广东省广州市越秀区知用中学2024届八年级数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

广东省广州市越秀区知用中学2024届八年级数学第二学期期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．三角形的三边长分别为6，8，10，它的最短边上的高为（）A．6B．4.5C．2.4D．82．计算的结果是（）A．-2 B．2 C．-4 D．43．如图，在中，点、分别为边、的中点，若，则的长度为()A．2 B．3 C．4 D．54．下列方程中，是一元二次方程的是（）A． B． C． D．5．下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形6．一个口袋中装有3个绿球，2个黄球，每个球除颜色外其它都相同，搅均后随机地从中摸出两个球都是绿球的概率是（）A． B． C． D．7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO＝3，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积是（）A．18 B．183 C．36 D．3638．如图，是某市6月份日平均气温情况，在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是()A．21，22 B．21，21.5 C．10，21 D．10，229．如图，菱形ABCD的一边AB的中点E到对角线交点O的距离为4cm，则此菱形的周长为()A．8cm B．16cm C．cm D．32cm10．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点P B．点DC．点M D．点N11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.下列结论中不一定成立的是（）A．AB∥CD B．OA=OCC．AC⊥BD D．AC=BD12．如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论：①关于x的方程的解为；②关于x的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④二、填空题（每题4分，共24分）13．已知一次函数y=kx+b的图象交y轴于正半轴，且y随x的增大而减小，请写出符合上述条件的一个解析式：_____．14．如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群．在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东方向．问：小岛C于渔船的航行方向的距离是________________海里（结果可用带根号的数表示）．15．如图，在正方形外取一点，连接、、.过点作的垂线交于点，连接.若，，下列结论：①；②；③点到直线的距离为；④，其中正确的结论有_____________（填序号）16．方程在实数范围内的解是________．17．在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离是______.18．若把分式中的x，y都扩大5倍，则分式的值____________．三、解答题（共78分）19．（8分）在正方形ABCD中，P是对角线AC上的点，连接BP、DP.⑴求证：BP=DP；⑵如果AB=AP，求∠ABP的度数.20．（8分）在平面宜角坐标系xOy中，直线y=x+4与x轴，y轴交于点A，B．第一象限内有一点P（m，n），正实数m，n满足4m+3n=12（1）连接AP，PO，△APO的面积能否达到7个平方单位？为什么？（2）射线AP平分∠BAO时，求代数式5m+n的值；（3）若点A′与点A关于y轴对称，点C在x轴上，且2∠CBO+∠PA′O=90°，小慧演算后发现△ACP的面积不可能达到7个平方单位．请分析并评价“小薏发现”．21．（8分）初三年级学习压力大，放学后在家自学时间较初一、初二长，为了解学生学习时间，该年级随机抽取25%的学生问卷调查，制成统计表和扇形统计图，请你根据图表中提供的信息回答下列问题：学习时间(h)11.522.533.5人数72365418（1）初三年级共有学生_____人．（2）在表格中的空格处填上相应的数字．（3）表格中所提供的学生学习时间的中位数是_____，众数是_____．22．（10分）化简：÷(-a-2)，并代入一个你喜欢的值求值.23．（10分）阅读下列材料：关于x的方程：的解是，；即的解是；的解是，；的解是，；请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：．24．（10分）一次函数的图像经过，两点.（1）求的值；（2）判断点是否在该函数的图像上.25．（12分）已知：如图，是的中线，是线段的中点，.求证：四边形是等腰梯形.26．在正方形AMFN中，以AM为BC边上的高作等边三角形ABC，将AB绕点A逆时针旋转90°至点D，D点恰好落在NF上，连接BD，AC与BD交于点E，连接CD，(1)如图1，求证：△AMC≌△AND；(2)如图1，若DF=，求AE的长；(3)如图2,将△CDF绕点D顺时针旋转（）,点C,F的对应点分别为、，连接、，点G是的中点,连接AG，试探索是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【解析】本题考查了直角三角形的判定即勾股定理的逆定理和直角三角形的性质由勾股定理的逆定理判定该三角形为直角三角形，然后由直角三角形的定义解答出最短边上的高．由题意知，，所以根据勾股定理的逆定理，三角形为直角三角形．长为6的边是最短边，它上的高为另一直角边的长为1．故选D．2、B【解析】

