《4.3对数》考点讲解、同步练习与培优

《4.3对数》考点讲解与同步练习【思维导图】【常见考点】考点一指数对数的转化【例1】将下列指数式与对数式互化.（1）；（2）；（3）；（4）.【一隅三反】1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）A．与 B．与C．与 D．与2．将下列指数式写成对数式：（1）；（2）；（3）；（4）3．将下列对数式改为指数式：（1），指数式为__________；（2），指数式为__________；（3），指数式为__________；（4），指数式为____________.考点二对数式求值【例2】求下列各式中x的值：（1）；（2）；（3）；（4）.【一隅三反】1．下列四个等式:①;②;③若,则;④若,则.其中正确的是()A．①③ B．②④ C．①② D．③④2．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝()A． B． C． D．3．方程的解__________考点三对数式化简【例3】（1）计算：_______.（2）计算：__________．（3）的值等于______．【一隅三反】1．计算______．______.log2eq\r(\f(7,48))＋log212－eq\f(1,2)log242；4.(lg2)3＋3lg2·lg5＋(lg5)3.考点四换底公式【例4】若，且，则为（）A．0 B．1 C．1或2 D．0或2【一隅三反】1．_________.2．设，，则等于（）A． B． C． D．3．计算：（1）.（2）.考点五指数对数运算的综合【例5】（1）已知，试用表示.（2）若26a＝33b＝62c，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(3,c).【一隅三反】1．若实数a，b满足，则（）A． B． C． D．12．若，，则________，________．3．已知log189＝a，18b＝5，则log3645=（）A． B． C． D．4.3对数答案解析考点一指数对数的转化【例1】将下列指数式与对数式互化.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）.（2）.（3）.（4）.【解析】因为由可得，所以(1)由可得；(2)由可得；由可得，所以(3)由可得；(4)由可得.指数式和对数式的互化.指数式和对数式的互化.由指数式转化为对数式时，以指数式的底数为底数，指数运算的结果为真数的对数，其结果为指数式的指数；由对数式转化为指数式时，以对数的底数为底数，对数运算的结果为指数的指数，其结果为对数式的真数.【一隅三反】1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）A．与 B．与C．与 D．与【答案】C【解析】，故正确；，故正确；，，故不正确；，故正确．故选：C．2．将下列指数式写成对数式：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）因为，所以.（2）因为，所以.（3）因为，所以.（4）因为，所以.3．将下列对数式改为指数式：（1），指数式为__________；（2），指数式为__________；（3），指数式为__________；（4），指数式为____________.【答案】【解析】由于，所以：（1），指数式为；（2），指数式为；（3），指数式为；（4），指数式为故答案为：；；；.考点二对数式求值【例2】求下列各式中x的值：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）2；（4）【解析】（1）因为所以.（2）因为,所以.又所以（3）因为所以于是（4）因为所以于是【一隅三反】1．下列四个等式:①;②;③若,则;④若,则.其中正确的是()A．①③ B．②④ C．①② D．③④【答案】C【解析】①;②;③若,则;④若,则.故选：C2．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝()A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴．∴．故选D．3．方程的解__________【答案】【解析】∵，∴，∴经检验满足故答案为：.考点三对数式化简【例3】（1）计算：_______.（2）计算：__________．（3）的值等于______．【答案】（1）2（2）4（3）【解析】（1）原式.故答案为：2.（2）原式故答案为4（3）=．故答案为:．【一隅三反】1．计算______．【答案】0【解析】由题意.故答案为：.2．______.【答案】【解析】根据对数的运算性质及换底公式化简可得，故答案为：.log2eq\r(\f(7,48))＋log212－eq\f(1,2)log242；【答案】－eq\f(1,2)【解析】原式＝log2eq\f(\r(7)×12,\r(48)×\r(42))＝log22＝－eq\f(1,2).4.(lg2)3＋3lg2·lg5＋(lg5)3.【答案】1【解析】原式＝(lg2＋lg5)[(lg2)2－lg2·lg5＋(lg5)2]＋3lg2·lg5＝(lg2)2＋2lg2·lg5＋(lg5)2＝(lg2＋lg5)2＝1.考点四换底公式【例4】若，且，则为（）A．0 B．1 C．1或2 D．0或2【答案】D【解析】令，则，，，依换底公式得或.当时，且，故；当时，.故选：D【一隅三反】1．_________.【答案】3【解析】原式.故答案为：.2．设，，则等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据对数的换底公式得，，故选D．3．计算：（1）.（2）.【答案】（1）4；（2）.【解析】（1）.（2）.考点五指数对数运算的综合【例5】（1）已知，试用表示.（2）若26a＝33b＝62c，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(3,c).【答案】（1）.（2）见解析【解析】（1）.∵∴.则.（2）证明设26a＝33b＝62c＝k(k＞0)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6a＝log2k，,3b＝log3k，,2c＝log6k，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＝\f(6,log2k)＝6logk2，,\f(1,b)＝\f(3,log3k)＝3logk3，,\f(1,c)＝\f(2,log6k)＝2logk6.))∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝6·logk2＋2×3logk3＝logk(26×36)＝6logk6＝3×2logk6＝eq\f(3,c)，即eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(3,c).