江苏省南京市育英外学校2024年八年级下册数学期末统考试题含解析

江苏省南京市育英外学校2024年八年级下册数学期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（）A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6m2．如果不等式（a+1）x＜a+1的解集为x＞1，那么a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a＞﹣13．某区选取了10名同学参加兴隆台区“汉字听取大赛”，他们的年龄(单位：岁)记录如下：年龄(单位：岁)1314151617人数22321这些同学年龄的众数和中位数分别是()A．15，15 B．15，16 C．3，3 D．3，154．方程的解是A． B． C． D．或5．下列图象中，不能表示是的函数的是（）A． B． C． D．6．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与的图像交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数的图像于点C，连接BC，则△ABC的面积为（）A．4 B．8 C．12 D．167．一组数据3、2、1、2、2的众数，中位数，方差分别是（）A．2，1，0.4 B．2，2，0.4C．3，1，2 D．2，1，0.28．如图，直线y=kx+b交坐标轴于A(-3,0)、B(0,1)两点，则不等式-kx-b<0的解集为（）A．x<-3 B．x>-3 C．x<3 D．x>39．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（）A．13 B．9 C．8.5 D．6.510．如图，两个大小不同的正方形在同一水平线上，小正方形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x，两个正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a﹡b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）﹡3＝0的解为_____．12．在平面直角坐标系中，正方形、、，…，按图所示的方式放置.点、、，…和点、、，…分别在直线和轴上.已知，，则点的坐标是______.13．对任意的两实数,用表示其中较小的数，如，则方程的解是__________.14．如图，在△ABC中，∠CAB=70º，在同一平面内，将△ABC绕点逆时针旋转50º到△的位置，则∠=_________度.15．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°,M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，E、F分别为DM,MN的中点，若AB=23, 16．分式有意义的条件是______．17．如图，在矩形中，点在对角线上，过点作，分别交，于点，，连结，.若，，图中阴影部分的面积为，则矩形的周长为_______.18．若数据a1、a2、a3的平均数是3，则数据2a1、2a2、2a3的平均数是_____．三、解答题(共66分)19．（10分）已知一次函数的图象经过点（1，3）与（﹣1，﹣1）（1）求这个一次函数的解析式；（2）试判断这个一次函数的图象是否经过点（﹣，0）20．（6分）学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试，他们各自的成绩（百分制）如表：选手表达能力阅读理解综合素质汉字听写甲85788573乙73808283（1）由表中成绩已算得甲的平均成绩为80.25，请计算乙的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁；（2）如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们2、1、3和4的权，请分别计算两名选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁．21．（6分）如图，矩形中，点分别在边与上，点在对角线上，，.求证：四边形是平行四边形.若，，，求的长.22．（8分）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为,，．若,则正方形EFGH的面积为_______．23．（8分）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．24．（8分）某汽车销售公司经销某品牌款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车，已知款汽车每辆进价为7.5万元，款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于102万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）按照（2）中两种汽车进价不变，如果款汽车每辆售价为8万元，为打开款汽车的销路，公司决定每售出一辆款汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是多少？25．（10分）如图，在矩形中，.(1)请用尺规作图法，在矩形中作出以为对角线的菱形，且点分别在上.(不要求写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，求菱形的边长.26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣4，2），C（﹣1，4）（注：每个方格的边长均为1个单位长度）．（1）将△ABC沿着水平方向向右平移6个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）作出将△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出的坐标；（3）△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【解析】

根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案．【详解】解：由题意可得：AE＝2m，CE＝0.5m，DC＝1.5m，∵△ABC∽△EDC，∴DCAB即1.5AB解得：AB＝6，故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解答此题的关键．2、B【解析】（a+1）x＜a+1，

当a+1＜0时x＞1，

所以a+1＜0，解得a＜-1，

故选B．【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，熟知不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解答此题的关键．3、A【解析】

根据众数的定义和中位数的定义求解即可，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【详解】解：根据10名学生年龄人数最多的即为众数：15，

根据10名学生，第5,6名学生年龄的平均数即为中位数为：15+152【点睛】本题考查了众数和中位数的定义，解题的关键是牢记定义，并能熟练运用．4、D【解析】

方程移项后，分解因式利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】方程x1=1x，移项得：x1-1x=0，分解因式得：x（x-1）=0，可得x=0或x-1=0，解得：x1=0，x1=1．故选：D．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．5、D【解析】

根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，可得答案．【详解】A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故A不符合题意；

B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故B不符合题意；

C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C不符合题意；

D、不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故D符合题意；

故选：D．【点睛】考查了函数的定义，利用了函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．6、C【解析】

