13.3.1等腰三角形的性质讲义2024年华东师大版八年级数学上册

等腰三角形的性质讲义2024年华东师大版八年级数学上册情景目标导引情景导入汶川地震过后，某中学小亮同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边中点D固定线绳的一端，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边紧贴在房梁上，结果，线绳经过三角尺的直角顶点，由此小亮同学认为房梁是水平的．你认为小亮的判断正确吗？请你用本小节的几何知识加以说明．基本目标1．熟悉和掌握等腰三角形的性质，能灵活的使用等腰三角形的性质解决相关问题。2．通过学生的分析、练习，是学生进一步理解、掌握相关知识。3．学生通过积极参与与感受到学习的乐趣，激发学生的兴趣。重点难点1.等腰三角形等边对等角的性质。（重点）2.通过操作，如何观察、分析、归纳得出等腰三角形的性质。（难点）基础知识详解知识点一等腰三角形的概念内容叙述两条边相等的三角形叫等腰三角形。相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。知识详解如图所示，在△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形。相等的两边AB、AC就是腰，BC就是底边；两腰的夹角∠BAC，就是顶角；腰与底边的夹角∠ABC，∠ACB就是底角。特别提醒(1)等腰三角形是特殊三角形，它具有三角形的性质。(2)等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。（3）等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a．(4)等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=．例1.

若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为______．解析：(1)若这个内角恰好是顶角，则顶角是50°；(2)若这个内角是底角，则顶角＝180°－2×50°＝80°．答案：50°或80°．点拨：当等腰三角形已知的角没指明是顶角还是底角时，或者已知的边没指明是腰还是底边时，若者已知的顶点没指明是顶角的顶点还是底角的顶点时，均需要分类讨论．变式练习1.（2013·山东滨州）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B=______________．知识点二等腰三角形的性质（重点、难点）内容叙述有两边相等的三角形叫做等腰三角形。知识详解等腰三角形的性质的有关定理及其推论

定理：等腰三角形有两边相等；

定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

特别提醒等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。例

2．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE,∠D=740,，则∠B的度数为（）A、680B、320C、220D、160解析：在△CDE中，∵CD=CE，∴∠D=∠DEF=74°,∴∠C=180°2×74°=32°.∵AB∥CD，∴∠B=∠C=32°.答案：B点拨：本题考查了平行线性质、等腰三角形性质、三角形内角和.本题把平行线、三角形内角和、等腰三角形基础知识进行简单组合进行考查.注意“等边对等角”前提是在同一个三角形中，也就是是等腰三角形的重要性质.变式练习2.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）A． 18° B． 24° C． 30° D． 36°知识点三等边三角形的概念及其性质内容叙述

三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。知识详解等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等；

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。特别提醒等边三角形也称为正三角形。等边三角形是一种特殊的等腰三角形。它除了具有它本身所具有的性质外，还具有等腰三角形的所有性质。例3.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度．解析：根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．答案：15点拨：本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．变式练习3.如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（）A．60° B．45° C．40° D．30°思维误区诊断误区一对等腰三角形的概念理解不透彻造成漏解例等腰三角形中，已知两边的长分别是9和10，则周长为______.错解：28正解：28或29错因分析：本题易出现错误是只求出一个解，忽略另一种情况。思路分析:本题主要考查等腰三角形三边之间的关系满足两个条件：1.任意两边之和大于第三边。2.有其中两边相等。（1）当第三边长为9时，则周长为9+9+10＝28（2）当第三边长为10时，则周长为9+10+10＝29所以，等腰三角形中，两边的长分别是9和10，则周长为28或29。误区二忽略了三角形的高线的位置情况导致错误例2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则顶角的度数为（）A．30° B．30°或150° C．60°或150° D．60°或120°错解：A解：如图，∵∠ABD=60°，BD是高，

