第18讲全等三角形讲义（6类知识点4类命题点AB分层）

第18讲全等三角形（解析版）第一部分知识点知识点1全等图形1．（2023秋•沧州期末）下列命题①两个图形全等，它们的形状相同；②两个图形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个图形全等；④周长相等的两个图形全等．其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路引领】能够完全重合的两个图形叫做全等形．强调能够完全重合，对选择项进行验证可得答案．【解答】解：①两个图形全等，它们的形状相同，故正确；②两个图形全等，它们的大小相同，故正确；③面积相等的两个图形全等，错误；④周长相等的两个图形全等，错误．所以只有2个正确，故选B．【总结提升】本题考查了全等形的概念，做题时要定义进行验证．知识点2全等三角形的性质2．（2023•成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为3．【思路引领】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝8，计算即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，又BC＝8，∴EF＝8，∵EC＝5，∴CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝3．故答案为：3．【总结提升】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．知识点2全等三角形的判定3．（2023•凉山州）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（）A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE【思路引领】根据BE＝CF求出BF＝CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∴当∠A＝∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意；当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意；当AB＝DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意；当AF＝DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意；故选：D．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．4．（2023•甘孜州）如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD【思路引领】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可．【解答】解：A、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；B、由AC∥BD可得∠A＝∠B，∠C＝∠D，可利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项符合题意；C、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；D、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；故选：B．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．（2023秋•阳谷县期末）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件AB＝AC．【思路引领】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）可得需要添加条件AB＝AC．【解答】解：还需添加条件AB＝AC，∵AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB=ACAD=AD∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），故答案为：AB＝AC．【总结提升】此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是正确理解：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．知识点4全等三角形的性质和判定6．（2023•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为3．【思路引领】先证明△ABE≌△CAF（AAS），根据全等三角形的性质可得AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，进一步可得EF的长．【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠FAC＝∠ABE，在△ABE和△CAF中，∠BEA=∠AFC∠ABE=∠FAC∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AF＝BE，AE＝CF，∵BE＝4，CF＝1，∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，∴EF＝AF﹣AE＝4﹣1＝3，故答案为：3．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．知识点5全等三角形的应用7．（2023秋•泸县期末）如图，某同学把一块玻璃打碎成4块，现在他打算带一块玻璃片到玻璃店去配一块与原来一样的玻璃，那么他应带（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【思路引领】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．【解答】解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，只有甲玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带甲去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的，故应带甲去．故选：A．【总结提升】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要根据已知条件进行选择运用．8．（2022秋•常德期末）如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS【思路引领】根据图示，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选：A．【总结提升】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．知识点6角平分线的性质与判定9．