根据正比例函数y=kx与反比例函数的图象交点关于原点对称，可得出A、B两点坐标的关系，根据垂直于y轴的直线上任意两点纵坐标相同，可得出A、C两点坐标的关系，设A点坐标为（x，），表示出B、C两点的坐标，再根据三角形的面积公式即可解答．【详解】∵正比例函数y=kx与反比例函数的图象交点关于原点对称，∴设A点坐标为（x，），则B点坐标为（-x，），C（-2x，），∴S△ABC=×（-2x-x）•（）=×（-3x）•（）=1．故选C．【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数图象的特点，垂直于y轴的直线上任意两点的坐标特点，三角形的面积，解答此题的关键是找出A、B两点与A、C两点坐标的关系．7、B【解析】试题解析：从小到大排列此数据为：1，2，2，2，3；数据2出现了三次最多为众数，2处在第3位为中位数．平均数为（3+2+1+2+2）÷5=2，方差为[（3-2）2+3×（2-2）2+（1-2）2]=0.1，即中位数是2，众数是2，方差为0.1．故选B．8、B【解析】

求-kx-b<0的解集，即为kx+b>0，就是求函数值大于0时，x的取值范围．【详解】∵要求−kx−b<0的解集，即为求kx+b>0的解集，∴从图象上可以看出等y>0时，x>−3.故选：B【点睛】此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键在于结合函数图象进行解答.9、D【解析】

根据题意首先利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行解答即可．【详解】解：由勾股定理得，斜边，所以斜边上的中线长.故选：D.【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理，熟记相关性质是解题的关键．10、C【解析】

小正方形运动过程中，y与x的函数关系为分段函数，即当0≤x＜完全重叠前，函数为为增函数；当完全重叠时，函数为平行于x轴的线段；当不再完全重叠时，函数为为减函数．即按照自变量x分为三段．【详解】解：依题意，阴影部分的面积函数关系式是分段函数，

面积由“增加→不变→减少”变化．

故选C．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象．关键是理解图形运动过程中的几个分界点．本题也可以通过分析s随x的变化而变化的趋势及相应自变量的取值范围，而不求解析式来解决问题．二、填空题(每小题3分,共24分)11、x=2、-4【解析】

先根据新定义得到，再移项得，然后利用直接开平方法求解.【详解】(x+1)﹡3＝0，，，，所以、.故答案为：、.【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：如果方程化成的形式，那么可得，如果方程能化成（）的形式，那么.12、【解析】

由正方形的轴对称性，由C1、C2的坐标可求A1、A2的坐标，将A1、A2的坐标代入y=kx+b中，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，从而求直线解析式，由正方形的性质求出OB1，OB2的长，设B2G=A3G=t，表示出A3的坐标，代入直线方程中列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，确定出A3的坐标．【详解】连接A1C1，A2C2，A3C3，分别交x轴于点E、F、G，∵正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2，

∴A1与C1关于x轴对称，A2与C2关于x轴对称，A3与C3关于x轴对称，

∵C1（1，-1），C2（，−），

∴A1（1，1），A2（，），

∴OB1=2OE=2，OB2=OB1+2B1F=2+2×（-2）=5，

将A1与A2的坐标代入y=kx+b中得：，

解得：，

∴直线解析式为y=x+，

设B2G=A3G=t，则有A3坐标为（5+t，t），

代入直线解析式得：t=（5+t）+，

解得：t=，

∴A3坐标为.故答案是：.【点睛】考查了一次函数的性质，正方形的性质，利用待定系数法求一次函数解析式，是一道规律型的试题，锻炼了学生归纳总结的能力，灵活运用正方形的性质是解本题的关键．13、，【解析】

此题根据题意可以确定max(2,2x-1)，然后即可得到一个一元二次方程，解此方程即可求出方程的解．【详解】①当2x-1>2时，∵max（2，2x-1）=2，∴xmax(2，2x-1)=2x，∴2x=x+1解得，x=1，此时2x-1>2不成立；②当2x-1<2时，∵max（2，2x-1）=2x-1，∴xmax(2，2x-1)=2x2-x，∴2x2-x=x+1解得，，.故答案为：，.【点睛】本题立意新颖，借助新运算，实际考查解一元二次方程的解法．14、10【解析】

根据旋转的性质找到对应点、对应角进行解答．【详解】∵△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AB′C′，∴∠BAB′=50°，又∵∠BAC=70°，∴∠CAB′=∠BAC-∠BAB′=1°．故答案是：1．【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点--旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．15、1【解析】

连接BD、DN，根据勾股定理求出BD，根据三角形中位线定理解答．【详解】解：连接BD、DN，在RtΔABD中，∵点E、F分别为DM、MN的中点，∴EF=1由题意得，当点N与点B重合时，DN最大，∴DN的最大值是4，∴EF长度的最大值是1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．16、x≠1【解析】分析：根据分母不为零分式有意义，可得答案．解：由有意义，得x﹣1≠0，解得x≠1有意义的条件是x≠1，故答案为：x≠1．17、【解析】

作PM⊥AD于M，交BC于N，进而得到四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，继而可证明S△PEB=S△PFD，然后根据勾股定理及完全平方公式可求，，进而求出矩形的周长.【详解】解：作PM⊥AD于M，交BC于N，

则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴AM=PE=BN,AE=MP=DF,MD=PF=NC,BE=PN=FC,S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，∴S△DFP=S△PBE，且S△DFP+S△PBE=9，∴，且，∴，即，.∵，，∴，，∴，∴矩形ABCD的周长=2=.故答案为：.【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，完全平方公式，三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD.18、6【解析】

