文科数学2024届新高三开学摸底2023高二年级下册期末试题及答案解析 二

数学2024届新高三开学摸底2023高二下学期期末试题

及答案解析

数学试题(文科)

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选

择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一个选项是符合题目要求的.

1.若集合M=卜1/-3χ=θ},/V={x∣log2x<2},则Λ√uN=()

A.{-2}B.(0,4)C.(→o,4)D.[0,4)

【答案】D

【分析】分别解出集合M,N,即可求得MUN.

【详解】解："={工，-3x=θ},.∙.M={0,3},

/V={x∣log2x<2},N={x∣0<x<4},

.∙.MuN=[0,4).

故选：D.

【点睛】本题主要考查的是集合的并集运算，正确解出集合是解决本题的关键，是基

础题.

2.若z=i(3-句，则IZI=

A.√5B.2√5C.5D.25

【答案】C

【分析】先利用复数乘法的运算化简复数z,再利用复数模的公式求解即可.

【详解】因为z=i(3-4i)=4+3i,所以IZI=J32+42=5.故选C.

【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,属于基础题.

复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部

的理解，掌握纯虚数、共较复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法

运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，

防止简单问题出错，造成不必要的失分.

3.设函数F(X)=0,x=0,且/(X)为奇函数，贝IJgQ)=()

g(x),x>0

A.-B.—C.4D.—4

44

【答案】D

【分析】利用分段函数、奇函数的性质求解.

【详解】因为/(X)=0,x=0,所以f(2)=g(2),

g(χ),χ>o

又f(x)为奇函数，所以/(为=g(2)=—/以2),

所以g(2)=-g)-2=-4,故A,B,C错误.

故选：D.

4.甲，乙，丙，丁四人在足球训练中进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球

传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过3次传球后乙恰接到I次球的概

率为()

A.—B.-C.黑D.—

2792727

【答案】C

【分析】将所有传球的结果列出，再利用古典概型求结果.

【详解】传球的结果可以分为：

分别传给3人时：乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6种；

若传给2人时：乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6种；

再传给甲的：乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙

甲，丙甲乙，丁乙甲，丁甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁甲丙，丁丙甲，共15种；

共27种，只传乙一次的有16种，所以所求概率为尸=£

故选：C

5.“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出

2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的

数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后

面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素

数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为

A.130B.132C.134D.141

【答案】B

【分析】利用等差数列求和公式及素数的定义即可求解.

【详解】由题可知，2到20的全部整数和为E=史上地=209,

2

2至IJ20的全部素数和为S2=2+3+5+7+11+13+17+19=77,

所以挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为209-77=132.

故选：B.

6.已知函数"x)=l-2cos2(0x+m®>o)的最小正周期为τ,且=<τ<=,若

kθ√43

F(X)的图象关于直线X=?对称,则噌卜()

【答案】A

【分析】运用二倍角公式化简/(X),结合:<τ<g与/(X)的对称性求得。的值，进

而求得结果.

【详解】因为/(x)=l-2cos2(0x+[]=-COS(2OX+M,

所以T=F=

又因为%T<

所以上<K<Wπ,即?<@<4,①

4。32

又因为/(x)的图象关于直线X=F对称，

O

TTTT

所以20x∙7+∖=⅛π,keZ.

所以。=3Z—1,ZeZ,②

所以由①②得力=2,

所以/(X)=-CoS(4x+g

故选：A.

7.在“5C中，角A,B9C所对的边分别为〃，b,C9若α=4,b=5fc=√61,则角C

=()

A.120oB.90oC.60oD.45°

【答案】A

【分析】利用余弦定理求出CoSC的值，结合角C的取值范围可求得角。的值.

【详解】由余弦定理可得CoSC="+"c=-L,

Iab2

0o<C<180o,C=120°.

故选：A.

8.在“ABC中，点。在边BC上，且BD=2OC，则()

A.AD=AB+2ACB.AD=2AB+AC

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB+-AC

3333

【答案】D

【分析】利用向量的线性运算法则计算即可.

2

【详解】因为点。在边BC匕且瓦5=2。。，所以8O=18C,

ɔɔ1ɔ

所以4O=AB+BO=AB+-8C=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

331,33

故选：D

9.贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾

隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何

体的组合体，上面的几何体I是直棱柱，中间的几何体II是棱台，下面的几何体In也

是棱台，几何体HI的下底面与几何体I的底面是全等的六边形，几何体In的上底面面

积是下底面面积的4倍，若几何体I、H、In的高之比分别为3:3:5,则几何体I、

II、In的体积之比为()

II

III

A.3:6:10B.3:9:25C.3:21:35D.9:21:35

【答案】D

【分析】设上面的六棱柱的底面面积为S,高为3〃?，根据棱柱和棱台的体积公式直接

计算，然后求比可得.