【一隅三反】1．若实数a，b满足，则（）A． B． C． D．1【答案】D【解析】因为，所以，．故选：D．2．若，，则________，________．【答案】1【解析】因为，所以，又，所以，.3．已知log189＝a，18b＝5，则log3645=（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，．故选：D．《4.3对数》同步练习【题组一指数对数的转化】1．将下列指数式改为对数式：（1），对数式为_____________；（2），对数式为___________；（3），对数式为_____________；（4），对数式为_____________.2．用对数的形式表示下列各式中的x：（1）；（2）；（3）；（4）.3．把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【题组二对数式求值】1．下列各式：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的个数有()A．个 B．个 C．个 D．个2.求下列各式中的x的值．(1)log2(log3x)＝0；(2)log5(log2x)＝1；(3)log(eq\r(3)＋1)eq\f(2,\r(3)－1)＝x.【题组三对数式化简】1．计算下列各式：（1）___________；（2）_________；（3）_________；（4）________；（5）________．2.计算、化简下列各式的值：①4lg2＋3lg5－lgeq\f(1,5)；②eq\f(2lg2＋lg3,1＋\f(1,2)lg0.36＋\f(1,3)lg8).③eq\f(lg3＋\f(2,5)lg9＋\f(3,5)lg\r(27)－lg\r(3),lg81－lg27).④lg5·lg8000＋(lg2eq\r(3))2＋lg0.06－lg6；⑤eq\f(lg\r(2)＋lg3－lg\r(10),lg1.8).⑥； ⑦.⑧log2eq\r(8＋4\r(3))＋log2eq\r(8－4\r(3))；【题组四换底公式】1．计算（）A．3 B．4 C．5 D．62．（1）计算：.（2）已知，，试用，表示.3．计算下列各式：（1）；（2）；（3）．【题组五指数对数运算的综合】1．已知，，若，，则的最大值为____.2．若，则（）A． B． C． D．23．设，则（）A． B． C． D．4．设，则（）A．1 B．4 C．6 D．25．已知，则______．4.3对数的运算答案解析【题组一指数对数的转化】1．将下列指数式改为对数式：（1），对数式为_____________；（2），对数式为___________；（3），对数式为_____________；（4），对数式为_____________.【答案】【解析】(1)利用互化公式可得，.(2)利用互化公式可得，(3)利用互化公式可得，(4)利用互化公式可得，.故答案为:；；；.2．用对数的形式表示下列各式中的x：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）根据指数式与对数式的相互转化（2）根据指数式与对数式的相互转化∴（3）根据指数式与对数式的相互转化（4）根据指数式与对数式的相互转化3．把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】见解析【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【题组二对数式求值】1．下列各式：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的个数有()A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【解析】对①，因为，，所以，故①正确；对②，因为，，所以，故②正确；对③，因为，故③错误；对④，因为，故④错误.故选：B.2.求下列各式中的x的值．(1)log2(log3x)＝0；(2)log5(log2x)＝1；(3)log(eq\r(3)＋1)eq\f(2,\r(3)－1)＝x.【答案】（1）3（2）32（3）1【解析】(1)因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝1，所以x＝3.(2)因为log5(log2x)＝1，所以log2x＝5，所以x＝25＝32.(3)eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\f(2\r(3)＋1,2)＝eq\r(3)＋1，所以log(eq\r(3)＋1)eq\f(2,\r(3)－1)＝log(eq\r(3)＋1)(eq\r(3)＋1)＝1，所以x＝1.【题组三对数式化简】1．计算下列各式：（1）___________；（2）_________；（3）_________；（4）________；（5）________．【答案】-262【解析】（1）；（2）（3）（4）（5）故答案为：；；；；.2.计算、化简下列各式的值：①4lg2＋3lg5－lgeq\f(1,5)；②eq\f(2lg2＋lg3,1＋\f(1,2)lg0.36＋\f(1,3)lg8).③eq\f(lg3＋\f(2,5)lg9＋\f(3,5)lg\r(27)－lg\r(3),lg81－lg27).④lg5·lg8000＋(lg2eq\r(3))2＋lg0.06－lg6；⑤eq\f(lg\r(2)＋lg3－lg\r(10),lg1.8).⑥； ⑦.⑧log2eq\r(8＋4\r(3))＋log2eq\r(8－4\r(3))；【答案】①4②1③eq\f(11,5).④1⑤eq\f(1,2)⑥；⑦1.⑧2【解析】①原式＝lgeq\f(24×53,\f(1,5))＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4.②原式＝eq\f(lg4＋lg3,1＋lg\r(0.36)＋lg\r(3,8))＝eq\f(lg12,1＋lg0.6＋lg2)＝eq\f(lg12,lg12)＝1.③原式＝eq\f(lg3＋\f(4,5)lg3＋\f(9,10)lg3－\f(1,2)lg3,4lg3－3lg3)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4,5)＋\f(9,10)－\f(1,2)))lg3,4－3lg3)＝eq\f(11,5).④原式＝lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2＋lg6－2－lg6＝3lg5·lg2＋3lg5＋3(lg2)2－2＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2＝3lg2＋3lg5－2＝1.