根据（a≥0）可得答案．【详解】解：，故选：B．【点睛】此题主要二次根式的性质，关键是掌握二次根式的基本性质：①≥0；a≥0（双重非负性）．②（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③（算术平方根的意义）．3、C【解析】

根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵、分别为边、的中点，，

∴BC=2DE=4，

故选C．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．4、C【解析】

根据一元二次方程的定义即可求解.【详解】A.是一元一次方程，故错误；B.含有两个未知数，故错误；C.为一元二次方程，正确；D.含有分式，故错误，故选C.【点睛】此题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟知一元二次方程的特点.5、D【解析】试题分析：A.平行四边形的对角线互相平分，说法正确；B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确；C．菱形的对角线互相垂直，说法正确；D．对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误.故选D.考点:1.平行四边形的判定；2.菱形的判定.6、B【解析】

首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与从中摸出两个球都是绿球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：列表得：∵共有20种等可能的结果，从中摸出两个球都是绿球的有6种情况，

∴从中摸出两个球都是绿球的概率是：．故选：B．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．7、B【解析】

由菱形的性质可求AC，BD的长，由菱形的面积公式可求解．【详解】∵四边形ABCD是菱形∴AO=CO=3，BO=DO=33，AC⊥BD∴AC=6，BD=63∴菱形ABCD的面积=12故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形面积公式是本题的关键．8、A【解析】

根据众数和中位数的定义求解．【详解】解：这组数据中，21出现了10次，出现次数最多，所以众数为21，第15个数和第16个数都是1，所以中位数是1．

故选A．【点睛】本题考查众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了条形统计图和中位数．9、D【解析】

根据菱形的性质可知AO=OC，继而根据中位线定理求得BC长，再根据菱形的四条边相等即可求得答案.【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AO=OC，∵AE=BE，∴BC=2EO=2×4cm=8cm，即AB=BC=CD=AD=8cm，即菱形ABCD的周长为32cm，故选D．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.10、A【解析】试题分析：根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心在M、N所在的直线上，因为点P在直线MN上，所以点P为位似中心．故选A．考点：位似变换．11、D【解析】

直接利用菱形的性质对边互相平行、对角线互相垂直且平分进而分析即可．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，OA=OC，AC⊥BD，无法得出AC=BD，故选项D错误，故选D．【点睛】此题主要考查了菱形的性质，正确把握菱形对角线之间关系是解题关键．12、A【解析】

根据一次函数的性质及一次函数与一元一次方程的关系对各结论逐一判断即可得答案.【详解】∵一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3），∴x=2时，y=0，x=0时，y=3，∴关于x的方程的解为；关于x的方程的解为，∴①②正确，由图象可知：x>2时，y<0，故③正确，x<0时，y>3，故④错误，综上所述：正确的结论有①②③，故选A.【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及一次函数与一元一次方程的关系，利用数形结合的思想是解题关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、【解析】试题解析：∵一次函数y=kx+b的图象交y轴于正半轴，∴b＞0，∵y随x的增大而减小，∴k＜0，例如y=-x+1（答案不唯一，k＜0且b＞0即可）．考点：一次函数图象与系数的关系．14、【解析】

过C作CD⊥AB，易得∠BAC=∠BCA=30°，进而得到BC=BA=20，在Rt△BCD中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半与勾股定理即可求出CD．【详解】如图，过C作CD⊥AB，∵渔船速度为30海里/h，40min后渔船行至B处∴AB=海里由图可知，∠BAC=90°-60°=30°，∠ABC=90°+30°=120°，∴∠BCA=180°-120°-30°=30°∴∠BAC=∠BCA∴BC=BA=20海里在Rt△BCD中，∠BCD=30°，∴BD=BC=10海里∴CD=海里故答案为：．【点睛】本题考考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质与勾股定理，熟练掌握30°角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．15、①②④【解析】

