天津市南开中学2023-2024学年高三年级上册第二次月考数学试卷

天津市南开中学2023-2024学年高三上学期第二次月考数学

试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合4=｛x|y=lnx｝,3=卜]表=9+1｝,则Ac低3）=（）

A.（0,1）B.（0,1]C.[0,1）D.[0,1]

2.设数列｛。“｝的公比为4,贝『%>。且0<"1”是“｛。”｝是递减数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2

3.函数〃x）=c°sx+x-的大致图像为（）

eA-e'r

4.设Q=log52,b=]n2,C=0.542,则Q,b,。的大小关系为（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

5.设S"为正项等比数列｛外｝的前〃项和，％，3a3,%成等差数列，则名的值为（）

A.—B.—C.16D.17

1617

21

6.已知3“=5b且一+7=1,则〃的值为（）

ab

A.log315B.log515C.log345D.log545

7.我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺,

末广八尺，无深，袤七尺.问积几何?”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等

的三角形围成的五面体.在图1所示羡除中，AB//CD//EF,AB=10,CD=8,EF=6,

等腰梯形A3CD和等腰梯形ABFE的高分别为7和3,且这两个等腰梯形所在的平面互

相垂直.按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为()

图1图2

A.84B.66C.126D.105

8.记武见)表示区间上4]上的偶数的个数.在等比数歹£%-〃｝中，q=4,%=11,

贝1]r(%)=()

A.39B.40C.41D.42

9.将函数—也,+£|图象上的所有点向右平移;个单位长度，得到函数y=g(x)的

图象，贝U()

A.g(x)为奇函数B.g(x)=cos(2x-亳

C.g(x)的最小正周期为2兀D.g(x)的单调递增区间为

5兀77C

一一-+hi,--+k,7i1,keZ

oo

二、填空题

10.设i是虚数单位，a+z=(1+2，)初(-R),贝！Jb-a=.

11.在13/一的展开式中，X的系数是.

三、双空题

12.已知直线/：y=入一2(左>。)与圆龙2+丁=1相切，且被圆f+(y+o)2=4(a>0)截

得的弦长为26，则左=;a=.

试卷第2页，共4页

四、填空题

13.锐角a,夕满足e+2£=g,tanjtan^=2-V3,K>J«和口中的较小角等于

五、双空题

14.。为ABC的边AB一点，满足AD=2£>8.记“=。4,b=CB，用a,b表示

CD=；若=且，ABC的面积为g,则NACB的最小值为.

六、填空题

15.若二次函数”*)=/+。-％)»1在区间［2,3］上存在零点，则/+"的最小

值为•

七、解答题

16.在uABC中，A,8,C对应的边为a,b,c.已知acosC+；c=b.

(I)求A；

(II)若b=4,c=6,求cosB和cos(A+23)的值.

17.如图，在直三棱柱ABC-A与。|中，AB1BC,AB=BC=BBt=2,。为棱A2的

中点.又为线段BG的中点.

⑴求证：BC"/平面ACD；

(2)求平面\CD与平面C.DC的夹角的余弦值;

⑶求点加到平面AC。的距离.

22

18.椭圆二+二=1的左、右顶点分别为A,B,上顶点为C(0,2),左、右焦点分别为

a2b2

4,F2,且IA耳I，I耳可，闺同成等比数列.

(1)求椭圆的方程；

⑵过£的直线/与椭圆交于M,N两点，直线CM,CN分别与X轴交于P,Q两点.若

SMMN~S^cPQ，求直线/的斜率.

19.已知数列｛4｝是首项为1的等差数列，数列也J是公比不为1的等比数列，满足

ax+a2=b2,a2+a3=b3,a4+a5=b4,

⑴求应｝和也｝的通项公式；

(2)求数列｛。也｝的前〃项和S“；

(3)若数列｛4｝满足4=1,dn+dn+l=bn,记I,=£二》.是否存在整数加，使得对任

d

意的weN*都有14%北一广＜2成立？若存在，求出优的值；若不存在，说明理由.