（2023•广州）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为6013【思路引领】过E作EH⊥AD于H，由角平分线的性质得到DE＝DF＝5，由勾股定理求出AD=AE2+DE2=13，由三角形面积公式得到13EH＝12×5，因此【解答】解：过E作EH⊥AD于H，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF＝5，∵AE＝12，∴AD=A∵△ADE的面积=12AD•EH=12∴13EH＝12×5，∴EH=60点E到直线AD的距离为6013故答案为：6013【总结提升】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，关键是由三角形的面积得到AD•EH＝AE•DE．第二部分命题点举一反三命题点1全等三角形的性质与判定【典例1】（2023•苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．（1）求证：△ADE≌△ADF；（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．【思路引领】（1）由角平分线定义得出∠BAD＝∠CAD．由作图知：AE＝AF．由SAS可证明△ADE≌△ADF；（2）由作图知：AE＝AD．得出∠AED＝∠ADE，由等腰三角形的性质求出∠ADE＝70°，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD．由作图知：AE＝AF．在△ADE和△ADF中，AE=AF∠BAD=∠CAD∴△ADE≌△ADF（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线，∴∠EAD=12∠由作图知：AE＝AD．∴∠AED＝∠ADE，∴∠ADE=1∵AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，∴AD⊥BC．∴∠BDE＝90°﹣∠ADE＝20°．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．【举一反三】1．（2023•南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC．求证：∠1＝∠2．小虎同学的证明过程如下：证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．∵∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C．……第一步又OA＝OA，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO．……第二步∴∠1＝∠2．……第三步（1）小虎同学的证明过程中，第二步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．【思路引领】（1）根据全等三角形的判定定理判断；（2）证明△DOB≌△EOC，根据全等三角形的性质得到OD＝OE，再证明Rt△ADO≌Rt△AEO，得到∠1＝∠2．【解答】（1）解：小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，故答案为：二；（2）证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，在△DOB和△EOC中，∠BDO=∠CEO∠DOB=∠EOC∴△DOB≌△EOC（AAS），∴OD＝OE，在Rt△ADO和Rt△AEO中，OD=OEOA=OA∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），∴∠1＝∠2，方法二：∵OD＝OE，∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠1＝∠2．【总结提升】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．2．（2023•营口）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．（1）求证：△ACE≌△BDF；（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．【思路引领】（1）根据全等三角形的判定定理证明△ACE≌△BDF即可；（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：在△ACE和△BDF中，∠A=∠B∠ACE=∠BDF∴△ACE≌△BDF（AAS）；（2）由（1）知△ACE≌△BDF，∴BD＝AC＝2，∵AB＝8，∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝4，故CD的长为4．【总结提升】此题主要考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握证明三角形全等是解决问题的关键．3．（2023•淮安）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝BC．【思路引领】由平行线的性质得∠EDB＝∠C，再证△BDE≌△ACB（AAS），即可得出结论．【解答】证明：∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠C，在△BDE和△ACB中，∠E=∠ABC∠EDB=∠C∴△BDE≌△ACB（AAS），∴DE＝BC．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．命题点2直角三角形全等的判定【典例2】（2022秋•勃利县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．【思路引领】（1）由已知条件，证明Rt△ABD≌Rt△CAE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE＝90°，即可证明AB⊥AC；（2）同（1），先证Rt△ABD≌Rt△CAE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE＝90°，即可证明AB⊥AC．【解答】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，∵AB=ACAD=CE∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC．∵∠DAB+∠DBA＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°．∠BAC＝180°﹣（∠BAD+∠CAE）＝90°．∴AB⊥AC．（2）AB⊥AC．理由如下：同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC，∵∠CAE+∠ECA＝90°，∴∠CAE+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，∴AB⊥AC．【总结提升】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，借助全等三角形的性质得到相等的角，然后证明垂直是经常使用的方法，注意掌握、应用．【举一反三】1．（2023春•垦利区期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．【思路引领】由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．【解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，BF=CEAB=CD∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．