人教版高中数学选修教案全集

人教版高中数学选修教案全集

第一章导数及其应用

§变化率问题

教学目标：

.理解平均变化率的概念；

.了解平均变化率的几何意义；

.会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

教学难点：平均变化率的概念.

教学过程：

一.创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研

究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数求物体在任意时刻的速度与加速度等

二、求曲线的切线

三、求已知函数的最大值与最小值

四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、

最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

二.新课讲授

（一）问题提出

问题气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程可以发现随着气球内空气容量的增加气球

的半径增加越来越慢从数学角度如何描述这种现象呢

■气球的体积单位与半径单位之间的函数关系是V（r）=；W3

■如果将半径表示为体积的函数那么「"）=［巴

丫4兀

分析r(V)=

⑴当从增加到时气球半径增加了r⑴-*0）。0.62（所）

气球的平均膨胀率为他心“0.62（加/L）

1-0

⑵当从增加到时气球半径增加了

r（2）-r（l）«0.16（t/7M）

气球的平均膨胀率为⑴«0.16（加/L）

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.

思考：当空气容量从增加到时气球的平均膨胀率是多少匕，.

V-V

2I

问题高台跳水

在高台跳水运动中运动员相对于水面的高度单位：与起跳后的时间(单位：)

存在函数关系如何用运动员在某些时间段内的平均速。度粗略地描

述其运动状态

思考计算：W0.5和1442的平均速度］

在0WfW0.5这段时间里，v=/如0-5)1⑼

4.05(m/s)；

0.5-0

在1W/W2这段时间里，⑵一“⑴,

-8.2(W/5)

2-1

探究：计算运动员在上这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数的图像，结合图形可知，/?(竺)=〃(())，

49

〃(艺)-〃(0)

49

所以v==0(5/m),

49

虽然运动员在翥这段时间里的平均速度为0(s/m),但实际情况是运动员仍然运动,

并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.

(-)平均变化率概念

.上述问题中的变化率可用式子/./一—3)表示称为函数从到的平均变

x-x

2I

化率

.若设Ax=x,-X|A/-=/(x?)-/(x)这里Ar看作是对于的一个“增量”可用X

代替同样纣=Ay=/(q)-/(^)

nWB什/I,上在AyN/(%)-f(x)f(x+Ax)-/(x)

.则平均变化率为)=,，二八"J'J-八1)J'/

AxAxx—xAx

21

思考：观察函数的图象

平均变化率笠=仆)一"山表示什么A

AJCx-x

21

2

直线的斜率

三.典例分析

例.已知函数-x2+X的图象上的一点A(—l,—2)及临近一点8(-1+Ax,-2+Ay)

则竺=

故------------

解：-2+Ay=-(-l+Ax)2+(-l+Ax),

.Ay-(-1+Ax)2+(-1+Ax)-2"

..=----------------------=3-Ax

AxAx

例.求y=x2在x=x附近的平均变化率。

0

解：Ay=(x+Ax)2-x2,所以竺=(%+Ax)2-XQ2

“00AxAr

所以y=x2在x=x附近的平均变化率为2x+Ax

oo

四.课堂练习

.质点运动规律为s=，2+3,则在时间(3,3+加)中相应的平均速度为.

物体按照的规律作直线运动求在附近的平均飒阵

过曲线上两点(，)和△△作曲线的割线，求出当△

时割线的斜率

五.回顾总结

.平均变化率的概念

.函数在某点处附近的平均变化率

六.教后反思：

§导数的概念

教学目标：

.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

.理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

.会求函数在某点的导数

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

教学难点：导数的概念.

教学过程：

一.创设情景

(一)平均变化率

(二)探究：计算运动员在=竺这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数的图像，结合图形可知，/7(^|)=力(0),

所以U=——ZC------=0(.y/W)，

竺-0

49

虽然运动员在04t<竺这段时间里的平均速度为0(s/〃?)，但

实际情

49

况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描

述运动员的运动状态.

