河北省衡水市武邑中学2023-2024学年高三数学理调研考试含解析

河北省衡水市武邑中学2023年高二数学理调研考试含

解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数了（力，如果/'（。）二°,那么

、二七是函数/（x）的极值点；因为函数在x=。处的导数值/'（0）=0,所

以x=0是函数-"x）=1的极值点.”以上推理中（）

A.大前提错误B.小前提错误

C.推理形式错误D.结论正确

参考答案：

A

2.椭圆25x2+9），=225的长轴长、短轴长、离心率依次是（）

A,5,3,08B.10,60.8c,5,3,06D.10,60.6

参考答案：

B

略

3.已知正方体48co片GA,点F,G分别

是线段号8,48和今二上的动点，观察直线“'与

印,CE与DP.给出下列结论：

①对于任意给定的点E,存在点R,使得

②对于任意给定的点存在点E,使得CELRF；

③对于任意给定的点存在点G,使得4Gl.c3；

④对于任意给定的点G,存在点E,使得C£_14G.

其中正确结论的个数是（

A.1个B.2个C.3个D.4个

参考答案:

B

4.对同一目标进行两次射击，第一、二次射击命中目标的概率分别为0.5和0.7,则两次

射击中至少有一次命中目标的概率是()

A.0.35B.0.42C.0.85D.0.15

参考答案：

C

【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式.

【分析】先求得两次射击中都没有命中目标的概率是(1-0.5)(1-0.7),再用1减

去此概率，即得所求.

【解答】解：两次射击中都没有命中目标的概率是(1-0.5)(1-0.7)=0.15,

故两次射击中至少有一次命中目标的概率是1-0.15=0.85,

故选C.

5.已知数列｛“)为等差数列，【九)为等比数列，且两个数列各项都为正数，

的公比qWl,若7=4.%=%,则

A.%=4B,网叫C./叫D,/叫或

网＜4

参考答案：

c

6.函数尸=°°^»"的导数/=(

)

A.«*Onx)B,曲®0c-丁…，D.hxMbx)

参考答案：

c

7.任何一个命题的原命题、否命题、逆命题和逆否命题中假命题的个数只可能是

()

A0个B偶数个C奇数个D奇数与偶数都可能

参考答案：

B

略

8.从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分别到四

个不同的工厂调查，不同的分派方法有

A、100种B、400种C、

4800种D、2400种

参考答案：

D

略

9.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆62=1的右焦点重合，则p的值为()

A.-2B.2C.一4D.4

参考答案：

D

略

10.椭圆"+的『=1的焦点在了轴上，长轴长是短轴长的两倍，则掰的值为()

11

A.4B.2C.2D.4

参考答案：

A

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.记Xz-Xi为区间区,X1的长度.已知函数y=2',xG［-2,a］(a20),其值域为

［m,n］,则区间［m,n］的长度的最小值是.

参考答案：

3

【考点】函数的值域；对数函数的图象与性质.

2Xx>0

'(1)*x<0

【分析】先去绝对值原函数变成y=l2，所以可将区间［-2,a］分成［-2,

0),和［0,a］,所以求出每种情况的y的取值范围：xd［-2,0)时，l<yW4；而

xe［0,a］时，lWyW2',所以讨论0WaW2,和a>2两种情况，并求出每种情况下函数

的值域，从而求出区间血，n］的长度的最小值.

一俨x>0

y=2'X|=1

厂④xx<0

【解答】解：12；

(1)°<(1)x<(1)T

.•.①XG［-2,0)时，222；

此时l<yW4；

②xG［0,a］时,2°^2x^2a；

此时lWy<2",则：

0WaW2时，该函数的值域为［1,4］,区间长度为3；

a>2时，区间长度为2"-1>3；

...综上得，区间［m,n］长度的最小值为3.

故答案为：3.

12.在瓦4BC内，a，b，C分别为角所对的边,若4=壶,8=2,

s>n5+cos5=-J2,则角力的大小为.

参考答案：

7V

6

13.函数加)是周期为4的偶函数，当回啊时，，(x)=S,(x+l)-l,则不等式

4(工)>°在［—1,3］上的解集为

参考答案：

(-XO)U(U)

【分析】

根据函数的周期性、奇偶性以及工仁［02］时的解析式，画出函数/(X)的图像，由此求得

虫x)>0的解集.

【详解】根据函数周期为4的偶函数，以及工£［Q%,/(xj=logjxtl)-.1,画出函

数图像如下图所示，由图可知，当ETO)时/3<0必力0符合题意；当

r«L3)时，虫力°符合题意.综上所述，不等式的解集为(TO)U(U).

【点睛】本小题主要考查函数的周期性、奇偶性，考查不等式的解法，考查数形结合的数

学思想方法，属于中档题.

