2023-2024学年吉林省辽源市高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年吉林省辽源市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

i.数列…的一个通项公式可能是()

24oIo

A.(T)"qB.(-l)gC.(T)j(D.(-1)"，/

【正确答案】D

【分析】将每项的绝对值写成以g为底的幕的形式，再结合负号出现的规律即可得答案.

所以此数列的一个通项公式可以是=(-1广啧.

故选：D.

2.抛物线3/+8了=0的焦点坐标是()

A.峭B.(。,-|)C.(Q)口,

【正确答案】B

【分析】将曲线方程化为标准形式，结合定义即可求解.

【详解】将抛物线方程化为标准形式：%2=-1y,由抛物线定义知焦点坐标(0,-|

故选：B.

3.已知数列｛““｝是等比数列，且4,2a2，4%成等差数列，则公比9=()

111

A.-B.-C.-D.1

842

【正确答案】C

【分析】根据等差中项和等比数列的通项公式可求出结果.

【详解】因为4，2a2,4r成等差数列,

所以4g=%+4%，

所以4aq=%+4府,

所以4/_4”1=0,所以(24-1)2=0,所以＜7=；.

故选：C

4.圆x2+y2-6x-2y+l=Q被x轴所截得的弦长为（）

A.2&B.2A/3C.4D.472

【正确答案】D

【分析】根据圆的弦长公式即可求解.

【详解】x2+y2-6x-2y+l=0的圆心和半径分别为（3,1）,r=3,

因此圆被x轴所截得的弦长为2户下=4四，

故选：D

5.的展开式中常数项为（）

A.-160B.60C.240D.-192

【正确答案】B

【分析】由题意可得要得的展开式中常数，只需求出（2X—J的展式中X-2项,

根据二项定理求出出（2X-J］的展式中X-2项即可得答案.

【详解】解：因为的展式

为:丁7=C：（2x）J-（--）r=C；-26-r-（-If-x6-r（x-'y=q-26T.（_1）r.,

X

要得X2（2x—j的展开式中常数，只需求出（2x-gj的展式中X-2项即可.

所以令6-2/=-2,

解得r=4,

所以的展式中x-2项的系数为C：26T.（-ip=15x4x1=60,

所以V——J的展开式中常数项为60.

故选：B.

6.6本不同的书摆放在书架的同一层上，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书

必须相邻，则不同的摆放方法有种

A.24B.36C.48D.60

【正确答案】A

【详解】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有另种排法；

第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有局W种排法;

444=24

故选：A.

22

7.已知椭圆马+彳=1（。＞6＞0）的左、右焦点分别为耳（-c，0）,外（c，0）,尸是椭圆上一点,

a~b~

|P用=14用=2c,若乙丝与则该椭圆的离心率的取值范围是（）

A.（0，；）B.陷C.dD.

【正确答案】D

【分析】由条件结合双曲线定义可得|助|=2"2c,NP/苒€（0,小，结合三角函数定义列

关于a,c的不等式，由此可求离心率的范围.

【详解】•••|尸闾=阳阊=2c,

耳工是以PF、为底的等腰三角形，|尸耳|=2"-2c,

过名作工/1至交尸片于A,则M£|=a-c,

所以cosNP££=

呜〈爰＜】，解反与《

二该椭圆的离心率的取值范围是

故选：D.

pFJ*

8.已知双曲线=上的点48关于原点对称，若双曲线上的点P（异于点儿

8）使得直线4，P8的斜率满足原「怎B=3,则该双曲线的焦点到渐近线的距离为（）

A.2B.26C.—D.272

2

【正确答案】B

【分析】利用代入法，结合直线斜率公式、点到直线距离公式进行求解即可.

【详解】由题意设尸（x,y）,4（再,必）,8（一匹,一必）,则江上=1,上左=1,

4b4b1

即/"从任一1）,•.%/=3,

x2

h2------1

•?2

••歹一必y+必y一必二4旦3,

1—2T~2""2

X-Xjx+xyX-Xjx一芍4

解得6=2百，又双曲线的焦点（c,0）到渐近线y=+-X的距离为:

a

故选：B

二、多选题

9.将甲，乙，丙，丁4个志愿者分别安排到学校图书馆，食堂，实验室帮忙，要求每个地

方至少安排一个志愿者帮忙，则下列选项正确的是（）

A.总其有36种安排方法

B.若甲安排在实验室帮忙，则有6种安排方法

C.若图书馆需要安排两位志愿者帮忙，则有24种安排方法

D.若甲、乙安排在同一个地方帮忙，则有6种安排方法

【正确答案】AD

【分析】先将4人分成3组，再将3组安排到3个场馆，即可判断A；分实验室只安排甲1

人和实验室安排2人，即可判断B；先安排2人去图书馆，再将其他2人安排到其他两个场

馆，即可判断C；将甲、乙看成一人，则将3人安排到3个不同的地方，即可判断D.