∴∠A=90°∠ABD=30°；

正解：B解：如图1，∵∠ABD=60°，BD是高，

∴∠A=90°∠ABD=30°；

如图2，∵∠ABD=60°，BD是高，

∴∠BAD=90°∠ABD=30°，

∴∠BAC=180°∠BAD=150°；

∴顶角的度数为30°或150°．

故选B．错因分析：只考虑到腰上的高线在三角形的内部是产生错解的原因。思路分析:在处理三角形的高的问题时，要注意：当三角形是钝角三角形时，有两条高在三角形外；但三角形是锐角三角形时，三条高都在三角形内；当三角形是直角三角形时，有两条高于直角边重合。综合题型展示题型一等腰三角形中角度的计算例1.等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°解析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选B．点拨：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．例2.如图，在△ABC中，已知∠ABC=46°，∠ACB=80°，延长BC至D，使CD=CA，连接AD，求∠BAD的度数．分析：要求∠BAD的度数，只要求出∠C的度数就行了，根据三角形内角和为180°，求出∠BAD的度数，根据三角形内角和外角关系及等腰三角形性质，易求∠C的度数．解：∵∠ACB=80°∴∠ACD=180°∠ACB=180°80°=100°

又∵CD=CA∴∠CAD=∠D

∵∠ACD+∠CAD+∠D=180°∴∠CAD=∠D=40°

在△ABC内∴∠BAD=180°∠ABC∠D=180°46°40°=94°．点拨：此题主要考三角形内角与外角的关系及等腰三角形的性质；找出角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．题型二等腰三角形中有关边的计算或证明例3.等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（）A． 25 B． 25或32 C．32 D． 19解析： 因为已知长度为6和13两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．①当6为底时，其它两边都为13，6、13、13可以构成三角形，周长为32；②当6为腰时，其它两边为6和13，∵6+6＜13，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有32．答案：C．点拨： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．例4.如图，已知△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB和BC上的点，连接DE并延长与AC的延长线交于点F，若DE=EF，求证：BD=CF．分析：过D作DG∥AF交BC于G，证明△DGE≌△FCE，得出DG=CF，再证明DB=DG，通过等量代换得到BD=CF．证明：过D作DG∥AF交BC于G，如图，

则∠F=∠GDE，DE=EF，∠DEG=∠FEC，∴△DGE≌△FCE（ASA），∴GD=CF，

∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，又∵DG∥AF，∴∠ACB=∠BGD，∴∠B=∠BGD，∴BD=GD，

又∵GD=CF，∴BD=CF．点拨：本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；解题中主要利用全等三角形对应边相等和等角对等边的性质解答，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，也是难点．题型三利用等腰三角形的性质证明角相等例5.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．求证：∠ADE=∠AED．分析：根据等腰三角形等边对等角的性质可以得到∠B=∠C，然后证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等有AD=AE，再根据等边对等角的性质即可证明．证明：法一：∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角），在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∴∠ADE=∠AED（等边对等角）．

法二：过点A作AM⊥BC于M，∵AB=AC，∴BM=CM，∵BD=CE，∴DM=EM，∴AD=AE，∴∠ADE=∠AED（等边对等角）．点拨：本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，找出已知边的夹角相等是证明三角形全等的关键，也是本题的突破点．题型四等边三角形性质的应用例6.如图，△ABC是一个等边三角形，点D、E分别在AB、AC上，F是BE和CD的交点，已知∠BFC=120°．求证：AD=CE．分析：首先∠BFC=120°可以得到∠ECF=∠BFC∠CEB=120°∠CEB，又由△ABC是等边三角形可以推出∠EBC=180°60°∠CEB=120°∠CEB，由此得到∠DCA=∠EBC，然后利用等边三角形的性质证明△ACD≌△CBE，再利用全等三角形的性质即可证明题目结论．证明：∵∠BFC=120°，∴∠ECF=∠BFC∠CEB=120°∠CEB，

