2022-2023学年河北省张家口市高一年级下册期末数学试题【含答案】

2022-2023学年河北省张家口市高一下学期期末数学试题

一、单选题

1.数据68,70,80,88,89,90,96,98的第30百分位数为（）.

A.70B.75C.80D.88

【答案】C

【分析】把给定的由小到大排列的数据，根据第P百分位数的定义求解作答.

【详解】依题意，8x30%=2.4,所以所求第30百分位数为80.

故选：C

2.已知向量”，6满足冋=2,忖=3,=1,则〃在d上的投影向量为（）.

A.—aB.—ciC.—bD.-b

4293

【答案】A

【分析】根据投影向量的定义即可求解.

【详解】根据投影向量的定义可得，b在。上的投影向量为普•告==

\a\同224

故选：A

3.已知圆锥的体积为友兀，底面面积为2兀，则该圆锥的侧面积为（）.

3

A.2亚无B.VlOjtC.37tD.2石7t

【答案】B

【分析】根据圆锥的体积公式可求得高人=6,根据圆锥的底面积公式可求得半径r=应，从而可

求得圆锥的母线长/=石，进而利用圆锥的侧面积公式即可求解.

【详解】令圆锥的高为厶，底面半径为「，母线为/,

由圆锥的体积公式丫=2S〃，可得厶回兀=、2//7,解得厶=6，

333

由圆锥的底面积公式S=兀/，可得“2=2兀，解得r=6,

所以圆锥的母线长/=病对戸=石，

所以S側=兀/7=兀乂=J15兀.

故选：B.

4.某校为了让学生度过一个充实的假期生活，要求每名学生都制定一份假期学习的计划.已知该校

高一年级有400人，占全校人数的《，高三年级占丄，为调查学生计划完成情况，用按比例分配的

36

分层随机抽样的方法从全校的学生中抽取1()%作为样本，将结果绘制成如图所示统计图，则样本中

【答案】D

【分析】首先计算出计算出样本容量为120人，则高三年级有20人，根据高三完成率即可得到答案.

【详解】竿=1200,1200x10%=120,故样本容量为KO,其中高三年级有120x；=20人，

36

由图可知，样本中高三年级假期学习计划的完成率为4()%,

故样本中高三年级完成计划的人数为20x40%=8,

故选：D.

5.在AABC中，G为AABC的重心，M为AC上一点，且满足MC=34M，则

A.GM=-AB+—ACB.GM=--AB--AC

312312

17....1.7——

C.GM=——AB+—ACD.GM=—AB——AC

312312

【答案】B

【分析】根据三角形重心的性质，结合向量的加法和减法即可判断结论.

【详解】由题意，画出几何图形如下图所示：

根据向量加法运算可得GM=G4+AM

因为G为AABC的重心，M满足MC=3AM

?11)

所以4G=(g(AB+AC)=：(AB+AC),AM=-AC

所以GM=-(；A8+gAC)+；AC

=~-AB--AC

312

所以选B

【点睛】本题考查了三角形重心的性质，向量的线性运算，属于基础题.

6.在三棱锥A-B8中，NB4C=NC4£)=mW=40。，AB=AC=AZ>=2,一只蜗牛从8点出发,

绕三棱锥三个侧面爬行一周后，到棱A3的中点E,则蜗牛爬行的最短距离是().

A.gB.石C.V6D.V7

【答案】D

【分析】将三棱锥的侧面展开，从而可知线段BE为所求，再利用余弦定理即可得解.

【详解】如图所示，将三棱锥的侧面展开，则线段8E为所求，

由题意得，ZEAB=\20°,AB=2,AE=\,

由余弦定理可得—fcos"但4+心2可-升7.

则BE=近,即蜗牛爬行的最短距离是近.

故选：D.

7.在棱长为2的正方体ABCD-AMG。中，P,。是GA，4G的中点，过点A作平面a,使得平

面a〃平面BAP。，则平面a截正方体所得截面的面积是()

A.—B.2C.-D.並

222

【答案】C

【分析】取4。中点〃，A4中点N,利用面面平行的判定定理确定平面a,利用余弦定理及三角

形面积公式求解即可.