【详解】解：对于A,先将4人分成3组，再将3组安排到3个场馆，

有CjA；=36种安排方法，故A正确；

对于B,若实验室只安排甲1人，则有CjA；=6种安排方法，

若实验室安排2人，则有A：=6种安排方法，

所以若甲安排在实验室帮忙，则有12种安排方法，故B错误；

对于C,先安排2人去图书馆，再将其他2人安排到其他两个场馆，

则有C%A；=12种安排方法,故C错误;

对于D,若甲、乙安排在同一个地方帮忙，则有A；=6种安排方法，故D正确.

故选：AD.

10.下述四个结论正确的是()

A.直线1+>-2=0的倾斜角是T:T

4

B.若直线》-y+4=0过圆f+y2=i的圆心，则左=0

C.直线ax+y+l=0(awR)过定点4(0,7)

D.直线/:x+百y-4=0是圆。:》2+/=4的一条切线

【正确答案】BCD

【分析】根据直线方程求出斜率可得倾斜角判断A,圆心代入直线方程可判断B,根据直线

系求出定点可判断C,由圆心到直线的距离判断D.

【详解】因为直线x+y-2=0的斜率无=-1,所以直线的倾斜角为135。，故A错误；

因为圆x2+/=i的圆心为(0,0),代入直线的方程可得4=0,故B正确；

fX=0

因为直线〃x+y+l=0(”eR),由",八解得x=0j=-I,可知直线过定点4(0,-1),故C

[y+l=0

正确;

|0+0-4|

因为圆心（0,0）,半径R=2,且圆心到直线的距离d==2=R,所以直线与圆相

切，故D正确.

故选：BCD

X22

11.设椭圆_+匕=1（。>6>0）的左、右焦点分别为百，鸟，短轴长为4,A,8是椭圆上关

/b2

于x轴对称的两点，耳的周长的最大值为12.过点”（-2,1）的直线交椭圆于C,。两点,

且C,。关于点M对称，则下列结论正确的有（）

A.椭圆的方程为《+己=1

94

B.椭圆的焦距为逐

C.椭圆上存在4个点0,使得苏：瓯［0

D.直线8的方程为8x-9y+25=0

【正确答案】ACD

【分析】由椭圆定义，利用直角三角形直角边和斜边关系，知过点心时耳周长最大

为4a求出。，再由短轴得出6,可求得椭圆方程，知A正确，由c的值可确定焦距，知B

错误，由/百。玛=90"知。在以线段耳名为直径的圆上，由c>人知C正确，利用点差法可

求得直线CO方程，知D正确.

【详解】对于A,由题意知;|/8区|46当48过点入时，等号成立，

所以耳|+；|N814M耳|+|/&|=2a,故当过右焦点入时.，48片的周长取最大值

4a=12,所以a=3,又6=2,所以椭圆的方程为片+乙=1,A正确；

94

对于B,由A知,=，7彳=石，所以阳£|=20=2指，即焦距为2石，B错误；

对于C,由加：瓯10知/耳。居=90”,二。在以线段耳入为直径的圆上,

由c>b知：以线段耳名为直径的圆与椭圆有4个交点，即椭圆上存在4个点。，使得

QE-0£=O,C正确；

对于D,由题意知点M（-2,l）为弦CZ）的中点，/在椭圆内部，

2222

设C（x“必），。&,%），则9+^=1,5+年=1,

两式相减得：）a+z）+（M-七）例+%）=o.

94

x,+x2=-^,yx+y2=2,则2（*二&）=,一及，kCD-

94%一乂29

Q

・・・直线C。的方程为：^-l=-（x+2）,即8x-9y+25=0,D正确.

*7

故选：ACD.

12.设首项为1的数列｛氏｝的前〃项和为s,,若s,M=2s“+”-l（NeN*）,则下列结论正确

的是（）

A.数列｛，,+〃｝为等比数列

B.数列｛《,｝的通项公式为a“=2i-l

C.数列｛q+1｝为等比数列

D.数列｛2s,｝的前〃项和为2"2-"2-〃-4

【正确答案】AD

【分析】由条件找到5用+（〃+1）=2（5.+〃）,可判断人正确，由A可求得｛$,｝的通项公式，

利用分组求和可得D正确，由｛s“｝的通项公式可求得｛q｝的通项公式，进而可确定CD错误.