①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；

②利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；

③过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；

④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可。【详解】解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，

∴∠EAB=∠PAD，

又∵AE=AP，AB=AD，

∵在△APD和△AEB中，∴△APD≌△AEB（SAS）；

故此选项成立；

②∵△APD≌△AEB，

∴∠APD=∠AEB，

∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，

∴∠BEP=∠PAE=90°，

∴EB⊥ED；

故此选项成立；

③过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，

∵AE=AP，∠EAP=90°，

∴∠AEP=∠APE=45°，

又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，

∴∠FEB=∠FBE=45°，又∴点B到直线AE的距离为故此选项不正确；

④如图，连接BD，在Rt△AEP中，

∵AE=AP=1，又∵△APD≌△AEB，=S正方形ABCD故此选项正确．

∴正确的有①②④，故答案为：①②④【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．16、【解析】

由，得，根据立方根定义即可解答．【详解】解：由，得，，故答案为：．【点睛】本题考查了立方根，正确理解立方根的意义是解题的关键．17、5【解析】

根据勾股定理解答即可．【详解】点P到原点O距离是．故答案为：5【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出距离．18、扩大5倍【解析】【分析】把分式中的x和y都扩大5倍，分别用5x和5y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．【详解】把分式中的x，y都扩大5倍得：=，即分式的值扩大5倍，故答案为：扩大5倍.【点睛】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项．三、解答题（共78分）19、(1)证明见解析；（2）67.5°．【解析】

（1）证明△ABP≌△ADP，可得BP=DP；

（2）证得∠ABP=∠APB，由∠BAP=45°可得出∠ABP=67.5°．【详解】证明：（1）∵四边形ABC是正方形，

∴AD=AB，∠DAP=∠BAP=45°，

在△ABP和△ADP中∴△ABP≌△ADP（SAS），

∴BP=DP，

（2）∵AB=AP，

∴∠ABP=∠APB，

又∵∠BAP=45°，

∴∠ABP=67.5°．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用图形的性质证明问题．20、（1）不能；（2）2；（3）见解析.【解析】