20.已知函数/'(力="-"2,。＞0且owl.

⑴当。=e时，求曲线y=〃x)在％=1处的切线方程；

(2)若。＞1,且/(x)存在三个零点A,X,,x3.

(i)求实数。的取值范围；

2e+l

(ii)设无1＜/＜彳3，求证：％+3工2+/＞—T=~.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】根据对数函数的定义域求出A,根据二次函数的性质求出8,再根据集合的运算法

则计算可得.

【详解】因为A={乂丁=111耳=3»0},B=1_y|_y=x2+l}={y|y>l},

所以Q8={y|y<l},则A(^B)={X|0<X<1}=(0,1).

故选：A

2.A

【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.

nX

【详解】由等比数列的通项公式可得，an=acq=^-q\

q

当％>0且0<4<1时，则幺>0,且y=4"单调递减，则％=以0是递减数列，故充分性

qq

满足；

当。“=幺是递减数列，可得it।或故必要性不满足；

q[0<4<1国>1

所以“4>。且。<4<1”是“{a„}是递减数列”的充分不必要条件.

故选：A

3.A

【分析】根据奇偶性可排除CD,当犬=兀时，/(x)>0,排除B.

2

【详解】因为/(%)=；：X：：,xwo,

COS(f)+(-X)2cosx+x2

所以/(-%)==一十)，

e"e-S)e-e

故函数为奇函数，故排除CD,

_1冗2

当x二兀时知/(兀)二〉0,可排除B.

e兀-e兀

故选：A.

4.B

【分析】根据题意，由条件可得ol,即可得到结果.

答案第1页，共16页

【详解】因为。=1吗2="，b=ln2=A，且lg5>lge>0,所以〈用,

1g5Igelg5Ige

即a<6,且ln2<lne=l；

又c=0.5">0.5°=1,所以a<6vl<c.

故选：B

5.D

【分析】设等比数列的公比为q,q>0,运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式,

解方程可得公比4,再由等比数列的求和公式，计算可得所求值.

【详解】正项等比数列｛4"｝的公比设为q,q>0,3,3a3,加成等差数列,

可得6a3=as+O4,BP6ai^=aiq4+aiq3,

化为q2+q-6=0,解得q=2（-3舍去），

故选D.

【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的中项性质，考查方程思想和

化简运算能力，属于基础题.

6.C

【分析】令3。=5"=4>0,利用指对数互化，换底公式及对数的运算法则可得上=45,即得.

【详解】令3"=5=>0,

11,c11,21

则a=log3左泊=1。85左，-=---r=1°g*3'7=-；-----T=l°gQ,又一+7=],

alog3kblog5kab

21og«3+logk5=log*45=1,即左=45,

/.a=log345.

故选：C.

7.A

【分析】由图可知，中间部分为棱柱，两侧为两个全等的四棱锥，再由柱体和锥体的体积公

式可求得结果.

【详解】按照图2中的分割方式，中间为直三棱柱，直三棱柱的底面为直角三角形，

两条直角边长分别为7、3,直三棱柱的高为6,

答案第2页，共16页

所以，直三棱柱的体积为K=gx7x3x6=63.

两侧为两个全等的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，

直角梯形的面积为5=止且g=3，四棱锥的高为=3,

22

121

所以，两个四棱锥的体积之和为匕=2x5x5x3=21,

因此，该“羡除”的体积为V=K+%=84.

故选：A.

8.C

【分析】设｛巩-科的公比为4,根据％和电求出4,从而得〃〃和久，再根据K*的定义可

求出结果.

(、a?—211—2_

【详解】设｛4-科的公比为夕，则4=:7?=』=3,

所以%-1)-尸=(4_1)♦3"一=3",则an=n+3",

所以&=4+3,=85,

所以落在区间［4,85］内的偶数共有41个，故r(%)=41.

故选：C.