【总结提升】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE＝CF通过等量代换得到BF＝CE．2．（2023春•市中区期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF．求证：AB＝AC．【思路引领】利用“HL”证明△BED和△CFD全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠C，然后根据等角对等边即可得证．【解答】证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BED和△CFD都是直角三角形，在△BED和△CFD中，BD=CDBE=CF∴△BED≌△CFD（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC（等角对等边）．【总结提升】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等角对等边的性质，证明得到∠B＝∠C是解题的关键．命题点3全等三角形的实际应用【典例3】（2023•青秀区模拟）综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用三角尺测量物体的数学探究”实践活动．【实践发现】某小组的同学用若干个高度都是1cm的相同长方体小木块垒两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个直角三角尺（∠MCN＝90°），点C在线段AB上，点M和N分别与木墙的顶端重合，如图所示．探究1：如图1，当放置的是等腰直角三角尺（含45°的三角尺）时，同学们发现：两堵木墙高度之和等于两堵墙之间的距离，即AC、BC、AM、BN的数量关系为AC+BC＝AM+BN，请你判断同学们的结论是否正确，并说明理由；探究2：如图2，当放置的不是等腰直角三角尺时，∠MCN＝90°，试探究AC、BC、AM、BN的数量关系，并证明你的结论．【思路引领】探究1：根据等腰直角三角形的性质易证△ACM≌△BNC（AAS），根据全等三角形的性质即可得证；探究2：根据直角三角形的性质可证△AMC∽△BCN，根据相似三角形的性质即可确定AC、BC、AM、BN的数量关系．【解答】解：探究1：结论正确，理由如下：在等腰直角△MCN中，∠MCN＝90°，MC＝NC，∴∠MCA+∠BCN＝90°，∵MA⊥AB，NB⊥AB，∴∠MAC＝∠CBN＝90°，∴∠MCA+∠CMA＝90°，∴∠CMA＝∠BCN，在△ACM和△BNC中，∠MAC=∠CBN∠CMA=∠BCN∴△ACM≌△BNC（AAS），∴BC＝AM，AC＝BN，∴AC+BC＝AM+BN；探究2：AC•BC＝AM•AN，理由如下：∵∠MCN＝90°，∴∠ACM+∠BCN＝90°，∵MA⊥AB，NB⊥AB，∴∠MAC＝∠CBN，∴∠AMC+∠ACM＝90°，∴∠AMC＝∠BCN，∴△AMC∽△BCN，∴AM：BC＝AC：BN，即AC•BC＝AM•AN．【总结提升】本题考查了全等三角形的应用，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三垂直”模型是解题的关键．【举一反三】1．（2023•芙蓉区三模）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．【思路引领】（1）先证明∠ABC＝∠DEF，再根据ASA即可证明．（2）根据全等三角形的性质即可解答．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC与△DEF中∠ABC=∠DEFAB=DE∴△ABC≌△DEF（ASA）；（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，∵BE＝10m，BF＝3m，∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．【总结提升】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．2．（2023•思明区模拟）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE．求证：AB＝DE．【思路引领】直接利用SAS证明△ABC≌△DEC即可得结论．【解答】证明：由题意知CD＝CA，CE＝CB，在△ABC和△DEC中，CA=CD∠ACB=∠DCE∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB＝DE．【总结提升】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABC≌△DEC是解题的关键．3．（2023•武功县模拟）如图，某公园有一个人工湖，王平和李楠两人想知道这个人工湖的长度AB，但无法直接度量，于是他们准备用所学知识，设计测量方案进行测量．已知BP为垂直于AB的一条小路，且小路两侧除人工湖所占区域外，其他区域均可随意到达，他们两人所带的测量工具只有一根足够长的皮卷尺，请你帮王平和李楠两人设计一种测量方案．（1）请在图中画出测量示意图并写出测量数据（线段长度可用a、b、c…表示）；（不要求写出测量过程）（2）根据你的测量方案数据，计算出这个人工湖的长度AB．【思路引领】（1）在BP上选一点C，测量BC＝a，AC＝b，延长BC至D使CD＝a，延长AC至E使CE＝b，测量DE＝c；（2）利用SAS证明△ABC≌△EDC，则DE＝AB．【解答】解：（1）测量示意图如下所示：（2）在△ABC和△EDC中，AC=EC∠ACB=∠ECD∴△ABC≌△EDC（SAS），∴AB＝DE＝c．答：这个人工湖的长度AB为c．【总结提升】本题考查全等三角形的实际应用，解题的关键是构造△ABC≌△EDC．命题点4角平分线的性质与判定【典例4】（2023秋•师宗县期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求证：DE平分∠ADC；（2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．【思路引领】（1）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，先通过计算得出∠FAE＝∠CAD＝40，根据角平分线的性质得EF＝EG，EF＝EH，进而得EG＝EH，据此根据角平分线的性质可得出结论；（2）设EG＝x，由（1）得：EF＝EH＝EG＝x，根据S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8可求出x＝2.5，故得EF＝2.5，然后S△ABE＝1/2AB•EF可得出答案．【解答】（1）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，如图：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°，∴∠FAE＝∠CAD＝40，即CA为∠DAE的平分线，又EF⊥AB，EG⊥AD，∴EF＝EG，∵AE是∠ABC的平分线，∴EF＝EH，∴EG＝EH，∴点E在∠ADC的平分线上，∴DE平分∠ADC；（2）解：设EG＝x，由（1）得：EF＝EH＝EG＝x，∵S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8，∴12AD•EG+12CD即：4x+8x＝30，解得：x＝2.5，∴EF＝x＝2.5，∴S△ABE=12AB•EF=1【总结提升】此题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键．