2023-2024学年安徽省高一年级下册第一次月考数学质量检测试卷 （含答案）

2023-2024学年安徽省高一下册第一次月考数学质量检测试卷

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给岀的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.下列五个结论：

①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；

②向量a/b,则a与b的方向必不相同；

@|a|>|b|,则a>b;

④向量a是单位向量，向量b也是单位向量，则向量a与向量b共线；

⑤方向为北偏西50。的向量与方向为东偏南40。的向量一定是平行向量.其中正确的有（）

A.①⑤B.©C.⑤D.②④

【正确答案】C

温度虽有大小却无方向，故不是向量，故①错；a#b,但a与b的方向可以相同，故②错；

向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，故③错；单位向量只要求长度等于1个单

位长度，但方向未确定，故④错；作图易得⑤正确.

2.若在△N8C中，M=a,SC=b>且间=也|=1,|a+b|=隹，则厶/夕。的形状是（）

A,正三角形B.锐角三角形C.斜三角形D.等腰直角三角形

【正确答案】D

由于1初尸図=1,1沅|=|b|=l,|,詰|=区+1）|=媳，所以△Z8C为等腰直角三角形•故

选D.

3.已知a,b均为单位向量，（2a+b）（a-2b）=—邛，则a与b的夹角为（）

A.30°B,45°C.135°D.150°

【正确答案】A

因为（2a+b）-（a-2b）=2a2-4a-b+a-b-2b2=-3a-b=-邛，所以ab=^.

设a与b的夹角为，，则cos6=（一去=坐.

又因为0%比180。，所以，=30。.

4.如果用i,j分别表示x轴和），轴正方向上的单位向量，且4（2,3）,8（4,2）,贝匸后可以表

示为（）

A.2i+3jB.4i+2jC.2i-jD.-2i+j

【正确答案】C

*(2,3),8(4,2),

二毎=(4,2)—(2,3)=(2,-1),

毎=2i-j.

5.设平面向量。=(1,2),6=(—2,y),若a〃仇贝曲。+切等于()

A.帀B.乖C.V17D.y/26

【正确答案】A

a//b,Ixy—2x(—2)=0,

解得y=-4,从而3a+6=(l,2)"3a+b|=帀.

6.已知向量"=(x+2,3),v=(x,D,当/(x)="・v取得最小值时占的值为()

A.0B.-1C.2D.1

【正确答案】B

人x)=wv=(x+2)x+3=x2+2x+3=(x+l)2+2,故当x=-l时択x)取得最小值2.

7.在如图所示的半圆中，48为直径，点。为圆心，C为半圆上一点，且ZOC8=30。，

I善1=2,则I衣I等于()

AOB

A.1B.娘C.兩D.2

【正确答案】A

如图，连接ZC,曲灰?1=1丽I，得N/8C=NOCB=30。，又因为//C8=90。，

所以1病1=|x2=l-

AOB

8.如图，在△NBC中，。是8c的中点，过点。的直线分别交直线/C于"，N两个

不同的点.若.而=〃?於/，衣=〃赤，其中"?，"为实数，则"?+〃等于()

A

3

B-C2D3

A.2

【正确答案】c

如图，连接/。,

由。为BC中点可得，

,:M,O,N三点共线，.•.江+）=1,

/.m+〃=2.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题列岀的四个选项中，有多项

符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.在平面直角坐标系中，若点月（2,3）,8（-3,4）,如图所示内轴、丿，轴同方向上的两个单位向量分

别为/和/，则下列说法正确的是（）

A.^A=2i+3jB.OB=3z+4/'C.~AB=-5i+jD.^A=5i+j

【正确答案】AC

由题图知，况=2i+3）,兩=-3i+勺,，故A正确,B不正

确;而-OB-6?=（-3汁夕）-（2，+歹）=547，瓦?=-而=59,故C正确,D不正确.

10.在△/BC中，若6=书，c=3,8=30。，则。的值可以等于（）

A.y/3B.2/C.3市D.4小

【正确答案】AB

由正弦定理得烏=表，

即為=熹，所以"G坐，

又0°VCV180°,所以C=60。或120。.

当C=60。时，工=90。，/=32+（小）2,a=26当C=120。时，/=30。，a=b=4

11.如图，在海岸上有两个观测点C,2c在。的正西方向，距离为2km,在某天10:00观察到某

航船在/处，此时测得4。。=30。,5分钟后该船行驶至B处，此时测得/4。=60。,/

8CZ）=45°,408=60°厕（）

CD

A.当天10:00时，该船位于观测点C的北偏西15。方向

B.当天10:00时，该船距离观测点。虫km

C.当船行驶至B处时,该船距观测点CV2km

D,该船在由A行驶至B的这5min内行驶了V^km

【正确答案】ABD

A项中,//。。=//。8+/8。。=60。+45。=105。,因为C在。的正西方向，所以力在C的北偏

西15。方向，故A正确.

B项中，在△4CD中，乙4a>=105。,//。。=30。，

贝吐。。=45。

由正弦定理，得"=%等=V2,

sinz.Ci4D

故B正确.

C项中，在△8CZ）中,/38=45。,/。8=/力。。+//。8=30。+60。=90。,即/酸。=45。，

则BZ）=CZ）=2,于是"=2a,故C不正确.