9.B

【分析】根据三角函数的变换规则求出g(x)的解析式，再根据正弦函数的性质判断A、C、

D,利用诱导公式判断B.

【详解】将函数y=sin［2x+；］图象上的所有点向右平移;个单位长度得到

g(x)=sin，卜-：=sin］2x-：)

函数g(x)的最小正周期7号=兀，故C错误；

xg(-x)=sin^-2x--sin+所以g(x)为非奇非偶函数，故A错误;

p23兀)吟兀］.(吟

又y=cos2x-----=cos2x————=sin2x——,

I4JLI4；2jI4；

所以g(x)=cos(2x-U故B正确；

答案第3页，共16页

令--F2kn<2x——<—+2kn,kwZ,

242

JT3TT

角军得一3+EV%+E,k£Z,

88

jr3冗

所以函数g（x）的单调递增区间为-g+标,k+E,keZ,故D错误;

|_OO_

故选：B

10.3.

【分析】根据复数相等的充要条件，建立。1方程，求解即可.

【详角军】a,b£R,a+i=（l+2i）bi=-2b+bi,

（a=-2b1a=-2

,,।»11'b—a=3.

故答案为：3.

【点睛】本题复数的代数运算和复数相等定义的应用，属于基础题.

11.-720

【分析】写出展开式的通项，令10-3r=1,求出人再代入计算可得.

【详解】二项式0犬一jj=C；(3x2广[一2]=c3TX(-2)r尤5

展开式的通项为（其

中0WrW5且reN),

令10-3r=1,解得r=3,所以7；=€：；32><(-2)，=一720%,

所以展开式中了的系数是-720.

故答案为：-720

12.V34

【分析】利用圆心到直线的距离等于半径求出3即可求出直线/的方程，再由弦长求出圆

心到直线/的距离，即可求出

【详解】因为直线/：y=刈—2（左>0）与圆尤2+3=1相切,

|-2|

所以圆心（0,0）到直线/的距离4==1解得左或左=-右（舍去）,

贝U直线/的方程为：y/3x-y-2=o,

又被圆x2+（y+4=4（a>0）截得的弦长为2石,

答案第4页，共16页

\a-/2/厂\2

所以圆心（O,F）到直线）的距离4=J㈣2+（_4二/一百3）,

解得〃=4或〃=0（舍去）.

故答案为：百；4

71

13,-/30°

6

【分析】根据题意，由正切的和差角公式代入计算，即可得到tan葭,tan4的值，即可得到

结果.

a八

tan——Ftanp

【详解】由&+2/=三可得§+〃=所以tan?+尸7---=6

八

1y-tan—atanp

又tan£tan尸=2-百，所以tan]+tan夕=3-g,

a

tan——Ftan/?=3-^3

2tan—=2-^3

由“,解得＜2

a

tan—tan/3=2-上tan=1

2

或2（舍去，此时。不为锐角），

tan/?=2-括

所以tan夕=1,夕为锐角，则£=：-TT,又a+2尸=9今TT，则&=7^T.

436

所以a和2中的较小角为

0

故答案为：m

0

【分析】根据平面向量的线性运算计算即可，设/408=2。€（0,兀），根据三角形的面积公

式可得必三，再利用向量化结合基本不等式及三角函数的性质即可得出答案.

4sm2。

【详解】由AD=2O8，

^CD=CA+AD=CA+-AB=CA+-（CB-CA\=-CA+-CB=-a+-b

33、73333f

设NAC5=2，w（O,兀），则6设的对边分别为〃也

答案第5页，共16页

9199

由金。的面积他，得理，也2。二，所以加3

2(12-Y1-24-241,4,4

CD=\-CA+-CB=-CA+-CB+-CA-CB=-b2+-a2+-abcos20,

U3J999999

i444

故1=—Z?2+—tz2+—«/?cos2^>—tiZ?(l+cos2。)

4o1+cos20

=­x-------(1+cos2。)

94sin26>v7sin20

小、1l+cos262cos201

所以--------=----------=-----

sin202sin0cos0tan6

又戒咽，所以—所以常吟

14

当且仅当即％=2”时取等号,

7T

所以NACB的最小值为;.