【举一反三】1．（2023秋•平舆县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．（1）试说明AD垂直平分EF；（2）若AB＝7，AC＝5，S△ABC＝24，∠BAC＝60°，求AD的长．【思路引领】（1）证明△ADE和△ADF全等即可解决问题．（2）利用面积法可求出DE的长，再根据∠BAC＝60°即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∵DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，∴∠AED＝∠AFD＝90°．在△AED和△AFD中，∠BAD=∠CAD∠AED=∠AFD∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF，∴点A和点D在EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF．（2）解：∵AB＝7，AC＝7，∴S△ABC又∵DE＝DF，∴DE＝4．∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝30°．∴AD＝2DE＝8．【总结提升】本题考查角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键．第三部分自我反馈分层训练A组1．（2023秋•宣化区期中）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（）A． B． C． D．【思路引领】利用全等图形的概念可得答案．【解答】解：A、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意；B、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意；C、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意；D、两个图形属于全等图形，故此选项符合题意；故选：D．【总结提升】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．2．（2023•柳州二模）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF相等，那么判定△ABC与△DEF全等的依据是（）A．HL B．ASA C．AAS D．SSS【思路引领】先根据BC＝EF，AC＝DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF．【解答】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC=DFBC=EF∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故选：A．【总结提升】本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，属较简单题目．3．（2022秋•鼓楼区期末）如图，两个三角形全等，则∠α的度数是（）A．50° B．58° C．72° D．60°【思路引领】根据全等三角形的对应角相等解答．【解答】解：∵两个三角形全等，∴∠α＝50°，故选：A．【总结提升】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．4．（2023秋•荔城区期中）如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点均在格点上，则∠1+∠2＝90°．【思路引领】首先证明△COD≌△AOB，利用全等三角形的性质可得∠1＝∠BAO，进而可得答案．【解答】解：由题意可得CO＝AO，BO＝DO，在△COD和△AOB中AO=CO∠O=∠O∴△COD≌△AOB（SAS），∴∠1＝∠BAO，∵∠2+∠BAO＝90°，∴∠1+∠2＝90°．故答案为：90．【总结提升】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的判定方法和性质．5．（2023秋•万年县期末）如图，要使△AOB≌AOC，在∠1＝∠2的情况下，还需添加一个条件是OB＝OC（或∠B＝∠C或∠BAO＝∠CAO）答案不唯一（填一个即可）．【思路引领】先根据等角的余角相等得到∠AOB＝∠AOC，加上OA为公共边，所以可根据“SAS”或“AAS”或“ASA”添加条件．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠AOB＝∠AOC，∵AO＝AO，∴当添加OB＝OC时，△AOB≌AOC（SAS）；当添加∠B＝∠C时，△AOB≌AOC（AAS）；当添加∠BAO＝∠CAO时，△AOB≌AOC（ASA）．故答案为：OB＝OC（或∠B＝∠C或∠BAO＝∠CAO）．答案不唯一【总结提升】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．6．（2023秋•浙江期中）如图，B、E、C、F四点在同一直线上，且BE＝CF，AC＝DF，添加一个条件AB＝DE（答案不唯一），使△ABC≌△DEF（写出一个即可）．【思路引领】根据全等三角形的判定添加合适的条件即可．【解答】解：添加AB＝DE（答案不唯一），证明如下：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝FE，∵AC＝DF，AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（SSS），故答案为：AB＝DE（答案不唯一）．【总结提升】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．7．（2023春•泗县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等．【思路引领】当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等，根据HL定理推出即可．【解答】解：当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等，理由是：∵∠C＝90°，AO⊥AC，∴∠C＝∠QAP＝90°，①当AP＝5＝BC时，在Rt△ACB和Rt△QAP中AB=PQBC=AP∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），②当AP＝10＝AC时，在Rt△ACB和Rt△PAQ中AB=PQAC=AP∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），故答案为：5或10．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．8．（2023秋•唐山期末）如图，∠A＝∠B＝50°，P为AB中点，过P点作直线分别交射线AC、BD于点M、N（分别不与点A、B重合），设∠BPN＝α．（1）求证：PM＝PN；（2）当△APM为直角三角形时，求α的度数．【思路引领】（1）根据AAS证明△APM≌△BPN，根据全等三角形的性质即可得解；（2）分两种情况，根据三角形内角和定理求解即可．