【详解】如图，取4。中点M,厶蜴中点N,连接MN,AM,AN,

因为PQ//MV,MV<Z平面BOPQ,PQu平面8OP。，所以M/V//平面BDPQ,

又PD//AN,ANcz平面BOP。，P£>u平面BOPQ,所以AN〃平面BOPQ,又AMcAN=A,

AA7u平面AMN,AVu平面AAYN,所以平面PQB。〃平面AMN,

即三角形40N为所得截面a,

在」AMV中，4M=AN=小猛+AN2=亚,MN=也，

AM?+AN。-MN?5+5-24

由余弦定理得cosNM4N=

2AMAN2x>/5x>/55

i2

所以sin乙MAN=Vl-cos2ZMAN=

所以S=，AM.AjVsinNM4W=1x>/^x^x3=3.

2252

故选：C.

V3(c2-a2)

8.在锐角三角形48c中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sin8-GcosC=

2ab

则&的取值范围为().

c

【答案】A

【分析】利用正余弦定理进行边角互化，从而可得sin4=3.,进而求得人=弓，再把纟化为

23c

甄g=sin(A+C)=sinAc°sC+cosAsinC=有J,结合cJ工工］即可求解.

sinCsinCsinC2tanC2162丿

6(/一叫

【详解】sin8-GcosC=labsinB-2yj3abcosC=品:?-6a?

2ab

2"sinB=\/3c2-下+2G"cosC=0{c1-a2+2而cosC)=A/3(C2-a2+tz2+Z?2-c2),

即2abs\nB=y/3b2,.,.2sinAsin2B=V3sin2B,

e—j,/.sinsinA=

V,

bsinBsin(A+C)sinAcosC+cosAsinCv31

Ael0,—j,.\A=—,:.cosA=—-=------=--------------=-------------------------------=---------—

(2丿32csinCsinCsinC2tanC2

兀^-Cel0.17j1,,-.Ce

Be0,1,CG0,

2

故选：A.

二、多选题

9.实数x,y满足（l+i）x+（i—l）y=2,设z=x+yi,则（）.

A.z在复平面内对应的点在第一象限B.忖二夜

C.z的虚部是-1D.—=—i

z

【答案】BCD

【分析】利用复数相等求出复数z,再逐项分析计算作答.

Ix—v=2

［详解］由（l+i）x+（i—l）y=2,得（x-y）+（x+y）i=2,而x/wR,则|工+；=0，解得了=一＞=1,

即z=l—i，

对于A,复数z在复平面内对应的点在第四象限，A错误;

对于B,|z|=）乃+（一1）2=正,B正确;

对于C,z的虚部是-1,C正确;

-z1-i(l-i)(l-i)-2i

=

对于D，?T7?(l+i)(l-i)-VD正确.

故选：BCD

10.已知函数/（X）=4cos（2x-］）,则（）

A.〃x）图象的对称中心为［普+£,0）,kwZ

B./（x）的单调递减区间为1-g+2E弓+2E）,kwZ

C.为了得到函数y=4cos2x的图象，可将/（X）的图象上所有的点向左平移g个单位长度

D.为了得到函数y=4sin2x的图象，可将/（X）的图象上所有的点向右平移£个单位长度

0

【答案】AC

【分析】用余弦函数的图像与性质，采用整体代入的思想判断A、B,利用图象左右平移法则判断选

项C、D.

【详解】令2X-»E,解得力净母，keZ,所以函数/(x)图象的对称中心为僧+勺,。),

keZ,

故A正确；

TTTT27r

令2EK2x——<7I4-2ATT,解得一+—+E,

363

7T27r

所以函数f(x)的单调递减区间为-+kK,—+kn,keZ,故B错误；

将〃x)的图象上所有的点向左平移g个单位长度得y=4cos=4cos2x,故C正确；

6v673_

将/(X)的图象上所有的点向右平移2个单位长度得

兀］“(c2兀、”.〜

_H3j13丿

故D错误；

故选：AC

11.一个装有6个小球的口袋中，有编号为1,3的两个红球，编号为2,4的两个蓝球，编号为5,

6的两个黑球.现从中任意取出两个球，设事件A="取出的两球颜色相同"，8="取出的两球编号之

差的绝对值为1"，C=”取出的两球编号之和为6或7”，。="取出的两球编号乘积为5”，则下列说

法正确的是().

A.事件A与事件B相互独立B.事件A与事件C相互独立

C.事件8与事件C相互独立D.事件8与事件。互斥

【答案】ABD

【分析】列出6个小球任意取出两个球的全部结果，从而可以求解事件A3,CRAB,AC,8c的概率,

再结合互斥事件与独立事件的定义即可判断.