根据数据a1、a2、a3的平均数是3，数据2a1、2a2、2a3的平均数与数据中的变化规律相同，即可得到答案.【详解】解：∵数据a1、a2、a3的平均数为3，∴数据2a1、2a2、2a3的平均数是6.故答案为：6.【点睛】此题主要考查了平均数，关键是掌握平均数与数据的变化之间的关系．三、解答题(共66分)19、（1）y＝2x+1；（2）经过点（-，0）．【解析】

（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，把点（1，3）与（﹣1，﹣1）代入求出k和b即可；（2）当x=-时，求出y的值，即可判断出.【详解】解：（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，把点（1，3）与（﹣1，﹣1）代入解析式可得：，解得：k＝2，b＝1，所以直线的解析式为：y＝2x+1；（2）因为在y＝2x+1中，当x＝﹣时，y＝0，所以一次函数的图象经过点（﹣，0）．【点睛】求一次函数的解析式并根据解析式判断图象是否经过某点是本题的考点，待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键.20、(1)甲；(2)乙.【解析】

（1）先用算术平均数公式，计算乙的平均数，然后根据计算结果与甲的平均成绩比较，结果大的胜出；（2）先用加权平均数公式，计算甲、乙的平均数，然后根据计算结果，结果大的胜出．【详解】（1）=（73+80+82+83）÷4=79.5，∵80.25＞79.5，∴应选派甲；（2）=（85×2+78×1+85×3+73×4）÷（2+1+3+4）=79.5，=（73×2+80×1+82×3+83×4）÷（2+1+3+4）=80.4，∵79.5＜80.4，∴应选派乙．21、（1）证明见详解；（2）1【解析】

（1）依据矩形的性质，即可得出△AEG≌△CFH，进而得到GE=FH，∠CHF=∠AGE，由∠FHG=∠EGH，可得FH∥GE，即可得到四边形EGFH是平行四边形；

（2）由菱形的性质，即可得到EF垂直平分AC，进而得出AF=CF=AE，设AE=x，则FC=AF=x，DF=8-x，依据Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即可得到方程，即可得到AE的长．【详解】解：（1）∵矩形ABCD中，AB∥CD，

∴∠FCH=∠EAG，

又∵CD=AB，BE=DF，

∴CF=AE，

又∵CH=AG，

∴△AEG≌△CFH，

∴GE=FH，∠CHF=∠AGE，

∴∠FHG=∠EGH，

∴FH∥GE，

∴四边形EGFH是平行四边形；（2）如图，连接EF，AF，

∵EG=EH，四边形EGFH是平行四边形，

∴四边形GFHE为菱形，

∴EF垂直平分GH，

又∵AG=CH，

∴EF垂直平分AC，

∴AF=CF=AE，

设AE=x，则FC=AF=x，DF=8-x，

在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，

∴42+（8-x）2=x2，

解得x=1，

∴AE=1．【点睛】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用．注意准确作出辅助线是解此题的关键．22、1【解析】

设四边形MTKN的面积为x，八个全等的三角形面积一个设为y，构建方程组，利用整体的思想思考问题，求出x+4y即可．【详解】解：设四边形MTKN的面积为x，八个全等的三角形面积一个设为y，

∵正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=18，

∴得出S1=x，S2=4y+x，S3=8y+x，

∴S1+S2+S3=3x+12y=18，故3x+12y=18，

x+4y=1，

所以S2=x+4y=1，即正方形EFGH的面积为1．

故答案为1【点睛】本题考查勾股定理的证明，正方形的性质、全等三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题．23、(1)见解析；(2)当O运动到OA=OC处，四边形AECF是矩形.理由见解析.【解析】

（1）由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1=∠3，等量代换有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF；

（2）OA=OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形．【详解】(1)当点O运动到AC中点时,四边形AECF是矩形;理由如下：如图所示：

∵CE平分∠BCA，

∴∠1=∠2，

又∵MN∥BC，

∴∠1=∠3，

∴∠3=∠2，

∴EO=CO，

同理，FO=CO，

∴EO=FO；

(2)当O运动到OA=OC处，四边形AECF是矩形.理由如下：∵OA=OC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵CF是∠BCA的外角平分线，

∴∠4=∠5，

又∵∠1=∠2，

∴∠1+∠5=∠2+∠4，

又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，

∴∠2+∠4=90°，

∴平行四边形AECF是矩形.【点睛】本题考查平行线的性质、矩形的判定和角平分线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质、矩形的判定和角平分线的性质.24、（1）今年5月份A款汽车每辆售价9万元；（2）共有3种进货方案：A款汽车8辆，B款汽车7辆；A款汽车9辆，B款汽车6辆；A款汽车10辆，B款汽车5辆；（3）当=0.5时，（2）中所有方案获利相同.【解析】

（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系，等量关系为：今年的销售数量=去年的销售数量；（2）关系式为：102≤A款汽车总价+B款