【解答】（1）证明：∵P是AB的中点，∴PA＝PB，在△APM和△BPN中，∠A=∠BPA=PB∴△APM≌△BPN（ASA），∴PM＝PN；（2）解：∵∠A＝50°，∴当△APM为直角三角形时，∠APM＝90°或∠AMP＝90°，当∠APM＝90°时，α＝∠APM＝90°，当∠AMP＝90°时，∠APM＝180°﹣∠AMP﹣∠A＝40°，∴α＝40°，综上，当△APM为直角三角形时，α的度数为90°或40°．【总结提升】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．9．（2023•宜宾）已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：∠B＝∠E．【思路引领】由AF＝DC，得AC＝DF，由AB∥DE，得∠A＝∠D，即可证△ABC≌△DEF（SAS），故∠B＝∠E．【解答】证明：∵AF＝DC，∴AF+CF＝DC+CF，即AC＝DF，∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠A=∠D∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠B＝∠E．【总结提升】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理．10．（2023•福建）如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．【思路引领】根据角的和差求得∠AOB＝∠COD，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠AOD＝∠COB，∴∠AOD﹣∠BOD＝∠COB﹣∠BOD，即∠AOB＝∠COD．在△AOB和△COD中，OA=OC∠AOB=∠COD∴△AOB≌△COD（SAS），∴AB＝CD．【总结提升】本题考查了等式的基本性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．11．（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝90°，作CD⊥AC，且使CD＝AC，作DE⊥BC，交BC的延长线于点E．求证：CE＝AB．【思路引领】根据余角的性质证得∠A＝∠DCE，然后根据AAS即可证得△ABC≌△CED，据全等三角形的对应边相等，即可证得．【解答】证明：∵DC⊥AC于点C，∴∠ACB+∠DCB＝90°∵∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠A＝90°∴∠A＝∠DCE∵DE⊥BC于点E，∴∠E＝90°∴∠B＝∠E．在△ABC和△CED中，∠B=∠E∠A=∠DCE∴△ABC≌△CED（AAS）．∴AB＝CE．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等的基本思路是证明三角形全等．12．（2023•大连）如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．【思路引领】由已知∠ACF+∠AED＝180°，可得到∠ACB＝∠AED，再利用SAS证明△ABC≌△ADE，从而得到AB＝AD．【解答】证明：∵∠ACF+∠AED＝180°，∠ACF+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝∠AED，在△ABC和△ADE中，AC=AE，∠ACB=∠AED，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴AB＝AD．【总结提升】本题考查全等三角形的判定，掌握SAS判定定理是解题的关键．13．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．【思路引领】（1）利用“AAS”可证明△ABE≌△ACD；（2）先利用全等三角形的性质得到AD＝AE＝6，再利用勾股定理计算出AC，从而得到AB的长，然后计算AB﹣AD即可．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，在△ABE和△ACD中，∠AEB=∠ADC∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△ACD，∴AD＝AE＝6，在Rt△ACD中，AC=A∵AB＝AC＝10，∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．B组1．（2022秋•桥西区期末）下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D C．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DF D．△ABC的周长等于△DEF的周长【思路引领】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，结合选项逐一检验．【解答】解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F是AAA，不能判定两三角形全等，故选项不符合题意；B、AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D是SSA，不能判定两三角形全等，故选项不符合题意；C、∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DF符合ASA，能判定两三角形全等，故选项符合题意；D、△ABC的周长等于△DEF的周长，三边不可能相等，故选项不符合题意．故选：C．【总结提升】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．2．（2023秋•陇县期中）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，∠B＝∠E，添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEC的是（）A．∠ECB＝∠DCA B．BC＝EC C．∠A＝∠D D．AC＝DC【思路引领】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：∵AB＝DE，∠B＝∠E，∴当添加∠ECB＝∠DCA，则∠ACB＝∠DCE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△DEC；当添加BC＝EC，则可根据“SAS”判断△ABC≌△DEC；当添加∠A＝∠D，则可根据“ASA”判断△ABC≌△DEC．故选：D．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．3．（2022秋•海丰县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则AP的值为（）A．6cm B．12cm C．12cm或6cm D．以上答案都不对【思路引领】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝6cm，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC＝12cm，P、C重合．