【详解】根据題意可知，6个小球任意取出两个球，共有15种可能，分别为

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6).

31

事件A包含3种可能,即(1,3),(2,4),(5,6),;.P(A)=-^=-；

事件B包含5种可能，即(l,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),:.P(B)=V=g；

事件C包含5种可能，即(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(3,4),P(C)=

事件。包含1种可能，即(1,5),.•.「(1))=《.

事件A8,AC,分别为(5,6),(2,4),(3,4)各1种可能，

对于A,P(A3)=S=P(A)尸(8),A对；

对于B,P(AC)4=P(A)P(C),B对；

对于CP(BC)=S*P(B)P(C),C错;

对于D,事件B与事件。不能同时发生，故事件5与事件。互斥，D对.

故选：ABD.

12.如图，已知正方体ABCD-AMG。的棱长为1,M是DC中点，E是线段AG(包含端点)上

任意一点，则().

A.三棱锥3-4WE的体积为定值

B.存在点E,使得直线8E与平面A5CD所成角为30。

C.在平面8CC円内一定存在直线/，使得”/平面AEM

D.存在点E,使得82丄平面

【答案】AC

【分析】利用等体积法进行转化顶点结合棱锥体积公式即可判断A,对B,过E作EF丄AC,垂足

为F,求出B尸的范围，则得到tanNEB尸的范围，即可判断B,对C,利用线面平行的判定即可，

对D,首先证明8。丄平面AC4,再利用反证法即可判断.

【详解】^B-AME=^EABM=TX=-=—>故A正确；

3320

过E作所丄AC,垂足为F,连接班,,则ZEBF为直线BE与平面ABC。所成角，则tanNEBF=转，

BF

又因为A4,//3g,44,=3%BBJICC、,BB、=eg,

则四边形AACC1为平行四边形，因为明丄平面ABCQ,ACu平面438,

则AA丄AC,则四边形AACG为矩形，则EF//CG，M=CC1,二所=1,

当尸与A或C重合时，（师）侬=1,当反丄AC时，（B7%n=乎，所以BFe［等」］,故

tanZ£BFs［1,V2］,tan30故B错误；

对C,显然直线40与3c在底面内相交，故平面Afi”与平面8CG4相交，在平面8CG片内一定

存在直线/与交线平行，贝IJ///平面故C正确；

对D,因为丄底面A8CD,厶。匚平面厶8。£）,，。4丄厶匸，

又因为AC丄比>,且8。DD、=D,BD,DRu平面BDD、,

所以AC丄平面BDR,因为BRu平面8。。，所以AC丄8。，

延长CG使得C、N=1,再分别连接DRBN,

因为A£>//BC,AO=BC,BC"BG，BC=B£,

所以4O//8Ci，AD=qG，所以四边形A。4c为平行四边形，

所以4片//力6，因为DD、"C、N,DD、=GN,所以四边形。QG2为平行四边形，

所以。G//RN,所以ABJ/D、N,则异面直线RB与AB1的夹角即为NB^N或其补角，

因为RB=Jv+F+T=6D1N=-Ji,BN=JF+22=石,

所以DE+DN=BM,所以B。丄RN,所以BA丄AB-

又因为AC丄BQ,AC\Ng=AAC,A81u平面ACq,

所以BD］丄平面ACg,假设BD1丄平面AME,

则平面43与平面AC4重合，显然假设不成立，故D错误.

故选：AC.

【点睛】关键点睛：本题B选项的关键是通过作过E作EFIAC,从而计算出tanNEBE的范围即

可，对D选项，首先证明8。丄平面AC8,,然后再利用反证法即可.

三、填空题

13.一枚质地均匀的骰子，拋掷三次，事件A为“三次抛掷的点数均为奇数”，事件8为“恰有一次点

数为偶数”，事件C为“至少有两次点数是偶数“，则P（A）+P（B）+P（C）=.

【答案】1

【分析】判断试验的空间与事件AB,C的关系，即可求解作答.

【详解】依题意，一枚骰子抛掷三次的试验的所有基本事件构造的空间C=而事件A民C

两两互斥，

所以「（A）+P（B）+P（C）=P（Q）=1.

故答案为：1

14.已知|z-2+i|=2,则忖的取值范围是.

【答案】[君-2,6+2]

【分析】|z-2+i|表示复平面内复数z所对应的点与点（2,-1）的距离，利用圆的性质即可求解.