故答案为：ga+gb；

【分析】设/为/（x）在［2,3］上的零点，可得加2+（i一2力"。-1=0,转化为点（“㈤在直线

（『-1）尤-20+/-1=0上，结合"十^的几何意义，可得有解问题，利用

（产+1）一

导数的单调性和最值即得.

【详解】设/为/（*=双2+。一26卜—“—1在［2,3］上的零点,可得：at2+（l-2b）t-a-l=0,

即：（厂—1）。—2tb+1—1=。，

从而可理解为点（“㈤在直线（』-l）x-2少+f-1=0上，而/+〃表示点（区协到原点的距离

的平方.

答案第6页，共16页

依题意，问题转化为'片+°|r-H（"I）?

2NJe［2,3］有育轧即/+b2>Je[2,3]有

7（r2-D2+4r（户+1）2

解,

（）

不妨设g（”H7—12，F2,3］,令人T则正,则有

hW=[

4+2+2

9

记夕⑷=4+7，易得：夕。）在［1,0］上递减，在［0,2］上递增，而夕（刃1^=破1）=夕（2）=3,故

Z

11

小）9

11

即：g⑺2石，故当"2或3时，/+从的最小值为三.

故答案为：石.

【点睛】方法点睛：已知函数在定区间上存在零点问题常用的方法:

（1）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数在给定区间上的图象，利用数形结合的方法求解.

（2）分离参数法：对于一个参数的问题，一般先将参数分离，转化成求函数在给定区间上

的值域问题加以解决；

（3）反客为主法：对于含双变量的零点问题，常设出零点，将方程转化为双变量为点坐标

的轨迹问题，利用所求式的几何意义求解.

n11

16.（1）A=?（II）-一

314

【分析】（I）先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（II）根据余

G2

弦定理求。，代入条件求得sin8=工，解得cos8="，最后根据两角和余弦定理得结果.

【详解】（I）解：由条件acosC+：c=6,得sinAsinC+gsinCusinB,又由sinB=sin（A+C）,

得sinAcosC+gsinC=sinAcosC+cosAsinC.

1兀

由sinCw0,得cosA=—,故A=§.

jr

（H）解：在‘ABC中，由余弦定理及6=4,c=6,A=],

有〃=〃+/-26ccosA,故a=2币.

答案第7页，共16页

62

因为故C0S5=

由Z?sinA=asinB得sinB=万万

91

因此sin2B=2sinBcosB=cos23=2cosB—1=—.

77

所以cos(A+25)=cosAcos2B一sinAsin2B=---.

【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件

灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

17.(1)证明见解析;

⑵①

6

⑶亚

3

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.

（2）由（1）中坐标系，利用面面夹角的向量求法求解即得.

（3）由（1）中坐标系，利用点到平面的距离公式计算得解.

【详解】（1）在直三棱柱ABC-A4G中，AB±BC,则BABC,明两两垂直,

以8为原点，直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，

由AB=BC=BB]=2,D,"分别为A3,BG中点,

则8(0,0,0),4(0,2,0),C(2,0,0),4(022),4(0,0,2),C"2,0,2),0(0,1,0),M(l,0,1),

得BQ=(2,0,2),4。=(0,-1,-2),AC=(2,-2,-2),

答案第8页，共16页

nA,D=-y,-2z=0

设平面ACD的法向量为”=(占,%，4),则'''},令z=-l,得

[n-AlC=2xl-2y1-2zl=0

因为3cl"=2—2=0,则BC］」“，即3cl〃平面AC。，而平面

所以BC"/平面ACD.