14.若随机变量3,贝|。(36+-)--------

参考答案：

10

略

15.空间中点M(―1,—2,3)关于x轴的对称点坐标

是________________________________

参考答案：

(―1,2,—3)

16.若圆x2+y2=4和圆x2+y2+4x-4y+4=0关于直线1对称，则直线1的方程为

参考答案：

y=-x

略

参考答案：

10

【分析】

由指数幕运算法则以及对数运算法则即可得出结果.

=3耳2^**64=10

【详解】原式3.

故答案为10

【点睛】本题主要考查对数运算以及指数幕运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(本小题满分13分)如图，在直三棱柱"J'-A4G中，^-405=90°,

/=感=6=2,*是盘中点.

zx年-LWK；

(TI)求证：】平面】；

(ID求直线4G与平面Ac*所成角的正弦值.

aB,

参考答案:

(i)证明：因为9c-A81G是直三棱柱,

所以CG_L47,CCi_L8C

又乙4(%=缈，

即幺C_L6C...........2分

如图所示，建立空间直角坐标系。一一/.

42,0,0)片(《2,2)5(1,1,0〉4(20,2),

所以届—，通二(1,1,0),

祠=(2,0,2)........

又因为网，CR=0,

花麴=0,

6分

所以工与"LCE,4耳_LC4,4其_1>平面

............7分

(II)解：由(I)知，羔1=(-22,2)是平面4cs的法向

量，............9分

而怎=(2,0,0),

设直线4G与平面4匚宙所成的角为。，则

也

sin0=卜oS(C\4,瑟$=3.

所以直线45与平面4c'K所成角的正弦值为

立

3.............13分

22

xy,

~27-1

19.双曲线ab(a>0,b>0),过焦点F1的弦AB(A、B在双曲线的同支上)长为

m,另一焦点为Fz,求4人8艮的周长.

参考答案：

【考点】双曲线的简单性质.

【分析】利用双曲线的定义可得定Fj-AF[=2a,*-|AF[=2a,结合

IAFi|+1BFj=|AB卜=m,即可求得△ABF?的周长.

【解答】解：；|AFz|-|AFj=2a,|BFz|-|AF」=2a,…

(|AF2|-AFij)+(|BF2|-|BFi|)=4a,…

又|AFi|+|BF」=|AB|=m,

/.|AF2|+|BF2|=4a+(|AFi|+|BFi|)=4a+m.—

...AABF2的周长等于IAF21+1BF21+1AB|=4a+2m.­••

20.在边长为60cm的正方形铁皮的四切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一

个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？

参考答案:

解：设箱底的边长为xcm,箱子的容积为V,则ks5u

60-x―1X3

V=x2?2=-2+30X2

二

==—2+60x

当,'=0时，x=40或x=0(舍去)，

x=40是函数V的唯一的极值点，也就是最大值点，

当x=40时，V=16000

所以，当箱底的边长是40cm时，箱子的容积最大，最大容积是16000cm3。

略

21.已知数列｛a„｝的各项均为正整数，对于任意ndN*,都有2+an+l<nn+1<2+&n成

立，且a2=4.

(1)求a”as的值;

(2)猜想数列｛aj的通项公式，并给出证明.

参考答案：

考点：数学归纳法.

专题：点列、递归数列与数学归纳法.

分析：(1)直接利用已知条件，通过n=l,直接求arn=2,求解as的值；

(2)通过数列的前3项，猜想数列｛aj的通项公式，然后利用数学归纳法的证明步骤证明

猜想即可.

工，

an+l————an

解答：解：(1)因为nn+1,a二4

2+^<2(―+—)<C2+—2旺<工+^<2+~^

当n=l时，由a2ala2al,即有4ai4%,

2<〈国

解得与勺-7.因为为为正整数，故出=1.…

2」^<6<2+)

当n=2时，由&34a34,

解得8<期<10,所以期二9.…

(2)由ai=l,a2=4,a3=9,猜想：&n一…

下面用数学归纳法证明.

a_门2

1°当n=l,2,3时，由(1)知an-n均成立.…

2

2°假设n=k(kN3)成立，则a/k,

2+~~—(k+1)(~^+---)<2+々

由条件得ak+lkzak+lk\

k?(k+1)/*(k2+k-l)

所以k2-k+liFi—

2k+l(

(k+l)ak+S(k+1)

k2-k+l

所以

2k\<10<-^-<l

因为k23,k-k+l,k-1,

又ak+i^N*,所以&k+『（k+1）2.

-2

即n=k+l时，an-n也成立.

e-2

由1°,2°知，对任意nGN*,1-n....

点评：本题考查递推数列的应用，数学归纳法的应用，考查分析问题解决问题的能力.

22.在五面体中，

加二即二CF=1AB=2AD=2印3^=60二冠）1平面

CDEF

（1）证明：直线C®_L平面

CP=-CB

（2）已知P为棱8C上的点，3,求二面角P-M-Z的大小.

参考答案:

证明：（1）:6〃酩6=M=b=2»二四边形com为菱形,

.(XLDF,..........i分又•.•