D项中，在△ZBC中，由余弦定理彳导AB'AC+BC2-24cBecosN

ACB=2+8-2xy/2x2立X1=6,

即/8=V^km,故D正确

12.在厶/台。中，内角力,B,C的对边分别为a,b,c,a+c,tanfi=2S，△/8C的面积

为26,则冃可能取到的值为()

|a-c|

A.4sB.20C.4娘D.2季

【正确答案】AC

因为taa8=2姬，所以cos8=g,sin8=2号，又S=3acsinB=2娘，所以ac=6,

由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos8=/+c2-4=(a-c)2+8,

所以念=5書=1“一耳+粉4娘当且仅当|“一°|=言时，等号成立，

故急的最小值为4/，可能取到的值为/C选项.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。

13.已知点”(-1,一5)和向量。=(2,3),若荏=3”，则点8的坐标为.

【正确答案】(5,4)

设。为坐标原点，因为工5=(-1,-5),南=3。=(6,9),故砺=福+荏=(5,4),

故点8的坐标为(5,4).

14.若向量〃=(左,3),6=(1,4),c=(2,1),已知2a—3b与c的夹角为钝角,则攵的取值

范围是.

【正确答案】\\—8,-3口|一宗3：

由〃=(左，3),6=(1,4),得2a—36=(2左一3,-6).

又2a—3b与c的夹角为钝角，

A(2a-3h)-c=2(2k-3)-6<0,得％<3,

9

-

若(2a-3b)〃c,贝I]2左一3=-12,即2=2

9

当

A-时

n2

此时2a—36与c共线且反向，不合题意.

综上，左的取值范围为(…，-加(43).

15.如图，设P为△/8C内一点，且2戸+2而+庁=0,贝ij&ABP：SAABC=

C

P

AB

【正确答案】I

设Z8的中点是。

因为國+方=2而=-1?C,

所以丽=-J庁,

4

所以尸为。的五等分点,

所以△回的面积为△N8C的面积的

16.在△/BC中，a=6A=60°,求3b+2c的最大值

【正确答案】2亚

由正弦定理知，煮=為=爲

因为a=GA=60°,

所以丄_=丄=馅=2

5KAsm8sinesin60=

所以b=2sin2?,c=2sinC,

所以3b+2c=6sin5+4sinC=6sin^+4sin(600+5)

=6sinB+4,号8sB+|sinB：

=8sin5+2^/Jcos8=2Vi?sin(B+0)9

其中tan8=

4

因为。V0V3O。,00<B+6»<150°,

当8+0=90。时，3〃+2c取得最大值，为2对.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知向量。=61—e2,b=4ei+3e2,其中ei=(l,0),C2=(0,1).

(1)试计算及|。+切的值;

(2)求向量a与b夹角的余弦值.

【正确答案】解(l)a=ei-e2=(l,0)-(0,1)=(1,-1),

b=4ei+3e2=4(l,0)+3(0,1)=(4,3),

协=4x1+3x(—1)=1,

\a+b\=^/(4+1)2+(3-1)2=<25+4=回.

(2)设a,b的夹角为0,

由fb=|a||b|cos。,

.八ab1一帀

••cosJ-丽=镜乂5=帝

18.(12分)有一艘在静水中速度大小为10km/h的船，现船沿与河岸成60。角的方向向河的

上游行驶.由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸.设河的两岸平行,河水流

速均匀.

(1)设船相对于河岸和静水的速度分别为"，匕河水的流速为明求”，匕w之间的关系式；

(2)求这条河河水的流速.

【正确答案】解(1)如图,"是垂直到达河对岸方向的速度,v是与河岸成60。角的静水中的船

速，

则v与“的夹角为30。.

由题意知三条有向线段构成一个直角三角形，其中赤=丫万？=",次=~BC=w.

由向量加法的三角形法则知，何=m+而，即.

⑵：|W=10km/h,而|近|=|砺|sin30°=10xT=5(km/h),

这条河河水的流速为5km/h,方向顺着河岸向下.

19.(10分)设△/8C的内角B,C的对边分别为a,b,c,且加iM=^“cos8.

若b=3,sinC=2sirb4,求Q,c的值.

【正确答案】解・・・sinC=2sinJ,・••由正弦定理，得c=2a,

由余弦定理得b2=a2-bc2-2accosB,

即9=Q2+4Q2-2"QCOSE，

解得〃=市，，c=2a=2正.

20.(12分)如图，在△/8C中，点。在3c边上，ZCAD=l，AC=1,cosZADB=-^.

A

(1)求sinC的值；

(2)若3。=5,求△48。的面积.

【正确答案】解⑴因为cos//08=-*,

所以sin//O8=嚅.

又因为/口。=/，所以

4

-

所以sinC=sin^ZADB-^!=sinZADBcos5—cosZADBsin*x£=5

(2)在△ZCO中，由誤=請虎，

ZX1

得“。=^^=試=2"

10

所以SAABD=累DBDsinNADB=币x$x嚅=7.

21.(12分)设两个向量a,b满足。=(2,0),6=序,孝),

(1)求6方向的单位向量；

(2)若向量2ta+7b与向量a^tb的夹角为钝角，求实数t的取值范围.

【正确答案】解⑴由已知"+6=(2,0)+(；,乎)=修，項，

所以心+句=

所以a+6=帀书，引，

即。+方方向的单位向量为:呼，铛；

(2)由已知。为=1,同=2,|旬=1,

所以(2s+7b)(a+出)=刈+力+2於+7=2於+15/+7,由于两向量的夹角