(2)由(1)得，CD=(—2,1,0),CCj=(0,0,2),设平面CQC的法向量为"=(%,%,z?)，

，令％=1，得加=(1,2,0),而平面&C。的法向量为九=,

m-CD=-2X2+y2=0

lm.nl5、/3(

设平面CXDC与平面4c。的夹角为凡则cos0=1cos<m,〃〉|二=厂,厂=当

\m\\n\V5xV66

所以平面AC。与平面GDC夹角的余弦值为我.

6

(3)由⑴知平面4CZ)的法向量为〃=(1,2,-1),MD=(-1,1,-1),

\MD-n\2、格

则点M到平面\CD的距离h==*=号•

尤2V2

18.(1)—+^-=1

54

⑵-；或0

【分析】(1)由题意，可知6=2,由|A4|耳司，⑶同成等比数列，得到“=5c"结合

a2=b2+c2即可求出椭圆方程；

(2)斜率为零时，符合题意；斜率不为零时，设其直线方程为x=-1,与椭圆方程联立，

结合韦达定理，得至+%%=丁27,分别求出直线CM,CN的方程，

进而求出P,Q两点，利用三角形面积公式结合SACMNUSACPO求出优，进而得到直线/的斜

率.

【详解】⑴设椭圆左，右焦点分别为耳(-c,0),6(c,o),

由题意可知，6=2,①

答案第9页，共16页

因为IaI,阳用，忸邳成等比数列，

所以恒用2=|AR闺同,即4c2=（a—c）（a+c）,

整理得，a2=5c2,②

又。2=/+。2,③

由①②③解得，a=A/5,b=2,c=l,

22

所以椭圆方程为L+工=1.

54

（2）

由（1）可知，E（-LO）,

由题意知，当直线/的斜率为。，M,尸重合，N,。重合，SACMN=SACPQ，符合题意;

当直线斜率不为零时，设其直线方程为了=%-1,Af（占,yj,N（w，%）

x=my-1

由腐+匚1可得,（4加之+5）9—8my-16=0,

5

A=64m2+64x（4加2+5）〉0,

8m-16

则X+%=

4m2+54m2+5

因为C（0,2）,所以CM的直线为了=（%；2）尤+2,

令y=0,贝产=/^,即P：

2-.V1^4

同理可得。,0,

2%1（2-%）-2々（2__I2（机M-1）（2一%）一2（my2T）（2一％）

所以阿H言-急（2-％）（2-%）|（2-％）（2-%）

答案第10页，共16页

2（"0-1）（2-%）-2（冲2-1）（2-%）2（%-%）（2"-1）

（2--）（2-%）4-（%+%）+%%

二12（%一%）（2加T）||2（。一%）（2他-1）|（4疗+5）

4_8-16|16m2-8/n+4|

4m2+54m2+5

2

_1|2（y「%）（2mT）|（4疗+5）|2（-j2）（2m-l）|（4m+5）

CPeX22

所以-2|16m-8m+4||16m-8m+4|

222

\MN\=7（-«2-）+（）=J（机%-加%『+（%-%『=\y2-yl\y/m+i,

点C（0,2）到直线x=my-l的距离为d=号g,

Vm+1

1I

所以S。。

又因为SACMN=S^CPQ，

2

|2（yi-y2）（2m-l）|（4m+5）_[y271||-2^+1|

所以_+4]-2，

解得，〃7=-2或相=；,

当机=；时，直线/的方程为尤=；y-l,此时直线过点"（0,2）,不符合题意，舍去;

当〃z=—2时，直线/的方程为元=一2、-1,即x+2y+l=0,符合题意.

综上，所以直线/的斜率为或0.

19.（1）«„=2/7-1,d=2"

⑵S“=（2〃-3>2角+6

（3）存在7〃=5,理由见解析

【分析】（1）利用等差等比数列的基本量表示已知条件，解方程组得到基本量，利用等差等

比数列的通项公式得到答案；

（2）利用错位相减法求解即可；

（3）假设存在满足要求的整数加，取w=L2,3得到机的范围，进而求得加的值为5,然后

答案第11页，共16页

证明当相=5时，对任意的weN*,都有14机北一卜＜2成立.为止匕先要根据4+4血=我，

利用等比数列的求和公式，求得q+47；M=2_（g],结合7^=7；+，；]dn+x,求得

,然后利用作差法证明即可.