⑤原式＝eq\f(\f(1,2)lg2＋lg9－lg10,lg1.8)＝eq\f(lg\f(18,10),2lg1.8)＝eq\f(1,2).⑥因为，，所以.⑦.⑧原式＝log2[eq\r(8＋4\r(3))eq\r(8－4\r(3))]＝log2eq\r(82－4\r(3)2)＝log2eq\r(64－48)＝log24＝2.【题组四换底公式】1．计算（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】故选：A2．（1）计算：.（2）已知，，试用，表示.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）原式（2）∵，∴，又，∴.则.3．计算下列各式：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）0【解析】（1）（2）（3）【题组五指数对数运算的综合】1．已知，，若，，则的最大值为______.【答案】4【解析】因为，若，所以，所以，所以；又，所以，所以，当且仅当时等号成立.所以，当且仅当时等号成立.故答案为：4.2．若，则（）A． B． C． D．2【答案】A【解析】由题意根据指数式与对数式的转化可得由换底公式可得由对数运算化简可得故选:A3．设，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，所以，所以有，故选：B.4．设，则（）A．1 B．4 C．6 D．2【答案】D【解析】因为，所以，，所以.故选：D.5．已知，则______．【答案】【解析】由可得所以，，所以，故答案为：.《4.3对数》培优同步练习一、单选题1．如果，则有（）A． B． C． D．2．log5＋log53等于（）A．0 B．1 C．－1 D．log53．方程的解是（）A． B． C．x＝1 D．x＝24．若实数a，b满足，则（）A． B． C． D．15．在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是()A．b<2或b>5 B．2<b<5C．4<b<5 D．2<b<5且b≠46．若，则x＋y＋z的值为()A．9 B．8 C．7 D．67．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac8．化简的结果是（）A． B．1 C．2 D．49．2等于()A．2＋ B．2C．2＋ D．1＋10．设，且，则()A． B．10 C．20 D．100二、多选题11．下列等式不成立的是()A． B． C． D． E.12．已知，均为正实数，若，，则（）A． B． C． D．213．若，，则（）A． B． C． D．14．已知，，，，且，，则（）A．，，使得B．，，都有C．，y且，使得D．a，b，c，d中至少有两个大于1三、填空题15．若，则________.16．已知实数满足，且，且_____.17．若，则________.四、双空题18．___________，______.19．已知，则______；_______.20．计算：__________，_________.21．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，则________，________五、解答题22．计算下列各式的值.（1）（2）23．计算下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）lg(＋).24．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）.25．（1）证明对数换底公式：（其中且，且，）（2）已知，试用表示.26．已知二次函数的最小值为3，求的值.27．设、、为正数，且满足.（1）求证：；（2）若，，求、、的值.4.3对数答案解析一、单选题1．如果，则有（）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用指数化对数得可，故选：C．2．log5＋log53等于（）A．0 B．1 C．－1 D．log5【答案】A【解析】因为.故选：A.3．方程的解是（）A． B． C．x＝1 D．x＝2【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以.故选：B.4．若实数a，b满足，则（）A． B． C． D．1【答案】D【解析】因为，所以，．故选：D．5．在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是()A．b<2或b>5 B．2<b<5C．4<b<5 D．2<b<5且b≠4【答案】D【解析】由对数的意义得，解得且。所以实数b的取值范围是且。选D。6．若，则x＋y＋z的值为()A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【解析】∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1.∴x＝3.同理y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9.故选A．7．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac【答案】B【解析】由logab·logcb＝·≠logca，故A错；由logab·logca＝·＝＝logcb.故正确；对选项，，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.故选：.8．化简的结果是（）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】原式.故选：C.9．2等于()A．2＋B．2C．2＋D．1＋【答案】B【解析】.故选B.10．设，且，则()A． B．10 C．20 D．100【答案】A【解析】由得，所以，，故选A.二、多选题11．下列等式不成立的是()A． B． C． D． E.【答案】DE【解析】根据对数式的运算,可得,,故A､B成立;由根式与指数式的互化可得,故C成立;取,,发现D不成立;,故E不成立.故选：DE12．已知，均为正实数，若，，则（）A． B． C． D．2【答案】AD【解析】令，则，，，或，或或，代入得或，或，．或故选：AD.13．若，，则（）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】由，，得，，则，，，故正确的有：故选：.14．已知，，，，且，，则（）A．，，使得B．，，都有C．，y且，使得D．a，b，c，d中至少有两个大于1【答案】BD【解析】，，，，且，，则，，，，则，，都有，故B正确，A，C不正确，对于D：假设a，b，c，d中最多有一个大于1，若，，则，，，，则假设不成立，故则a，b，c，d中至少有两个大于1，D正确.故选：BD.三、填空题15