二.新课讲授

瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一

时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，/=2时的瞬时速度是多少？

考察"2附近的情况:

4<0时，在［2+4,2］这段时间内&>0时，在［2,2+4］这段时间内思考：

当加

-奴2)-旗2+4)4,9AZ2+13.1AZ-尿2+位)一%(2)-4.9AZ2-13.1AZ趋近于

时，

2-(2+&)-△/2(2+4)-2M+

平均速

=T9&-13.1=-49A/-13.1

度

-有

当4=-0.01时，4=73.051；.当4=0.01时，Az=-13.051；•V

什

样

当4=-0.001时，Az=-13.0951；.当M=0.001时，A/=-13.0951；.么

的

化

当4=-0.001时，AZ=-13.09951).当4=0.001时，AZ=-13.09951；,变

趋

势

当4=-0.0001时，4=73.099951,.当△，=0.0001时，△/=-13.099951,•？

结

论

当A=-0.00001时,Ai=-13.099951,.当4=0.00001时,AZ=-13.099951,.：

当

.......加

趋近于时，即无论r从小于的一边，还是从大于的一边趋近于时，平均速度。都

趋近于一个确定的值13.1.

从物理的角度看，时间|&|间隔无限变小时，平均速度工就无限趋近于史的瞬时速度，因

止匕运动员在f=2时的瞬时速度是-

为了表述方便，我们用limZ?(2+Af)~/?(2)=-13.1

A/-»0X

表示“当f=2,4趋近于时，平均速度D趋近于定值-13.1”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速

度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

导数的概念

从函数在处的瞬时变化率是

我们称它为函数y=/(x)在x=x出的导数，记作/S)或yl,即

00x=xa

说明：()导数即为函数在处的瞬时变化率

()Ax=x-x,当Ax—>0时，xx,所以尸(x)=lim」------a-

°°°A.Ox—x0

三.典例分析

例.()求函数在处的导数

分析：先求A△1+△1△△

再求包=6+Ax再求lim包_=6

Ax20-

解：法一定义法(略)

法二：yi=lim3x2-3'12-=lim3(A：-12)=lim3(x+1)=6

X=1XT1X-\XT]X-lT

()求函数-X2+X在x=_l附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.

解：.=—(T+©)2+(—l+Ax)—2=Q_Ar

AJCA%

例.(课本例)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行

冷却和加热，如果第劝时，原油的温度(单位：C)为/(x)=x2-7x+15(0W8),计算

B

第2人时和第6〃时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

解：在第2/z时和第6人时，原油温度的瞬时变化率就是尸(2)和尸(6)

根据导数定义，"J(2+Ax)/(x°)

AxAx

所以/(2)=lim包=lim(Ax-3)=-3

Ar—OAXA,_>O

同理可得/⑹=5

在第2〃时和第6〃时，原油温度的瞬时变化率分别为-3和，说明在2万附近，原油温

度大约以3AC/%的速率下降，在第6〃附近，原油温B度大约以5C/%的速率上升.

注：一般地，/(X)反映了原油温度在时刻X附近的变化情况.

00

四.课堂练习

.质点运动规律为s=f2+3,求质点在f=3的瞬时速度为.

.求曲线在x=l时的导数.

.例中，计算第3力时和第5〃时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

五.回顾总结

.瞬时速度、瞬时变化率的概念

.导数的概念

六.教后反思：

§导数的几何意义

教学目标：

.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；

.理解曲线的切线的概念；

.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；

教学难点：导数的几何意义.

教学过程：

一.创设情景

(-)平均变化率、割线的斜率

(二)瞬时速度、导数

我们知道，导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在

附近的变化情况，导数r(x)的几何意义是什么呢？

0

二.新课讲授

(~)曲线的切线及切线的斜率：如图，当P(xJ(x))(〃W2,3,4)沿着曲线/(x)趋

nnn

近于点P(x,/(x))时，割线PP的变化趋势是什么？

00n

我们发现当点P沿

着曲线无限接近点即4

时割线PP趋近于确定的位

置这个确定位置的直线

称为曲线在点处的切线

问题：⑴割线PP的斜率后

nn

与■切线的斜率后有什么关

系？

⑵切线的斜率后为多

少？

图容易知道，割线PP

n

的斜率是2=当点P沿着曲Z近点时,k无限趋近于切线的斜

-Xn

XX

率k,即k=1咕，(%+—)一""0)=/(x)