【详解】（1）设等差数列｛1』的公差为d,等比数列｛勿｝的公比为q,

2+d=bxq

则2+3d=如2,所以2d=t\q(q—i)

4d=bq2(q-l)'

3l

2+7d=blq

因为qwl,。，所以乡=2,

2+d=2b,

所以2+3d=44,解得d=4=2,

2+7d=84

所以%=1+2(〃—1)=2〃—1,bn=2-2〃T=2〃；

(2)由(1)得a/“=(2〃—l12”,

则S“=2+3x22+5x23++(2”—1卜2”①，

25„=22+3X23+5X24++(2〃-1>2m②，

由①一②得-S“=2+2x22+2x23++2x2"-(2〃-l>2"+i

2(l-2")

7,!+1n+1

=2-2-2-(2»-1)-2=(3-27i)-2-6,

所以S“=(2〃—3)2向+6；

(3)假设存在满足要求的整数机，

令〃=1,贝力不一不<2,解得5Kmv9；

b2b2

令〃=2,贝！+5<2,解得?《加〈当；

令〃=3,则1〈租4+勺+3-《<2,解得曾

仇2区a2323

所以542〈考133，

答案第12页，共16页

又已知mEZ,故若存在，则根=5,

下证：当机=5时，对任意的〃EN*,都有1«根（一9<2成立,

+&+［；）4+

4+［；）4+

++（4+4）+（；）@+4）++［；［®〃+d〃+J，

即北+4看+i=4+（；）（4+4）+（：）@+&）++（：）（4+九）

田上+疑+疑+…+3I2"

=1+「

所以7；+7；M=57；+0d用=2-1£|,

则5「=2-（；）"

又因“cN*,所以2—2［g1<2-2-^<2,

即对任意的neN*都有145方-冬<2成立，得证.

答案第13页，共16页

所以存在整数相=5,使得对任意的〃eN*都有"机(-*<2成立.

【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：

(1)对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

(2)对于｛〃/”｝结构，其中｛外｝是等差数列，抄“｝是等比数列，用错位相减法求和；

(3)对于｛%+4｝结构,利用分组求和法；

(4)对于［二一［结构，其中｛〃“｝是等差数列，公差为d(d大0),则工一=。(工-1一］,

aaa

［,.n+iJA+i八4an+i)

利用裂项相消法求和.

20.⑴ex—e+y=0

2

⑵⑴l<a<eG(ii)证明见解析

【分析】(1)求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得；

(2)(i)根据/(x)存在三个零点%,马,鼻，转化为两个函数有三个交点，再根据最值可求.

(ii)根据三个零点所在区间，把要证明的式子分解为三个部分，分别求解后可得.

【详解】(1)当a=e时〃x)=e，—e?,则〃1)=8-exF=0,

又尸(x)=e,-2ex,所以/'(1)=8-2e=—e,

所以曲线y=/(x)在x=l处的切线方程为y=-e(x—1),即ex-e+y=0.

(2)(i)因为/(%)=优-6X2,。>1且存在三个零点占,马,退，

所以4，-改2=0有3个根，

当x<0时，/(-l)=a-1-e<0,/(0)=a°>0,(x)="Ina-2ex>0,

所以在(-8,0)上是单调递增，由零点存在定理，方程必有一个负根，

当尤>0,xlna=1+21nx,即Ina=11tt有两个根,

X

人(、l+21nx-r4心八位1./\l+21nx+H人-1

令f(x)=------,可转化为y=lna与［x)=-------有两个父点，

XX

,(X_2-(l+21iu:)_1-21HX

«)=-一==^'

可得xe(0,6)时即《%)在(0,&)单调递增，

答案第14页，共16页

其中f=0,当五，，（尤）>0,《Hmax