【详解】因为|z-2+i|表示复平面内复数z所对应的点与点（2,-1）的距离，

故z所对应的点在以C（2,-l）为圆心，半径r=2的圆上，如下图所示，

则|z|的最小值为|。4卜|0。-「=6-2,最大值为|0叫=|0。+r=后+2,

故忖的取值范围是［百-2,6+2］.

故答案为：［百-2,石+2］

15.已知函数””=2疝（8+2（。>0）在区间［0,可上恰有三个零点，则0的取值范围是.

…「1115、

【答案】~T9~T

［44丿

7T7TJT

【分析】由X£［0,7l］可得的+:£-,^+-，再由函数在区间KU1上恰有三个零点可得则

4|_44

7T

3兀K37C+—<4兀，求解即可.

4

TT）1JJ

【详解】因为兀］,则。X+-,^+-,

4144

又因为函数，（幻在区间［0,n］上恰有三个零点，

则3兀4+'V4兀，解得—<69<—,

444

所以"的取值范围为

_44丿

厶「U15、

故答案为：-

［44丿

16.己知正四面体A-3CO,。是底面8c。的中心，以Q4为旋转轴，将正四面体旋转180。后，与

原四面体的公共部分的体积为逑，则正四面体A-8CD外接球的体积为.

2

【答案】生但兀

8

【分析】根据给定条件，作出变换后的公共部分图形，由其体积求出原正四面体的棱长，再求出外

接球半径作答.

【详解】以04为旋转轴，将正四面体A-88旋转180。后，公共部分为正六棱锥A-£FG〃〃，如

图，

A

设正四面体的棱长为。，而B0=旦,则A0=〃B?-B02=回,

33

22

正六边形EFGHIJ的边长EF=；BD=VSEFCHIJ=6x^-EF=^-a,

因此公共部分的体积匕n-tZErFUGtHilUJ=、3StErFOG/Hi/HJ.A。='3xB6a2x旦3a=包]8f2，解得。=3

（¥。）2+（当〃-/?）2,

显然正四面体的外接球球心。'在40上，设此球半径为R,由六=得

□瓜3瓜

R=--ci=----，

44

所以正四面体A-8CO外接球的体积丫=如内=如.(亚)3=红区兀

3348

故答案为：生也

8

【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心

位置是解题的关键.

四、解答题

17.已知向量值=(-1,2),6=(2,2).

⑴若〃〃人求忖的值；

(2)若卜叫=k+可，求实数2的值；

(3)若“与6的夹角是钝角，求实数，的取值范围.

【答案】⑴2石

(2)1

⑶-5T,D

【分析】(1)根据向量共线解出/1=-4,则6=(2,Y),则得到〃的模;

(2)根据题意推出〃丄6,则得到关于几的方程，解出即可；

(3)由题意得“包＜0,且“与6不反向共线，解出2的范围即可.

【详解】(1)allb«=(-1,2),b=(2,A)91)x2-4=0,.,.2=-4,

:・b=(2,-4),b|=汇+㈠了=2A/5.

(2)：\a-b\=\a+b\,两边同平方得|2=|a+b/，则化简得£・b=0,

a丄。，:.a-b=-2+2A=0＜A=1.

(3)a与人的夹角是钝角，.•2.力＜0，且a与6不反向共线，

即a/=-2+2/l＜0，由(1)可知4工-4,

则九＜1,且；1工-4,故实数4的取值范围为(roT)5TD.

18.为了了解全校学生计算能力的情况，某校组织了一次数学计算能力测验.现对全校学生的测验

成绩做统计，得到了如图所示的频率分布直方图.

(1)求此次测验成绩的平均数；

(2)为了更加深入了解学生数学计算能力的情况，从成绩在［80,100］之间的学生中，采用按比例分配

的分层随机抽样方法，选取7名学生进行访谈，再从这7名学生中任选2名学生在总结大会上发言,

求抽到的两人中至少一人的成绩在［90,100］的概率.

【答案】(1)76

⑵u

21

【分析】(1)先根据频率之和为1求得。=0025,再根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可

求解；

(2)由图可知成绩在［80,90)与［90/00］的样本比例为5:2,从而可求得7名学生中有5名成绩在

［80,90),2名成绩在［90,100］,再利用列举法可求得概率.

