2024一轮收尾之概率模块讲义及练习（原卷版）

2024一轮收尾——概率模块讲义及练习（原卷版）目录2.1概率的基本性质2.1.1认识概率1.概率的定义2.如何深入理解概率概率的计算1.必然事件与不可能事件2.互斥与对立3.互斥与对立的区分与联系2.2古典概型1.古典概型的定义与性质2.古典概型深入理解3.古典概型常见技巧2.3几何概型几何概型的定义及运算2.构造变量，几何求解2.4事件的独立性1.何为独立事件2.区分独立与互斥3.事件的交并与包含关系2.5条件概率1.何为条件概率2.概率的乘法公式3.条件概率的计算方法2.6离散型随机变量及其分布列、数字特征1.何为离散型随机变量2.离散型随机变量分布列3.离散型随机变量的期望4.离散型随机变量的方差5.均值与方差的性质2.7四类常见分布2.7.1两点分布1.何为两点分布2.两点分布的均值与方差2.7.2二项分布1.何为二项分布2.二项分布的均值与方差2.7.3超几何分布1.何为超几何分布2.7.4正态分布1.正态曲线的定义2.正态曲线的特点3.正态分布的定义及表示2.1概率的基本性质2.1.1认识概率知识点引入与思路分析：1.概率的定义在相同条件下，做次重复实验，事件A发生次，测得A发生的频率为，当很大时，A发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A的概率.2.如何深入理解概率概率是对未发生（或将要发生的）事件的一种推测．这是讨论概率的前提，概率越大，表示未来发生的可能性也就越大．比方说明天下雨的概率为0.9，那么明天下雨的可能性就很大了，但并不表示明天一定会下雨；如果说明天下雨的概率为0.1，那么表示明天下雨的可能性比较小，但不表示明天不下雨．这里我们可以看出概率表示的是将来某事件是否要发生的可能性的判断．典例及真题：例．六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为A． B． C． D．知识点练习：1．某校高一共有20个班，编号为01，02，，20，现用抽签法从中抽取3个班进行调查，设高一（1）班被抽到的可能性为，高一（2）班被抽到的可能性为，则A． B． C． D．概率的计算必然事件、不可能事件、随机事件（互斥与对立）知识点引入与思路分析：4.必然事件与不可能事件概率的取值范围：[0，1]．必然事件的概率为1．不可能事件的概率为0．5.互斥与对立如果事件A，B互斥时，P（A+B）＝P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）．如果事件A，B对立事件，则P（A+B）＝P（A）+P（B）＝1．若事件B与事件A互为对立事件，则A∪B为必然事件，P（A∪B）＝1．6.互斥与对立的区分与联系一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥．互斥事件与对立事件的区别和联系互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．典例及真题：例．下列说法正确的是()A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为eq\f(3,5)，则比赛5场，甲一定胜3场B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C．小概率事件不可能发生，大概率事件必然会发生D．气象台预报明天降水概率为90%，是指明天降水的可能性是90%知识点练习：1．(多选)掷一枚硬币两次，记事件A＝“第一次出现正面”，B＝“第二次出现反面”，则下列说法不正确的是()A．A与B相互独立B．P(A∪B)＝P(A)＋P(B)C．A与B互斥D．P(AB)＝eq\f(1,2)2.2古典概型知识点引入与思路分析：1.古典概型的定义与性质首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：①基本事件空间含有限个基本事件②每个基本事件发生的可能性相同P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(事件A中所含的基本事件数,试验的基本事件总数).2.古典概型深入理解古典概型满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．3.古典概型常见技巧古典概型中基本事件数的探求方法：1.列举法.2.树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.3.列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.典例及真题：例1．六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为A． B． C． D．例2．甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．知识点练习：1.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A.B.C.D.2．纸箱里有编号为1到9的9个大小相同的球，从中不放回地随机取9次，每次取1个球，则编号为偶数的球被连续抽取出来的概率为A． B． C． D．3.某公司安排甲、乙、丙、丁4人到A，B，C三个城市出差，每人只去一个城市，且每个城市必须有人去，则A城市恰好只有甲1人去的概率为()A．eq\f(1,5)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,6)4.某校要从该校环境保护兴趣协会的20名成员中，选取6人组队参加市电视台组织的环保知识竞赛．（1）若采用抽签法选取参赛队伍成员，请写出步骤；（2）若选出的人员中有2名女生4名男生，在这6名学生中任选两人担任正副队长，求所选两人恰好有1名女生的概率．2.3几何概型知识点引入与思路分析：几何概型的定义及运算几何概型的计算：首先确定事件类型为几何概型并明确其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算出基本事件区域的数值和事件A包含区域数值，最后计算解几何概型问题的关键是画图、求面积。构造变量，几何求解求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．典例及真题：例．甲乙两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内能相见的概率知识点练习：中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（）A． B． C． D．2.4事件的独立性知识点引入与思路分析：何为独立事件相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．区分独立与互斥互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：互斥事件：两个事件不可能同时发生；相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．（1）对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件.（2）若A与B相互独立，则，.（3）若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立.（4）若，则A与B相互独立.①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).事件的交并与包含关系定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇BA＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅P(A∪B)＝1典例及真题：例．甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：（1）累计负两场者被淘汰；（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签甲、乙首先比赛，丙首轮轮空．设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为．知识点练习：1．设事件A，B，已知P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(A∪B)＝eq\f(8,15)，则A，B之间的关系一定为()A．两个任意事件 B．互斥事件C．非互斥事件 D．对立事件2.5条件概率知识点引入与思路分析：1.何为条件概率一般地，设A，B为两个事件，且，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率.2.概率的乘法公式由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则P（AB）=P（A）P（B|A）.我们称上式为概率乘法公式3.条件概率的计算方法条件概率的求法：第一步,判断是否为条件概率,若题目中出现“在……条件下”“在……前提下”等字眼,一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼,但已知事件的出现影响所求事件的概率时,也需注意是否为条件概率．若为条件概率,则进行第二步：计算概率,这里有两种思路．思路一：缩减样本空间法计算条件概率．如求P(A|B),可分别求出事件B,AB包含的基本事件的个数,再利用公式P(A|B)＝eq\f(n（AB）,n（B）)计算．思路二：直接利用条件概率的计算公式计算条件概率,即先分别计算出P(AB),P(B),再利用公式P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)计算．为了求一些复杂事件的条件概率,往往可以先把它分解为两个(或若干个)互斥事件的和,利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)进行计算,其中B,C互斥.典例及真题：例1．有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8.在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率是()A．0.72 B．0.8C．0.86 D．0.9例2．从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是()A．“恰好有两个白球”与“恰好有一个黑球”B．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”C．“都是白球”与“至少有一个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”知识点练习：1.设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产，乙、丙两厂各生产，而且各厂的次品率依次为2%，2%，4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为（）A.0.025 B.0.08 C.0.07 D.0.1252．袋中有大小和形状都相同的3个白球和2个黑球，现从袋中不放回地依次抽取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取到白球的概率是（）A． B． C． D．3.先后投掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6），两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为，设事件A为“为偶数”，事件B为“中有偶数，且”，则()A. B. C. D.4．某大学生用围棋棋子研究概率问题，围棋的黑、白棋子除颜色外，其他均相同．他准备了两个相同的不透明的盒子甲和乙，甲盒中放有3个黑子、6个白子，乙盒中放有4个黑子、4个白子．现随机从其中一个盒子中取出一个棋子，若该棋子是黑色，则这个棋子来自甲盒的概率为________．答案eq\f(2,5)2.6离散型随机变量及其分布列、数字特征知识点引入与思路分析：1.何为离散型随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.2.离散型随机变量分布列一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为取每一个值的概率，则下表称为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.X……P……3.离散型随机变量的期望若离散型随机变量的概率分布为则称为的数学期望（平均值、均值）简称为期望。①期望反映了离散型随机变量的平均水平；②是一个实数，由的分布列唯一确定；③随机变量是可变的，可取不同值；④是不变的，它描述取值的平均状态.4.离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差：设离散型随机变量可能取的值为且这些值的概率分别为，则称……为的方差。的算术平均数叫做随机变量的标准差，记作.5.均值与方差的性质..典例及真题：1．设随机变量X的分布列为X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)则P(|X－3|＝1)等于()A.eq\f(7,12)B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)知识点练习：1.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列.2.7四类常见分布2.7.1两点分布知识点引入与思路分析：1.何为两点分布若随机变量X的分布列为X01Pp则称X服从两点分布.2.两点分布的均值与方差若X服从两点分布，则.典例及真题：例.某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生只选修甲的概率为，只选修甲和乙的概率是，至少选修一门的概率是，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．