【详解】sB+i=2s„+n-1,：.5n+l+（n+1）=2（s„+ri）,

又¥+1=2x0,

，数列｛s“+〃｝是首项公比都为2的等比数列，故选项A正确.

又s,+〃=2"...2s“=2"i-2",

所以数列｛2s,,｝的前〃和为千尹-2、殁2=2/2-4—1-〃，故选项D正确.

又因为s"+〃=2",sn=2"-n

当〃N2,«„=^-v,=2，，-'-l,

当〃=1,q=l,

1,M=1

故选项B错误.

2—1,〃NN

2,77=1.%+1%+1

"+1=

2"'',n>2"«,+1a2+\

所以数列｛q+1｝不是等比数歹IJ.故选项C错误.

综上，故选：AD

三、填空题

22

13.双曲线二一匕=1的焦距是

6436

【正确答案】20.

22

先由双曲线方程是土-二=1,得到a?=64,b2=36,再用c=7777求解.

6436

【详解】因为双曲线方程是三-匕二1

6436

所以a?=64,8=36

所以c—yja1+b2-J64+36-10,

所以该双曲线的焦距是2c=20.

故20

本题主要考查了双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

14.若点尸(xj)满足方程，则点P的轨迹是•(填圆

锥曲线的类型，填方程不给分)

【正确答案】抛物线

【分析】利用两点间的距离公式及点到直线间的距离公式，结合抛物线的定义即可求解.

【详解】由J(x-l)2+(y-2)2」3x+?+l[,得小一]『+(—『=浮，

所以等式左边表示点尸(x/)到点(1,2)的距离，右边表示点P(xj)到直线3x+4y+12=0的

距离，即点尸（X/）到点（1,2）的距离与到直线3x+4j，+12=0的距离相等，

又因为点（1,2）不在直线3x+4y+12=0上，由抛物线的定义知，点P的轨迹是以（1,2）为焦点，

直线3x+4y+12=0为准线的抛物线.

故抛物线.

15.分配5名水暖工去4个不同的居民家里检查暖气管道，要求5名水暖工全部分配出去，

每名水暖工只能去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有

种（用数字作答）.

【正确答案】240

【分析】先对5人分成4组，再进行全排列，即可得到答案.

【详解】由题意，把5名水暖工分4组共有C；=10种，然后分配到4个不同的家庭，有A：=24

种，

由分步计数原理可得，不同的分配方案共有C；A：=240种，

故答案为240.

本题主要考查了排列组合的应用，其中解答中先将5分分成四组，然后全排列是解决本题的

关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

16.等差数列｛与｝的前〃项和为若儿>。，兄<0,则当〃=时，S,,最大.

【正确答案】8

【分析】由工6>0，¥7<0结合等差数列的前〃项公式结合条件即得.

【详解】vsl6>0,s17<0,

...16146）=8（4+%）>0,17（。；[7）=]7为<0,

，％+为>°，。9<0，

.二%>0，/<0，

.・・当〃=8时，s〃最大.

故8.

四、解答题

17.已知在的展开式中，前3项的系数分别为4、%、%，且满足2牝=%+。3,

求:

(1)展开式中二项式系数最大项的项;

(2)展开式中所有有理项.

【正确答案】(1)四炉

8

7

⑵/和工

【分析】(1)求出卬、%、4的表达式，根据2%=《+%结合〃22可求得〃的值，利用二

项式系数的性质以及二项展开式通项可求得所求项;

(2)写出展开式通项，即可求得展开式中的有理项.

【详解】(1)解:

4=0,1,2,,n,

因为2a2=4+%,可得〃=1+四二D,整理可得〃2-9〃+8=0,

8

由题意可知“22,故”=8,

14_10

因此,展开式中二项式系数最大项的项为n=c；，"=

8

1--

⑵解：展开式通项为1+产4w，4=0,1,2,因为4-菅5k为整数，所以〃=0,6,

7

故展开式中的有理项为小一,心怎

18.已知圆G过点力(0,6),且与圆C2：x2+y2+i0x+10y=0相切于原点，直线

/:(2机+l)x4-(〃24-l)y-1m-4=0.

(1)求圆G的方程;

(2)求直线/被圆a截得的弦长最小值.

【正确答案】(1)(x-3)2+(y-3)2=18；(2)2Jii.

(1)设G：(x-a)2+(y-b)2=r2,根据题意列方程组解得a,b,r即可得解；

(2)求出直线/所经过的定点仅3,1),再根据圆心G到直线/的距离的最大值可求得结果.