【详解】(1)由题意得(0.005+加+0.035+0.01)x10=1,可得“=0.025,

所以［0.005x55+0.025x(65+85)+0.035x75+0.01x95］xl0=76,

所以此次测验成绩的平均数为76分.

(2)由(1)知，成绩在［80,90)与［90,100］的样本比例为5:2,

所以7名学生中有5名成绩在［80,90),2名成绩在［90,100］,

若［80,90)中5人分别为“力,。,必，［90/00］中2人分别为苍儿

则从中抽取2人的所有组合为

{ah,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de,ax,ay,bx,by,ex,cy,dx,dy,ex,ey,,有21种情况，

两人中至少一人的成绩在［90,100］的有{xy,ax,ay,hx,by,ex,cy,dx,dy,ex,ey},H种情况，

所以抽到的两人中至少一人的成绩在［90,100］的概率为巧.

19.如图，在直三棱柱ABC-A中，D,M,N,P分别是A8,44-BB,,CG的中点.

(1)求证：8P〃平面MDC；

(2)设45=AC=CB=2,BBt=4,求异面直线GN与CM所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

【分析】Q)连接AP,设APMC=O,连接。。，利用线面平行的判定推理作答.

(2)利用定义法求出异面直线夹角的余弦作答.

【详解】(1)在直三棱柱ABC-ABC中，连接设APMC=O,连接。O,如图,

由用，尸分别是矩形A4,GC对边44-CG的中点，得四边形MACP是矩形，即。是小的中点,

而。是A8的中点，于是8〃8P,又即0平面MDGODu平面M£>C,

所以6P//平面MEC

（2）因为MP分别是矩形B8CC对边阴,CG的中点，则C///N8，GP=NB,

因此四边形8PGN是平行四边形，则NCJIBPIIOD,

于是NM8或其补角是异面直线CtN与CM所成角,

由4B=4C=CB=2,BB1=4,得BP=CM=2四,DM=布,

在，中，OD=OM=&DM=逐,则cos乙MOD=签［h=T

所以异面直线GN与CM所成角的余弦值为「

71

20.如图，在_谡C中，4AC为钝角,。在8c上,且满足%,AB=3,8c=36

⑵若M是BC的中点，cosZBAC=--,求AM的长度.

【答案】⑴,

⑵返

2

【分析】（1）利用正弦定理即可得解:

（2）利用余弦定理求得AC,再利用平面向量的线性运算与数量积运算即可得解.

ABBC

【详解】（1）在43c中，由正弦定理可得

sinCsinABAC'

../”BCsinC3&26

...sinZ.BAC=----------=--------=——,

A832

•・•/84。为钝角，，/氏4。=当，

兀

ZBAD=ZBAC-ZCAD=

2

(2)在.ABC中，由余弦定理可得BC=A/^+AC,-ZA/rACcosNBAC,

即27=9+AC2-2x3xACx[一卷)，解得厶。=4(负值舍去)，

〃为BC中点，则AM=；(AB+AC),

91/22\I

:.AM'=#8~+AC+2|A8||AC|cosNB4C)=-9+16+2x3x4x1-—|=—,

12丿4

.[AM|=叵，即AM的长度为叵.

22

21.已知函数/(x)=4sinHcos(3+1)+

⑴若/(a)=g,求cos(a+'，；

⑵若不等式|尸(同-华"M+2对任意的xe-昔恒成立，求2的取值范围.

【答案】⑴一。

0

(2)[0,4]

【分析】(1)利用三角函数的恒等变换化简/(x),从而得到sin(a+方J的值，再利用三角函数的诱

导公式即可得解.

(2)先利用三角函数的性质求得了(x)的值域，从而将问题转化为恒成立问题，再利用二次函数的

性质即可得解.

rxn

【详解】(1)因为〃x)=4sin5cos—i—+百=2sin—cos--2>/3sin2—+\/3

23222

=sinx-V3(l-cosx)+6=sinx+Gcosx=2sin[x+]J,

若.f(a)=2sin(a+mj=5，则sin(an

+

336

所以cos(a+7兀卜cos(a+gJ+T=_sin(a+二]=一丄

I3丿6

(2)令f=/(x),xe，

63

「、r兀兀兀兀2兀”，、，•/7t|1.「I-

因为xw，所以工+不£7H,所以sinx+彳£，则/£r[1,2],

_63」J|_b3」I3丿l_2_

由|尸(x)—14/(x)+2,得卜2T国+2,即T-24/一力士+2对任意的pl,2]恒成立,

2</2