A..、，3)Mo

说明：()设切线的倾斜角为a那么当△-＞时割线的斜率称为曲线在点处的切

线的斜率

这个概念①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法

②切线斜率的本质一函数在处的导数

0

（）曲线在某点处的切线与该点的位置有关要根据割线是否有极限位置来判断

与求解如有极限则在此点有切线且切线是唯一的如不存在则在此点处无切线曲线

的切线并不一定与曲线只有一个交点可以有多个甚至可以无穷多个

（二）导数的几何意义：

函数在处的导数等于在该点（x,f（x））处的切线的斜率，

00

即f（x）-lim---u----------o_=k

°M

说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤

①求出点的坐标

②求出函数在点x处的变化率/'（x）=lim2K上竺二"2=攵，得到曲线在点

°°20M

（尤））的切线的斜率；

00

③利用点斜式求切线方程

（二）导函数：

由函数在处求导数的过程可以看到当时r（x）是一个确定的数，那么当

0

变化时便是的一个函数我们叫它为的导函数记作：/（X）或y,

即f'（x）=y'=lim/CL"*

Ay

Ax—>八0△儿

注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.

（三）函数/（X）在点X处的导数/'（X）、导函数/（X）、导数之间的区别与联系。

00

（）函数在一点处的导数/'（X）,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极

0

限，它是一个常数，不是变数。

）函数的导数，是指某一区间内任意点而言的，就是函数的导函数

）函数/（X）在点X处的导数/（X）就是导函数/（X）在x=x处的函数值，这也是求函数

000

在点X处的导数的方法之一。

0

三.典例分析

例（）求曲线在点处的切线方程

（）求函数在点（1,3）处的导数

2

々刀/、11[（1+AX）2+1]—（12+1）2Ax+Ax

解：（）/|=hm-------———----=hm---------=2

X=]A-OAxAx

所以，所求切线的斜率为，因此，所求的切线方程为y-2=2（x-l）即2x-y=0

z、H斗3x2-3-123（X2-12）

（）因为yI=hm=lim=lim3（x+l）=6

IA->1X—1Xf]X—1XT]

所以，所求切线的斜率为，因此，所求的切线方程为y—3=6(x—1)即6x—y—3=0

()求函数-》2+苫在苫=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.

△），一（一1+Ax）2+（―1+Ax）—2r

解:—=------------------------=3—Ax

AxAx

例.(课本例)如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

//(x)=-4.9x2+6.5x+10,根据图像，请描述、比较曲

线//⑺在，、t、t附近的变化情况.

012

解：我们用曲线力⑴在，、r、r处的切线，

0I2

线力Q)在上述三个时刻附近的变化情况.

()当"，时，曲线力⑺在/处的切线/平

000

行于X轴，所以，在f=t附近曲线比较

0

平坦，几乎没有升降.

()当，=，时，曲线人。)在，处的切线/的斜率〃'Q)<0,所以，在"，附近曲线下降,

11111

即函数〃(x)=-4.9x2+6.5x+10在/=，附近单调递减.

1

()当，=，时，曲线〃⑺在，处的切线/的斜率〃()<(),所以，在，=/附近曲线下降,

22222

即函数〃(x)=-4.9x2+6.5x+10在，=/附近单调递减.

2

从图可以看出，直线/的倾斜程度小于直线/的倾斜程度，这说明曲线在，附近比

121

在，附近下降的缓慢.

2

例.(课本例)如图，它表示人体血管中药物浓度c=/(f)单位：mg1mL

随时间r(单位:min)变化的图象.根据图像，估计f=0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓

度的瞬时变化率(精确到0.1).

解：血

管中某一

时刻药物

浓度的瞬

时变化

率，就是

药物浓度

/(，)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线/⑴在此点处的切线的斜率.

如图，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时

刻药物浓度瞬时变化率的近似值.

作”0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91),(1.0,0.48),则它的斜率为:

0.48-0.91

k»-1.4

1.0-0.7

所以((0.8)。―1.4

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:

药物浓度瞬时变化率/()

四.课堂练习

.求曲线在点(1,1)处的切线;

.求曲线卜=«在点(4,2)处的切线.