【详解】(1)设G：(x—2K2,圆&:幺+/+10*+10卜=0的圆心GJ5,-5),

半径为5a，

(-a)?+(6-6)2=/1a=3

则-/+从=户,解得<6=3,

yl(a+5)2+(b+5)2=5yjl+rr=3母

所以圆G的方程为(x-3)2+(y-3)2=18.

(2)因为/：(2加+l)x+(加+l)y—7m—4=0,即(2x+y-7)〃z+x+y—4=0,

f2x+y-7=0[x=3

由,n得一所以直线/过定点8(3,1),

[x+y-4=0[y=l

设圆心G(3,3)到直线/的距离为d,则d4|C0|=J(3_3)2+(3_了=2,当且仅当时,

等号成立，

所以弦长1=2〃-屋>2J18-4=25/14.

所以直线/被圆£截得的弦长的最小值为2Jii.

关键点点睛：第二间利用圆心G到直线/的距离的最大值求弦长的最小值是解题关键.

19.设数列0｝的前〃项和为邑,%=1,S“=a,+「1.

⑴求S.：

⑵求数列的前〃项和

【正确答案】(1)2"-1

⑵北=4-竽

【分析】(1)根据S“与%的关系推导出数列为等比数列即可求解；

(2)根据错位相减法求和可.

【详解】(1)当〃=1时，ax=S{=a2-1,即的=2,

当“22时，由S“=a*”-1可得S,-=a“T,

两式相减得：an=a„+l-a„,即竽=2,

a.八

V

%

所以｛4｝是以1为首项，2为公比的等比数列,

所以S=匕二=2"-1

1-2

(2)由(1)知,a„=2'-',

所以不产，

TI234n

7；=1+2+27+F++广’

1234n-\n

2^=2+F+F+F+H--------4-----

2"-'T9

两式相减得:

111111n

+H---：----

/=1+"+尹+下2”-12〃

n+2

所以北=4一岁

20.记S”为数列｛〃“｝的前〃项和，已知S,="。"-”2+〃.

(1)证明：｛对｝是等差数歹U；

_,Q”+9

⑵若％=-7,记而求数列帆｝的前〃项和

【正确答案】(1)证明见解析

_2n

⑵『在

【分析】(1)利用%=S,-S,T可整理得到4=%T+2,由此可得结论;

(2)结合等差数列通项公式可求得"，采用裂项相消法可求得?；.

［详解］(1)当〃N2且时，+(〃-1)，

==I%"1户R-1),

整理可得：(〃-l)a,=5-l)qi+2(〃-I),••.a“=《i+2,

•••数列｛•“｝是公差为2的等差数列.

(2)由(1)得：a“=-7+2(〃—1)=2"—9,

_2n_2f11)

'"=〃2(〃+1)

.411111、J,112〃

.•.7=21---F----1---F-------=21-.....=---

〃(223nn+1)(n+\Jn+1

21.已知点(4,2)在抛物线C：f=2眇上，直线/与C交于48两点，。为坐标原点，且

NAOB=90°.

（1）求抛物线C的焦点到准线的距离;

（2）求力08面积的最小值.

【正确答案】（1）4：

⑵64.

【分析】（1）将点（4,2）代入，直接求解；（2）利用“设而不求法”表示出入108=90。，得到

8=8,表示出NO8的面积，进而求出最小值.

【详解】⑴将点（4,2）代入方程4=2陟,解得.p=4

所以抛物线C的焦点到准线的距离为4：

（2）设/（X”凹），8（%,%）,直线/的方程为"仙+"联立厂:8J'消去乃整理得

y=kx+b

'A=64—+326>0

x2-8fcv-8Z>=0,所以，Xj+x,=8A

x,x2=-8b

八，、22

因为408=90°,所以。4。8=0，即中2+%%=°，即%马+他・玉•=（）

88

代入可得：-8b+〃=o,即6=8或6=0（不符合题意，舍去）.

所以，8卜।-》2卜4J（X|+匕）'-4工科2=42+256

所以当％=0时，498面积有最小值64.

22

22.已知椭圆C:—r+4p=l(a>b>0)的离心率为27，4、4分别为椭圆C的左、右顶点，B

ahJ

为椭圆C的上顶点，耳为椭圆的左焦点，且4月8的面积为4.

(1)求椭圆。的方程；

(2)设过点。(1,0)的动直线/交椭圆C于E、尸两点(点E在x轴上方)，M、N分别为直线

\OM\

4后、儿尸与y轴的交点，证明：局为定值.

【正确