又△ABC是等边三角形，∴∠EBC=180°60°∠CEB=120°∠CEB，

∴∠ECF=∠EBC，即∠DCA=∠EBC，

又∵△ABC是等边三角形，∴∠CAD=∠BCE=60°，AC=CB

∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE．点拨：本题考查了全等三角形的判定及性质及等边三角形的性质；此题把全等三角形放在等边三角形的背景中，利用等边三角形的性质来证明三角形全等，最后利用全等三角形的性质解决问题，而∠DCA=∠EBC的得到既是证明三角形全等的关键，又是正确解答本题的关键．题型五有关等腰三角形（等边三角形）的探究题例7.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．

（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；

（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．分析：（1）连接AD，根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；

（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积三角形ACD的面积．解：（1）DE+DF=CG．

证明：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB•CG=AB•DE+AC•DF，

∵AB=AC，∴CG=DE+DF．

（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DEDF=CG．

理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB•DE=AB•CG+AC•DF

∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DEDF=CG．

同理当D点在CB的延长线上时，则有DEDF=CG，说明方法同上．点拨：本题考查了等腰三角形的性质；在解决一题多变的时候，基本思路是相同的；注意通过不同的方法计算同一个图形的面积，来进行证明结论的方法，是非常独特的，也是一种很好的方法，注意掌握应用．本节巩固训练 基础过关1.若等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长为（） A． 12 B． 16 C． 20 D． 16或202．若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（）A． 80° B． 50° C． 40° D． 20°3.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 54.如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为（）A．30° B．36° C．38° D．45°5.如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，∠ADE=48°，则下列结论中不正确的是（）A．∠B=48° B．∠AED=66° C．∠A=84° D．∠B+∠C=96°6.已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是（）A．两条边长分别为4，5，它们的夹角为βB．两个角是β，它们的夹边为4C．三条边长分别是4，5，5D．两条边长是5，一个角是β7.如图，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．128.如图，△ABD与△ACE均为正三角形，且AB＜AC，则BE与CD之间的大小关系是（）A．BE=CD B．BE＞CDC．BE＜CD D．大小关系不确定9.如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（）A．60° B．45° C．40° D．30°10.在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B=．11.如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，则∠EDC的度数为．12.已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是．能力提升13.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．

求证：AD=AE．14.如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．(1)求证：BE＝CE；(2)若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，如图2，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．ABCDABCDE(图1)ABCDEF(图2)15.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，CD为腰AB上的高，求∠BCD的度数．16.已知：等边△ABC中，点O是边AC，BC的垂直平分线的交点，M，N分别在直线AC，BC上，且∠MON=60°．

（1）如图1，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；

（2）如图2，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，当点M在边AC上，点N在BC

的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．

参考答案：基础知识详解变式练习1.SKIPIF1<02.A3.A本节巩固训练1.C2.B3.D4.B5.B6.D7.B【解析】AC与DF是对应边，AC=2，则DF=2，向右平移一个单位，则AD=1，BF=3，故其周长为2+1+2+3=8．8.A9.A10.65°11.15°12.15°或75°13.证明：过点A作AF⊥BC于点F，∵AB=AC，∴BF=CF，

∵BD=CE，∴DF=EF，∴AD=AE．14.证明：(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE．在△ABE和△ACE中，∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，△ABE≌△ACE．∴BE＝CE．(2)∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，∴△ABF为等腰直角三角形．∴AF＝BF．由(1)知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF．在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°，∠EAF＝∠CBF，∴△AEF≌△BCF．15.解：∵AB=AC∴∠C=∠B

∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=50°∴∠C=∠B=65°

∵CD⊥AB∴∠A+∠ACD=90°∴∠ACD=40°∴∠BCD=25°．16.解：（1）MN=AMCN，

理由是：在AM上截取AN′=CN，连接ON′，OC，OA，

∵O是边AC和BC垂直平分线的交点，△ABC是等边三角形，∴OC=OA，O也是等边三角形三个角的平分线交点，

∴∠OCA=∠OAB=∠OCN=×60°=30°，∴∠AOC=180°30°30°=12