五.回顾总结

.曲线的切线及切线的斜率；

.导数的几何意义

六.教后反思：

§几个常用函数的导数

教学目标：

.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数＞=。、y=x、y=x2、=1的

X

导数公式；

.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.

教学重点：四种常见函数)，=c、y=x、y=x2、)，=_L的导数公式及应用

X

教学难点：四种常见函数y=c、y=x、y=m、y=L的导数公式

X

教学过程：

一.创设情景

我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某

一时刻的瞬时速度.那么，对于函数y=/(x),如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所

以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某

些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函

数的导数.

二.新课讲授

.函数y=/(x)=c、的导数

根据导数定义，因为竺J(x+©)/(x)===0

AxzkxAx

)，'=0表示函数y=c图像(图)上每一点处的切线的斜率都为.若y=c表示路程关

于时间的函数，则y'=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为，即物体一直处于静止状态.

.函数y=f(x)=x的导数

因为丝=/(x+&)-/(x)=x+Ar-x=]

AxAxAJV

所以y'=lim—=lim1=1

AA->0AA->0

函数导数

y'=l表示函数)，=x图像(图)上每一点处的切线的斜率都为.若)，=x表示路程关

于时间的函数，则)，'=1可以解释为某物体做瞬时速度为的匀速运动.

.函数y=/(x)=x2的导数

因为竺=/(x+Ax)-/(x)=(X+AX)2-X2

AxAxAx

所以y'=lim—=lim(2x+Ax)=2x

ADX41To

函数导数

y'=2x表示函数y=x2图像(图)上点(x,y)处的切线的斜率都为2x,说明随着x的

变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明:

当x<0时，随着x的增加，函数y=心减少得越来越慢；当x>0时，随着x的增加，函数y=式2

增加得越来越快.若>=尤2表示路程关于时间的函数，则y=2x可以解释为某物体做变速运

动，它在时刻x的瞬时速度为2x.

.函数y=/(x)=l的导数

x

1_1

因为a=/(x+Ar)/(x)=7T^一,

AxAxAx

所以y=lim—-=lim(------!-----)=-J_

oAxA-oX2+x-AxX2

.函数y=f(x)=y/x的导数

因为a=/(x+Ax)-/(x)=Jx+Ax-«

AvAxAx

.课本探究

.课本探究

四.回顾总结

五.教后反思：

§

教学目标：

.熟练掌握基本初等函数的导数公式；

.掌握导数的四则运算法则；

.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

教学过程：

一.创设情景

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

三.典例分析

例.假设某国家在年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p（单位：元）与时间f（单

位：年）有如下函数关系p«）=p（1+5%），,其中p为"0时的物价.假定某种商品的p=1,

000

那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到）？

解：根据基本初等函数导数公式表，有pH）=LO5"nl.O5

所以夕(10)=1.051。lnl.05ao.08(元年)

因此，在第个年头，这种商品的价格约为元年的速度上涨.

例.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.

()y=x3-2x+3

()下—匚下

()y=x-sinx-In%；

纵

/、1一Inx

(Jy=----------

1+lnx

()y=(2x2-5x+1)-ex；

/、smx-xcosx

()y=-----------------

cosx+xsinx

解：()y=(%3-2x+3)=(工3,-(2x)，+(3)，=3x2-2,

y-3x2-2o

()I」).=(1+后_(1-/

1+y/x1—yfx(1+(1—^X)2

()y=(x-sinx-lnx)'=[(x-ln%)•sinx\

/x、x-4x-x・(4t)'_1•4-v-x-4AIn4_l-xln4

)y=(L)'

4A(4A)2(4x)24x

l-xln4

1

/、4-lnx、/12、〜I、cT2

()y=(--------)=(-1+---------)1=2(--------)•=2-————=--------------

1+lnx1+lnx1+lnx(1+Inx)2x(l+lnx)2

()y=(2x2-5x4-1),-ex+(2x2-5x+l)・(e。

=(4x―5)-+(2x2-5x4-1)-ex=(2x2-x-4)-ex,

y-(2x2-x-4)e。

/、/sinx-xcosx、

()y=(-------------：­),

cosx+xsinx

X2

(cosx+xsinx)2

【点评】

①求导数是在定义域内实行的.