（1）记“函数为R上的奇函数”为事件A，求事件A的概率；

（2）求的概率分布和数学期望．2.7.2二项分布知识点引入与思路分析：1.何为二项分布一般地，在n次独立重复试验（n重伯努利试验）中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，此时称随机变量X服从二项分布，记作在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为2.二项分布的均值与方差若，则，典例及真题：例.为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100km/h且为男性驾驶员的车辆为X，求X的分布列．2.7.3超几何分布知识点引入与思路分析：1.何为超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则，称下面分布列为超几何分布.X01…mP…典例及真题：例.4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生中抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：小组甲乙丙丁人数12969(1)从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2个，用X表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X的分布列和均值．知识点练习：1.2019年是中华人民共和国成立70周年．为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，…，[70,80]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)现从年龄在[20,30)，[30,40)，[40,50)内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用X表示年龄在[30,40)内的人数，求X的分布列和数学期望；(2)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k名市民的年龄在[30,50)的概率为P(X＝k)(k＝0,1,2，…，20)．当P(X＝k)最大时，求k的值．2.7.4正态分布知识点引入与思路分析：1.正态曲线的定义函数（其中实数和为参数）的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.2.正态曲线的特点（1）曲线位于x轴上方且与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；（3）曲线在处达到峰值；（4）曲线与x轴之间的面积为1；（5）当一定时，曲线随着的变化而沿x轴移动；（6）当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”；越大，曲线越“矮胖”.3.正态分布的定义及表示如果对于任何实数，随机变量X满足，则称X的分布为正态分布，记作.典例及真题：例.某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是()A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大B．