【详解】设上面的六棱柱的底面面积为S,高为3加，由上到下的三个几何体体积分别

记为匕匕,匕，

则=3nιS,

=l(s+4S+√4F)×3w=ImS,

^=l(s+4S+√4Sr)×5∕n=yw5,

35

所以K:匕:匕=3"S7mS:半MS=9:21:35

故选：D

10.已知过双曲线C：-S=l(q>0,6>0)的右焦点F(Go)作X轴的垂线与两条渐

近线交于A,B,-OA8的面积为叵，则该双曲线的离心率为()

3

A.—B.-C.2D,-

323

【答案】A

7Ar

【分析】先结合双曲线的渐近线方程求出IABI=亍，再根据三角形面积公式得到

2=立即可.

a3

得A卜总，β∖c,_bc_

a

∙∙∙Si=*硝ABl=如今=4

故选：A.

11.已知直线/“+y-3=0上的两点A,B,且IABl=I,点P为圆£>:f+>2+2%-3=0

上任一点，则，始8的面积的最大值为()

A.√2+lB.2正+2C.y∣2-∖D.2√2-2

【答案】A

【分析】找到圆上的点到直线距离的最大值作为二BAB的高，再由面积公式求解即可.

【详解】把圆。：/+/+2》-3=0变形为O+a+/=%

则圆心。(一1,0),半径r=2,

+3

圆心。到直线/：χ+y—3=0的距离d=j∖∣=20,

√12+12

则圆。上的点到直线AB的距离的最大值为d+『=2&+2，又IABl=1,

,./AS的面积的最大值为:*9点+2卜1=&+1.

故选：A.

17

12.a=1÷siπθ.1»b=e01>C=--,则〃也C的大小美系为().

16

A.b>c>aB.b>a>c

C.a>b>cD.c>b>a

【答案】B

【分析】分别构造函数证明e'>x+l,(x>0)与x>sinx,(x>0),利用这两个不等式可判

构造函数MX)=Sinx--x∖0<x<-可证得sin%>-x即可判断”>c,从

8168

而得出答案.

【详解】令F(X)=e*-(x+l),(x>0),则f'(x)=e*-l>O,

则/3在(0,+8)上单调递增,⅛/(X)>/(0)=0,则e*>x+l,(x>0).

令g(x)=x-sinx,(x>O),贝∣Jg'(x)=I-CoSXNO,

则g(x)在(0,+∞)上单调递增，故g(x)>g(O)=O,则x>sinx,α>O).

所以e°ι>l+O.l>l+sinO.l,即…；

令MX)=Sinx--x0<x<^,贝∣J/(尤)=COSX-*,

8I68

因为O<x<g,所以正<cosκ<l,贝IJCOSX>立>*,

⅛∕∕(x)>0,

6228

所以MX)在(O%上单调递增，则MX)>"(())=(),即SinX>-x

8

易知OJwfθ,4,所以SinO.l>2χO.l=L则l+sinO.l>l+-L=",即a>c；

∖6√8161616

综上：h>a>c.

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.平面向量α,b满足α=(T2),0=(2,3),则α∙(α-b)=.

【答案】1

【解析】

【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标表示计算作答.

【详解】因为α=(T,2),1=(2,3),则"b=(-3,-1),

所以a-(q_q=(_l)x(—3)+2x(-l)=l.

故答案为：1

X<2

14.如果X,y满足,γ≥-l,则2y-x的最小值为.

x-y≥0

【答案】-4

【解析】

【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求解作答.

'x≤2

【详解】作出不等式组，y≥-l表示的平面区域，如图中阴影一ABC(含边界)，其中

ɪ-J>0

A(2,-1),B(2,2),C(-1,-1),

第7页/共20页

IZ17

令z=2y—x,即y=—尤+—表示斜率为:，纵截距为一的平行直线系,

2222

画直线=平移直线4到直线4,当直线4过点A时，直线4的纵截距最小，Z

最小,

即zmi∏=2×(-l)-2=-4,所以2y-x的最小值为-4.

故答案为：-4

15.某玩具厂计划设计一款玩具，准备将一个棱长为4cm的正四面体（所有棱长都相等的

三棱锥）密封在一个圆柱形容器内，并且这个正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，

则该圆柱形容器内壁高的最小值为cm.

【答案】2氓

【解析】

【分析】依题意该正四面体内接于该圆柱的内切球时，圆柱形容器内壁高的最小，则正四

面体外接球的直径即为圆柱形容器内壁的高，求出正四面体外接球的半径，即可得解.

