时积个有最大值4.

推广已知居上£,则有（*+*'=（x-4+2?

（1）若积个是定值，则当I*一训最大时,|*+川最大；

当I*-川最小时,|富+川最小.

（2）若和1*+川是定值，则当I*-川最大时，1歹1最小;

当I富一则最小时，I歹I最大.

73.一元二次不等式"/bx+CAO（或vO）（a*Q,A=A'4・c>0）,如果g与

a/+必+。同号，则其解集在两根之外；如果*与«+林+。异号，则其解集在两

根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

*v々c（x-4X*-，）v。（百<4）；

x<A，或*>Ae4X*-巧）>。（4<

74.含有绝对值的不等式

当a>0时,有

忖<*0/vJoTVXV*

75.无理不等式

心R20

J-©AJ爪RO献©2。

⑴［人》》仪为.

，式X)*0

f(x)w0

Jf(x)>MOg(x)i.0或.

g(x)vo

(2)

一⑸NO

J网勾<M6-g｛幻>。

国前

76.指数不等式与对数不等式

⑴当”1时,

J=f（*）＞a（x）.

'人力》0

log.式*）＞log.以幻o,以力＞0

g（N）

⑵当。＜“＜1时,

a*":＞of（x）＜g（x）.

'人力＞。

log.式力＞log.以幻«■＜以力＞0

其力＜**

77.斜率公式

（用（小X）、4（5，%））.

78.直线的五种方程

（1）点斜式=（直线I过点却不无），且斜率为幻.

（2）斜截式y=h+b（b为直线】在y轴上的截距）.

y-yxx-^

（3）两点式力-力-5-%（片★氏）（£«/）、租。珍

3=1,t

（4）截距式*b（。、b分别为直线的横、纵截距，。、**0）

（5）一般式加+砂+C・°（其中A、B不同时为0）.

79.两条直线的平行和垂直

（1）若4：歹=4*+4,

①川dO4=与,4*与;

②口4c抬=_i

⑵若4；4*+4户G=o,4；4x+/y+G=0,且AI、A2、BI、B2都不为零,

....4flC

川崎。—*-=3#-

①4耳G；

②4j.4c44+4鸟=。；

80.夹角公式

⑴1+玷,

（4：歹=4上+4,4；y=&x+q,44*-1）

tana=1A区_—24±L4.

（2）44+4鸟.

（4；434■乌产c=o4；4*+与旷+6=044+44*0）

K

直线［,勺时-,直线，与12的夹角是2.

81.《到4的角公式

tana=-^5-

（1）l+3.

（4：9=片*+4,，：y=3+&3―）

tana=4鸟一

（2）44+44.

（«；4x+4y+G=o4：Ax+szX+Q=o44+旦旦工。）

X

直线4,4时，直线△到12的角是5.

82.四种常用直线系方程

⑴定点直线系方程：经过定点器（％，为）的直线系方程为了一名=&"-%）（除直线

*=飞），其中Jr是待定的系数；经过定点4（%，%）的直线系方程为

/*-%）+4升％）=°,其中是待定的系数.

⑵共点直线系方程：经过两直线4：4*+4产G=0,4；4*+B>y+G=°的交点

的直线系方程为（Ax+4y+G）+M4*+且y+G）=°（除幻，其中X是待定的系

数.

（3）平行直线系方程：直线y=Z+b中当斜率k一定而b变动时，表示平

行直线系方程.与直线小+砂+C・°平行的直线系方程是

4+砂+4=。«W0）,人是参变量.

（4）垂直直线系方程：与直线.+砂+C-°（AWO,BW0）垂直的直线系

方程是4+4=0,入是参变量.

83•点到直线的距离

j\+Byn+JJ\

+H（点玳%•加，直线？：&+中+。・。）.

84..+M,>0或〈0所表示的平面区域

设直线力.+珍+c=0,则4+砂+Ca°或v0所表示的平面区域是:

若Hw。，当3与加+砂+C同号时，表示直线/的上方的区域；当B与

9+MC异号时，表示直线J的下方的区域.简言之，同号在上，异号在下.

若日=Q,当4与的+C同号时，表示直线/的右方的区域；当<与

新+的+C异号时，表示直线I的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.

85.（牛+耳产G）（Ax+居y+G）A0或vo所表示的平面区域

设曲线c：（4*+月y+G）=°（444鸟*°）,则

（个+骂尸G）（4*+珥y+&>o或v0所表示