（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，由△APO的面积等于7个平方单位可求出n值，代入4m+3n=12中可求出m值为负，由此可得出△APO的面积不能达到7个平方单位；（2）设AP与y轴交于点E，过点E作EF⊥AB于点F，利用面积法及角平分线的性质可求出点E的坐标，由点A，E的坐标，利用待定系数法可求出直线AP的解析式，由m，n满足4m+3n=12可得出直线BP的解析式，联立直线AP，BP的解析式成方程组，通过解方程组可求出m，n的值，再将其代入1m+n中即可得出结论；（3）当点C在x轴正半轴时，由2∠CBO+∠PA′O=20°可得出BC平分∠OBA′，同（2）可求出C的坐标，进而可求出AC的长，利用三角形的面积公式可求出△ACB的面积，由该值大于7可得出：存在点P，使得△ACP的面积等于7个平方单位；当点C在x轴正半轴时，利用对称可得出点C的坐标，进而可求出AC的长，利用三角形的面积公式可求出△ACB的面积，由该值小于7可得出：此种情况下，△ACP的面积不可能达到7个平方单位．综上，此题得解．【详解】（1）△APO的面积不能达到7个平方单位，理由如下：当y=0时，x+4=0，解得：x=-3，∴点A的坐标为（-3，0）．∴S△APO=OA•n=7，即n=7，∴n=．又∵4m+3n=12，∴m=-2，这与m为正实数矛盾，∴△APO的面积不能达到7个平方单位．如图1，（2）设AP与y轴交于点E，过点E作EF⊥AB于点F，如图2所示．当x=0时，y=x+4=4，∴点B的坐标为（0，4），∴AB==1．∵AP平分∠BAO，∴EO=EF．∵S△ABE=BE•OA=AB•EF，S△AOE=EO•OA，∴，即，∴EO=，∴点E的坐标为（0，）．设直线AP的解析式为y=kx+b（k≠0），将A（-3，0），E（0，）代入y=kx+b，得：，解得：，∴直线AP的解析式为y=x+．∵点P的坐标为（m，n），m，n满足4m+3n=12，∴点P在直线y=-x+4上．联立直线AP，BP的解析式成方程组，得：，解得：，∴m=，n=，∴1m+n=2．（3）“小薏发现”不对，理由如下：依照题意，画出图形，如图3所示．∵2∠CBO+∠PA′O=20°，∠OBA′+∠PA′O=20°，∴∠OBA′=2∠CBO．∵点A′与点A关于y轴对称，∴点A′的坐标为（3，0），点P在线段BA′上．当点C在x轴正半轴时，BC平分∠OBA′，同（2）可得出：，即，∴OC=，∴点C的坐标为（，0），∴AC=．∵S△ACB=AC•OB=××4=＞7，∴不存在点P，使得△ACP的面积等于7个平方单位；当点C在x轴负半轴时，点C的坐标为（-，0），∴AC=．∵S△ACB=AC•OB=××4=＜7，∴此种情况下，△ACP的面积不可能达到7个平方单位．综上所述：“小薏发现”不正确．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、角平分线的性质以及角的计算，解题的关键是：（1）利用三角形的面积公式结合△APO的面积等于7个平方单位，求出n值；（2）联立两直线解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标；（3）分点C在x轴正半轴及点C在x轴负半轴两种情况，分析“小薏发现”是否正确.21、（1）1440；（2）见解析；（3）2.21、3.1.【解析】

（1）先利用学习1小时的人数除以它所占的百分比得调查的总人数，然后用此人数除以21%得到初三年级的人数；（2）用调查的总人数分别乘以20%和30%得到学习1.1小时和3.1小时的人数；（3）根据中位数和众数的定义求解．【详解】（1）72÷20%=360，360÷21%=1440，所以初三年级共有学生1440人；（2）学习1.1小时的人数为360×20%=72（人），学习3.1小时的人数为360×30%=108（人）；（3）表格中所提供的学生学习时间的中位数是=2.21，众数是3.1．【点睛】本题考查了扇形图：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．也考查了众数和中位数．22、，．【解析】分析：首先将括号里面的分式进行通分，然后将分式的分子和分母进行因式分解，最后将除法改成乘法进行约分化简，最后选择a的值时，不能取a=2和a=±1．详解：原式=，当a=1时，原式=．点睛：本题主要考查的是分式的化简求值问题，属于基础题型．学会因式分解是解决分式问题的基本要求．23、猜想的解是，．验证见解析；，．

【解析】

此题为阅读分析题，解此题要注意认真审题，找到规律：的解为，．据规律解题即可．【详解】猜想的解是，．验证：当时，方程左边，方程右边，方程成立；当时，方程左边，方程右边，方程成立；的解是，；由得，，，，．【点睛】考查解分式方程，通过观察，比较，猜想，验证，可以得出结论.解决此题的关键是理解题意，认真审题，寻找规律.24、（1）k=-2，b=8；（2）在图象上.【解析】

（1）利用待定系数法即可得到k,b的值；（2）将点P的坐标代入函数解析式，如满足函数解析式则点在函数图象上，否则不在函数图象上.【详解】（1）把A（3，2），B（1，6）代入得：，解得：∴（2）当时，∴P（，10）在的图象上【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、函数图象上点的坐标与函数关系式的关系.利用待定系数法求函数解析式的一般步骤：（1）先设出函数解析式的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b（k≠0）；（2）将已知点的坐标代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方