②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心.

例日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断

增加.已知将吨水净化到纯净度为X%时所需费用(单位：元)为

求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：()90%()98%

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.

()因为c(90)=5284=52.84,所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是

(100-90)2

元吨.

()因为c(98)=…5284_=]32i,所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是

(100-90)2

元吨.

函数/(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知，

。(98)=25。(90).它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%

左右时净化费用的瞬时变化率的倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，

而且净化费用增加的速度也越快.

四.课堂练习

.课本练习

.已知曲线：=一一+,求曲线上横坐标为的点的切线方程；

(=—+)

五.回顾总结

()基本初等函数的导数公式表

()导数的运算法则

六.教后反思：

§

教学目标理解并掌握复合函数的求导法则.

教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的

导数乘以中间变量对自变量的导数之积.

教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确.

.创设情景

(-)基本初等函数的导数公式表

函数导数

导数运算法则

匕(X)土g(x)]=/(x)土g，(x)

卜(*?(x)]=f(x)g(x)±f(x)g(x)

•

'f(x)'.=/(x)g(：)—；x)g(x)(g(x)HO)

_g(x)_Lg(x)Jp

()推论：L/(x)]=^y,(x)

(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)

二.新课讲授

复合函数的概念一般地，对于两个函数y=/(M)和“=g(x),如果通过变量“，y可

以表示成x的函数，那么称这个函数为函数>=/(〃)和〃=g(x)的复合函数，记作

>=/(g(x))。

复合函数的导数复合函数)，=/(g(x))的导数和函数y=/(，，)和，，=g(x)的导数间的

关系为即)，对x的导数等于y对〃的导数与〃对x的导数的乘积.

XUX

若y=/(g(x)),则y'=[/(g(x))]'=/'(g(x)>g'(x)

三.典例分析

例(课本例)求下列函数的导数：

()y=(2x4-3)2；()y=e-oo5x+i；

()y=sin(兀x+(p)(其中兀,<p均为常数).

解：（）函数y=（2x+3”可以看作函数），=〃2和〃=2x+3的复合函数。根据复合函数求

导法则有

y=yr-uf(W2)(2X4-3),=4W=8X+12。

（）函数y=e“5x+i可以看作函数y=e“和M=-0.05X+1的复合函数。根据复合函数求

导法则有

y'-y'-u'（e，，）（-0.05x+1）,--0.005=一（）.OO5e~og+i。

XUX

（）函数y=sin（兀x+（p）可以看作函数y=sin“和M=7tx+（p的复合函数。根据复合函

数求导法则有

y'=y'-u'（sin〃）'（兀x+（p）'=ncosu=7tcos（Kx+（p）0

XItX

例求y=sin（tan心）的导数.

解:y-[sin（tanxi）]'-cos（tanx2）-sec2（x2）-2x

【点评】

求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层

逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.

例乘:。的导和

y/x2-2ax

1•J尤2-2奴-(x-a)-—二2a

解：y=2正—26

X2-2ax

-a2_42“2-2ax

X2-2axyJxz—2ax(x2~

【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数.求导数后要予以化简整理.

例求=+的导数.

__1

【解法一】=+=+=

2

【解法二】'='+，+

=+

【点评】

解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确.解法二是利用复合函数求

导数，应注意不漏步.

例曲线=（+）（一）有两条平行于直线=的切线，求此二切线之间的

距离.

【解】=一++'=—++

令，=即__=,解得=_1或=.

3

于是切点为(，)，(一1,

327

过点的切线方程为，一=—即一+=.

显然两切线间的距离等于点到此切线的距离，故所求距离为

四.课堂练习

.求下列函数的导数；()y=sm2*iog(m-2)

2x-l«

求ln(2x2+3x+l)的导数

五.回顾总结

六.教后反思：

§

教学目标：

.了解可导函数的单调性与其导数的关系；

.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；

教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间

教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间

教学过程：

一.创设情景

函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的

快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质，我们

可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体

会导数在研究函数中的作用.