【解答】解：①当AP＝CB时，∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△APQ与Rt△CBA中，PQ=BAAP=CB∴Rt△APQ≌Rt△CBA（HL），即AP＝BC＝6cm；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△QAP与Rt△BCA中，QP=ABAP=AC∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），即AP＝AC＝12cm．综上所述，AP＝6cm或12cm．故选：C．【总结提升】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．4．（2022秋•龙沙区期末）下列说法错误的是（）A．一条直角边和斜边分别对应相等的两个直角三角形全等 B．有一边相等的两个等边三角形全等 C．两边及一角对应相等的两个三角形全等 D．顶角及一腰对应相等的两个等腰三角形全等【思路引领】根据全等三角形的判定定理逐项分析判断即可求解．【解答】解：A．一条直角边和斜边分别对应相等的两个直角三角形全等，故该选项正确，不符合题意；B．有一边相等的两个等边三角形全等，故该选项正确，不符合题意；C．两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，可能角不是两边的夹角，不能判断两三角形全等，故该选项不正确，符合题意；D．顶角及一腰对应相等的两个等腰三角形全等，故该选项正确，不符合题意；故选：C．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，HL判断直角三角形全等，掌握以上知识是解题的关键．5．（2023•北京）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：①a+b＜c；②a+b＞a③2（a+b）＞c．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【思路引领】①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可；②在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答；③将c用a和b表示出来，再进行比较．【解答】解：①过点D作DF∥AC，交AE于点F；过点B作BG⊥FD，交FD于点G．∵DF∥AC，AC⊥AE，∴DF⊥AE．又∵BG⊥FD，∴BG∥AE，∴四边形ABGF为矩形．同理可得，四边形BCDG也为矩形．∴FD＝FG+GD＝a+b．∴在Rt△EFD中，斜边c＞直角边a+b．故①正确．②∵△EAB≌△BCD，∴AE＝BC＝b，∴在Rt△EAB中，BE=A∵AB+AE＞BE，∴a+b＞a故②正确．③∵△EAB≌△BCD，∴∠AEB＝∠CBD，又∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠CBD+∠ABE＝90°，∴∠EBD＝90°．∵BE＝BD，∴∠BED＝∠BDE＝45°，∴BE=a2+b2∴c=2∵[2(a+b)]2=2（a2+2ab+b2）＝2（a2+b2）+4ab＞2（a∴2(a+b)＞∴2(a+b)＞c故③正确．故选：D．【总结提升】本题考查全等三角形的性质．虽然是选择题，但计算量不小，比较繁琐，需要细心、耐心．6．（2023秋•仁寿县期末）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动0，2，6，8秒时，△DEB与△BCA全等．【思路引领】此题要分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC＝BE，AC＝BE进行计算即可．【解答】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8﹣4＝4，∴点E的运动时间为4÷2＝2（秒）；②当E在BN上，AC＝BE时，∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8+4＝12，∴点E的运动时间为12÷2＝6（秒）；③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，AE＝8+8＝16，点E的运动时间为16÷2＝8（秒），故答案为：0，2，6，8．【总结提升】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．（2022秋•义乌市期末）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是ASA．【思路引领】根据全等三角形的判定方法解决此题．【解答】解：由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边．∴根据三角形的判定方法ASA可解决此题．故答案为：ASA．【总结提升】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键．8．（2023秋•中江县期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝22，AC＝28，点P以每秒1个单位的速度按B﹣A﹣C的路径运动，点Q以每秒2个单位的速度按C﹣A﹣B的路径运动，在运动过程中过点P作PF⊥l于点F，点Q作QG⊥l于点G，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动t秒时△PFA≌△AGQ，则t的值是6或503【思路引领】当P在AB上，Q在AC上时，由△PFA≌△AGQ，推出AP＝AQ，得到22﹣t＝28﹣2t，求出t＝6，当P在AC上，Q在AB上时，由△PFA≌△AGQ，推出AQ＝AP，得到2t﹣28＝t﹣22，求出t＝6，不符合题意，舍去；当P、Q在AB上重合时，得到t+2t＝22+28，求出t=503，于是得到t＝6或【解答】解：当P在AB上，Q在AC上时，∴AP＝AB﹣PB＝22﹣t，AQ＝AC﹣CQ＝28﹣2t，∵△PFA≌△AGQ，∴AP＝AQ，∴22﹣t＝28﹣2t，∴t＝6，当P在AC上，Q在AB上时，∴AQ＝2t﹣28，AP＝t﹣22，∵△PFA≌△AGQ，∴AQ＝AP，∴2t﹣28＝t﹣22，∴t＝6，不符合题意，舍去；当P、Q在AB上重合时，∴t+2t＝22+28，∴t=50∴t＝6或503故答案为：6或503【总结提升】本题考查全等三角形的性质，关键是要分情况讨论．9．（2023秋•夏邑县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥CD，△ABD的面积为9，△BCD的面积为4，则△ACD的面积等于5．【思路引领】延长CD交AB于E，根据已知条件证得△AED≌△ACD，推出DE＝DC，得出S△BED＝S△BCD＝4，进而求出S△AED＝S△ACD＝5．【解答】解：如图，延长CD交AB于E，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵AP⊥BP，∴∠ADE＝∠ADC＝90°，在△AED和△ACD中，∠EAD=∠CADAD=AD∴△ABP≌△EBP（ASA），∴DE＝DC，∵△BCD的面积为4，S△BED＝S△BCD＝4，∵△ABD的面积为9，∴S△AED＝S△ACD＝5．故答案为：5．【总结提升】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．10．（2023秋•潮南区期末）如图，△ABC是等边三角形，D点是BC上一点，BD＝2CD，DE⊥AB于点E，CE交AD于点P，则∠APE的度数为60°．【思路引领】由等边三角形的性质得到∠B＝∠ACB＝60°，BC＝AC，求出∠BDE＝90°﹣60°＝30°，得到BD＝2BE，又BD＝2CD，因此EB＝CD