6.4.3.2正弦定理(一) 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教版

正弦定理(一)问题一知识梳理正弦定理语言叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的

的比相等，即

.正弦在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R.例1两角一边正弦定理解∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－75°－60°＝45°.例2∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°.两边及一边对角正弦定理例3下列三角形是否有解？有解的作出解答.(1)a＝7，b＝8，A＝105°；解由a＝7，b＝8，可得a<b，所以A<B，又由A＝105°>90°，所以这样的三角形无解.例3又由C＝60°<90°，所以这样的三角形只有一解.所以B＝45°，所以A＝180°－(B＋C)＝75°，可得b<c，所以B<C，例3又由A＝30°<90°，且bsinA＝6sin30°＝3，所以a>bsinA，所以这样的三角形有两解；所以B＝60°或B＝120°，当B＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝90°，例3当B＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝30°，在△ABC中，已知b＝3，c＝

，B＝30°，解三角形.解方法一由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°；已知两边和一对角可使用余弦定理∴A＝90°，C＝60°.1.画出图形2.由正弦定理求角C的正弦值3.分情况讨论角C是锐角还是钝角30°在△ABC中，已知b＝3，c＝

，B＝30°，解三角形.CAB30°CAB用正弦定理的解题思路能不能使用正弦定理呢？在△ABC中，已知b＝3，c＝

，B＝30°，解三角形.又c>b,∴30°＜C＜180°，∴C＝60°或C＝120°.30°CAB120°30°CAB60°当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a＝6；当C＝120°时，A＝30°＝B，a＝b＝3.分情况讨论角C是锐角还是钝角反思感悟已知两边及一边对角解三角形注意事项用余弦定理用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，求出c，此时c的个数即为三角形解的个数.用正弦定理用正弦定理求出另一边的对角，但要注意此三角形解的个数的判断.

跟踪训练1即bc＝20，又c＝4，所以b＝5.由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，CAB跟踪训练1在△ABC中，因为0<A<π，0<B<π，所以sinA≠0，sinB≠0，所以sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，注意正切化两弦所以由正弦定理，得sin2A·tanB＝sin2B·tanA，A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形注意边化角因为在△ABC中，0<A<π，0<B<π，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，注意角范围和分类讨论A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.√反思感悟判断三角形形状的方法及技巧余弦定理用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，求出c，此时c的个数即为三角形解的个数.化简技巧统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解.

跟踪训练2在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3b＝

asinB，cosA＝cosC，则△ABC的形状是A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析在△ABC中，cosA＝cosC，A，C∈(0，π)，由函数y＝cosx在(0，π)上单调递减，可得A＝C.显然A为锐角，从而有A＝60°，则C＝60°，进而得B＝60°，所以△ABC的形状是等边三角形.√例3设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.(1)求B的大小；1.正弦定理边化角得2.由角的范围求得设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.(1)求B的大小；在△ABC中，sinA≠0，设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值.1.正弦定理角化边得2.由余弦定理可求c＝2a解∵sinC＝2sinA，∴由正弦定理，得c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值.反思感悟利用正弦、余弦定理解三角形的注意点①正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用②两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键.跟踪训练3△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－

asinC＝bsinB.(1)求B的大小；由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.又0°＜B＜180°，因此B＝45°.跟踪训练3(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值.解sinA＝sin