二.新课讲授

.问题：图(),它表示跳水运动中高

度"随时间r变化的函数

h(分-4A49的图像，5图10()表

示高台跳水运动员的速度v随时间f变化的函数

v(0=h«)=-9.St+6.5的图像.

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这

两段时间的运动状态有什么区别？

通过观察图像，我们可以发现：

()运动员从起点到最高点，离水面的

高度力随时间，的增加而增加，即〃⑴是增函数.相应地，v(r)=/i(z)>0.

()从最高点到入水，运动员离水面的高度〃随时间，的增加而减少，即〃⑴是减函

数.相应地，v(z)=/z(r)<0.

.函数的单调性与导数的关系

观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系.

如图，导数/(x)表示函数/(幻在点(x,)，)处的切线的斜率.

000

在x=x处，/(x)>0,切线是“左下右上”式的，这时，函数/(X)在X附近单调递

000

增；

在x=x处，/(x)<0,切线是“左上右下”式的，这时，函数/a)在X附近单调递

101

减.

结论：函数的单调性与导数的关系

在某个区间(。力)内，如果广(幻>0,那么函数)，=/*)在这个区间内单调递增；如果

/(x)<0,那么函数>=/(x)在这个区间内单调递减.

说明：()特别的，如果/(x)=O,那么函数y=/(x)在这个区间内是常函数.

•求解函数y=/(x)单调区间的步骤：

()确定函数y=/(x)的定义域；

()求导数y=f(x)；

()解不等式/〈幻〉。，解集在定义域内的部分为增区间；

()解不等式/〈©〈O,解集在定义域内的部分为减区间.

三.典例分析

例.已知导函数尸。)的下列信息：

当l<x<4时，/,(%)>0；

当x>4,或x<l时，/(X)<0；

当x=4,或x=l时，/(X)-0

试画出函数y=/(x)图像的大致形状.

解：当l<x<4时，f(x)>0,可知y=/(x)在此区间内单调递增；

当x>4,或x<l时，/(x)<0；可知y=/(x)在此区间内单调递减;

当x=4,或x=l时，「(x)=0,这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”.

综上，函数y=/(x)图像的大致形状如图所示.

例.判断下列函数的单调性，并求出单调区间.

()f(x)=%3+3x；()/(x)=x2-2x-3

()/(x)=sinx-xxe(0,7i)；()/(x)=2x3+3x2-24x+l

解：()因为/(x)=炉+3x,所以，

因此，/(x)=x3+3x在上单调递增，如图()所示.

()因为/(x)=尤2-2x-3,所以，/(X)=2x—2=2(x—1)

当/(x)〉0,即x>l时,函数/(x)=X2-2x-3单调递增；

当/,(x)<0,即x<l时，函数/(x)=x2-2x—3单调递减；

函数/(x)=x2-2》-3的图像如图()所示.

()因为/(x)=sinx-xxe(0,7t),所以，/(x)=cosx-1<0

因此，函数/(x)=sinx-x在(0,兀)单调递减，如图()所示.

()因为/(x)=2x3+3x2—24x+l,所以.

当f'(x)>0,即时,函数/(x)=X2-2x-3；

当/,(x)<0,即时，函数/(x)=x2-2x-3；

函数/(x)=2x3+3x2—24x+l的图像如图()所示.

注：()、()生练

例.如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积

相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度力与时间，的函数关系图像.

分析：以容器()为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增

加得慢，以后高度增加得越来越快.反映在图像上，()符合上述变化情况.同理可知其

它三种容器的情况.

解：(1)一(8),(2)f(A),(3)->(O),⑷->(C)

思考：例表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快

慢.结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？

一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的

快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些.

如图所示，函数y=/（x）在（0,外或Q,0）内的图像“陡峭”，

在伉+00）或Jo,内的图像“平缓”.

例.求证：函数y=2x3+3x2-12x+l在区间（一2,1）内是减函数.

证明：因为y=6尤2+6x-12=6（T2+X-2）=6（X-1）Q+2）

当xe（—2,1）即一2<X<1时