第13章非正弦周期电流电路和信号的频谱

2.非正弦周期函数的有效值和平均功率重点3.非正弦周期电流电路的计算1.周期函数分解为傅里叶级数返回第13章非正弦周期电流电路和信号的频谱13.1非正弦周期信号生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。非正弦周期交流信号的特点(1)

不是正弦波(2)

按周期规律变化下页上页返回例2示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波下页上页例1半波整流电路的输出信号返回脉冲电路中的脉冲信号Tt例3下页上页返回在非正弦周期电源或信号的作用下，线性电路的稳态分析和计算首先应用数学中的傅里叶级数展开方法，将非正弦周期激励电压、电流或信号分解成一系列频率为周期函数频率的正整数倍的正弦量之和，再根据线性电路的叠加定理，分别计算每一频率的正弦量单独作用下在电路中产生的同频正弦电流分量和电压分量；最后，把所得分量按时域形式叠加，就可以得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。这种方法称为谐波分析法，实质上是把非正弦周期电流电路的计算转化为一系列不同频率的正弦电流电路的计算。

13.2周期函数分解为傅里叶级数若周期函数满足狄利赫利条件：周期函数极值点的数目为有限个；间断点的数目为有限个；在一个周期内绝对可积，即：可展开成收敛的傅里叶级数注意一般电路里遇到的周期函数都能满足狄利赫利条件。下页上页返回直流分量基波（和原函数同频）二次谐波（2倍）

高次谐波周期函数展开成傅里叶级数：下页上页返回也可表示成：系数之间的关系为：下页上页返回

三角函数的性质正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。k整数

sin2、cos2

在一个周期内的积分为

。下页上页返回三角函数的正交性下页上页返回求出A0、a

？k、bk便可得到原函数

f(t)

的展开式。系数的计算：下页上页返回利用函数的对称性可使系数的确定简化偶函数奇函数奇谐波函数注意

－T/2tT/2f(t)o

－T/2tT/2f(t)otf(t)T/2To下页上页返回周期函数的频谱图：的图形幅度频谱Akmokω1相位频谱的图形下页上页返回周期性方波信号的分解例1解图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：直流分量：谐波分量：K为偶数K为奇数tT/2To下页上页返回（k为奇数）的展开式为：下页上页返回ttt基波直流分量三次谐波五次谐波七次谐波周期性方波波形分解下页上页返回基波直流分量直流分量+基波波三次谐波直流分量+基波+三次谐波下页上页返回tT/2TIS0下页上页IS0等效电源返回Akmo矩形波的幅度频谱tT/2Tkω1o-π/2矩形波的相位频谱下页上页返回13.3有效值、平均值和平均功率1.三角函数的性质正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。k整数

sin2、cos2

在一个周期内的积分为

。下页上页返回三角函数的正交性下页上页返回2.非正弦周期函数的有效值若则有效值:下页上页返回下页上页返回周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。结论下页上页返回3.非正弦周期函数的平均值其直流值为：若其平均值为：正弦量的平均值为：下页上页返回4.非正弦周期交流电路的平均功率利用三角函数的正交性，得：下页上页返回平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率结论下页上页返回

13.4非正弦周期电流电路的计算1.计算步骤对各次谐波分别应用相量法计算；（注意:交流各谐波的XL、XC不同，对直流C

相当于开路、L相当于短路。）利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号；将以上计算结果转换为瞬时值迭加。下页上页返回2.计算举例例1方波信号激励的电路。求u,

已知：tT/2T解(1)方波信号的展开式为：代入已知数据：0下页上页RLC返回直流分量：基波最大值：五次谐波最大值：角频率：三次谐波最大值：下页上页返回电流源各频率的谐波分量为：（2）对各次谐波分量单独计算：（a)直流分量IS0

作用电容断路，电感短路下页上页R返回（b)基波作用XL>>R下页上页RLC返回(c)三次谐波作用下页上页RLC返回(d)五次谐波作用下页上页RLC返回

(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：下页上页返回求电路中各表读数(有效值)。例2V1L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30

bcdA3A2V2V1A1a下页上页返回解(1)u0=30V作用于电路，L1、L2短路，C1、C2开路。i0=iL20=u0/R=30/30=1A,iC10=0,uad0=ucb0=u0=30VaiiC1iL2L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30

bcdaiC10iL20L1C1C2L2+_30

bcdu0i0下页上页返回(2)u1=120cos1000t

V作用j40

j40

j40

j10

a+_30

bcd并联谐振下页上页返回(3)u2=60cos(2000t+

/4)V作用j80

j20

j20

j20

a+_30

bcd并联谐振下页上页返回i=i0+i1+i2=1A所求电压、电流的瞬时值为：iC1=iC10+iC11+iC12=3cos(1000t+90

)AiL2=iL20+iL21+iL22=1+3cos(2000t

45)Auad=uad0+uad1+uad2=30+120cos1000t

Vucb=ucb0+ucb1+ucb2=30+60cos(2000t+45

)V表A1的读数：表A2的读数：表A3的读数：表V1的读数：表V2的读数：下页上页返回

例3已知u(t)是周期函数，波形如图，L=1/2H，C=125/F，求理想变压器原边电流i1(t)及输出电压u2的有效值。2410.5u/Vt/ms12解当u=12V作用时，电容开路、电感短路，有：*C+–+–