广东省东莞市虎门外语学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题(含答案)

-2024学年度第二学期虎门外语学校3月月考高一数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数，，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则下列说法正确的是（）A. B.复数在复平面内对应的点在第一象限C. D.2.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.53.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（）A.60° B.60°或120° C.30° D.30°或150°4.若，，向量与向量的夹角为150°，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.5.如图，在三棱锥中，，，为锐角，侧棱，一只小虫从A点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到A点，则小虫爬行的最短距离为（）A. B. C. D.6.如图，是等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若与的面积相等.则（）A. B.C. D.7.设P为内的点，且，则的面积与的面积之比为（）A. B. C. D.8.如图为五面体，其中四边形为矩形，，，和都是正三角形，则该五面体的体积为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.复数在复平面内对应的点为，原点为O，i为虚数单位，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若是关于的方程的一个根，则D.若，则点Z的集合所构成的图形的面积为10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A若，则为锐角三角形B.若为锐角三角形，则C.若，则为等腰三角形D.若，则是等腰三角形11.在中，，且，是所在平面内的一点，设，则以下说法正确的是（）A.B.若，则的最小值为2C.若，设，则的最大值为D.若在内部（不含边界），且，则的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若（i为虚数单位，是的共轭复数），则______13.如图，为了测量河对岸的塔AB的高度，某人选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为45°，则塔高______m.14.在等腰梯形中，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）在中，，，，为角平分线，D在线段BC上。（1）求AD的长度；（2）过点D作直线交AB、AC于不同点E、F，且，，求的值16.（15分）将形如的符号称为二阶行列式，现规定二阶行列式的运算如下：.已知两个不共线的向量，的夹角为，，（其中），且.（1）若为钝角，试探究与能否垂直？若能，求出的值：若不能，请说明理由；（2）若，当时，求的最小值并求出此时与的夹角。17.（15分）如图，斜坐标系xOy中，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为120°，定义向量在斜坐标系xOy中的坐标为有序数对.在斜坐标系xOy中完成下列问题：（1）若向量的坐标为，计算的大小；（2）若向量的坐标为，向量的坐标为，判断下列两个命题的真假，并说明理由.命题①：若，则；命题②：若，则.18.（17分）在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直（满足）.灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.（1）当时，求四边形的面积：（2）求灯柱的高（用表示）；（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式。并求出的最小值.19.（17分）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且.（1）求的值；（2）求的取值范围.2023-2024学年度第二学期虎门外语学校3月月考高一数学答案1.C2.B3.C4.D5.D6.D7.A8.A9.BCD 10.BD 11.BC12. 13. 14.15.解：（1）根据角平分线定理：，，.，，即；（2）.∵E、D、F三点共线，，.16.解：（1）由题意得，所以.即，.所以.因为为钝角，所以，故.故与不可能垂直.（2）因为，所以.所以.当时，，所以，此时.因为，所以.又用为.所以.17.解：（1）由题知，故（2）由题知，，命题①是真命题.a.当时，即.显然；b.当时，即，至少一个不为0，不妨设，若，则存在，使得，故，即，因为，不共线，所以，由，带入得，即.综上所述，命题“若，则”是真命题.命题②是假命题.解法1：若，则，当时，结论不成立。所以，命题“若，则是假命题.解法2：令的坐标为，的坐标为，则，因为，所以，此时所以，命题“若，则”是假命题.18.解：（1）当时，，所以，所以是等边三角形，所以.所以在中，，即，所以.（2），..在中，由正弦定理得.所以所以在中，由正弦定理得，所以，所以，所以（3）在中，由正弦定理得，所以，所以，所以