【详解】依题意该圆柱内放置一个棱长为4cm的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以

任意转动，

则该正四面体内接于该圆柱的内切球时，圆柱形容器内壁高最小，

则正四面体外接球的直径即为圆柱形容器内壁的高，

如图正四面体P-ABC,设点P在面ABC内的射影为“，即吊上面ABC,

则球心。PH上，A"=2AB∙COS30=当，

33

4√6

所以PH=y∣PA2-AH2=

亍

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设外接圆的半径为R，OP=OA=R,所以OH=PH—OP=还一R，

3

f4√6Yf4√3Y

在Rt4Q4∕/中，042=OH2+A"2,即R2+

I3J3)

解得R=ʌ/ð，

所以该圆柱形容器内壁高的最小值为2jdcm∙

故答案为：2瓜

16.已知A是曲线y=e，上的点，8是曲线y=lnx上的点，∣AB∣≥a恒成立，则实数α的

取值范围是.

【答案】

【解析】

【分析】要IABINa恒成立即求IA用的最小值，因为曲线y=e'与曲线y=lnx互为反函

数，关于直线V=X对称，故IA网的最小值为曲线y=e*上的点到于直线y=X的距离的两

倍，利用导数的几何意义求出即可.

【详解】要IABl≥α恒成立即求IABl的最小值，

因为曲线y=e'与曲线y=Inx互为反函数，

所以图像关于直线＞=X对称，

又A是曲线y=e，上的点，8是曲线y=lnx上的点，

所以IA6∣的最小值为曲线y=et上的点到于直线〉=%的距离的两倍，

第9页/共20页

由y=ev=>y'=ev,

设与直线V=X的平行且在y=ev上的切点为：(Xo，e*),

则y'Lκ0=e*=1，即Xo=0，

所以曲线y=e'上切点为(0』)，

所以A到直线y=X的距离的最小值即为点(0,1)到直线y=X的距离的最小值,

d=J°T√2

即,

√ι2+(-ι)2^2^

所以4n,in=3,所以正？G

即实数”的取值范围是：(-∞,3].

故答案为：(-∞,√2]

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求

作答.

(-)必考题：共60分.

4

17.在一ABC中，角A,B,C的对边分别为小b,c,B=2A<cosA=-.

(1)求COSB和COSC的值；

(2)若ABC的面积为普，求α+Z?的值.

744

【答案】(1)cosB=一,cosC=---；

25125

(2)13.

【解析】

【分析】(1)在中，利用同角公式、二倍角的正余弦公式及和角的余弦公式求解作答.

(2)由(1)中信息，结合三角形的面积求出α匕，再由正弦定理求解作答.

【小问1详解】

4,4,7

在ASC中，cosA=—,B-2A>则858=(：0$24=2<：0$~4-1=2*(—)~-1=—,

5525

第10页/共20页

而OVAVπ,则SinA=JI-COS2A=

3丁5

sin3=sin2A=2sinAcosA=2×-×-=—,

5525

因此COSC=CoS[万一(A+B)]——cos(A+∕?)=—cosAcosB+sinAsinB

4732444

=×----F—x——=-----

525525125

【小问2详解】

44

在.ABC中，由（1）知CoSC=—,而0＜。＜兀，则

125

sinC=Vl-cos2C

于是.√WC的面积S"c=JαbsinC=Jα8χUɪ=当，解得出?=40,

2212525

3

QA-

即-5

-==-,因此

由正弦定理得——=——力Rα=5,b=8,

sinAsinB248

25

所以α+b=13∙

18.某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科H，考生还要从物理、化学、生

物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.现从该地区已选科的学生

中随机选出200人，对其选科情况进行统计，选考物理的占60%,选考政治的占75%,

物理和政治都选的有80人.

（1）完成选考物理和政治的人数的2x2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过

0.1%的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？

选考政治的人数没选考政治的人数合计

选考物理的人数

没选考物理的人数

合计

（2）若甲、乙、丙三人选考的是物理、化学和生物，A,8两人选考的是历史、地理和政

治，从这5人中随机选出2人，求这两人中选考物理和政治的各一人的概率.

第11页/共20页

附参考数据和公式:

2

P(κ≥ko)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

3841

k。2.0722.7065.0246.6357.87910.828

n(ad-bCy

K2,其中〃=α+8+c+d.

(α+∕)(c+d)(α+c)(b+d)

【答案】（1）列联表见解析，可以

⑵3

5

【解析】

【分析】（1）根据题意完成2x2列联表，再计算出K?与10∙828比较即可得出判断；

（2）列举出从5人中抽取2人包含基本事件，再分析出选考物理和政治的各一人的基本

事件，根据古典概型计算公式，计算即可.

【小问1详解】

根据题意，选考物理的考生有200x0.6=120人，

选考政治的考生有200x0.75=150人，2x2列联表补充完整如下：

选考政治的人数没选考政治的人数合计

选考物理的人数8040120

没选考物理的人数701080

合计15050200

2200×(80×10-40×70)2100

∣5∣79K~=-----------------------------------=------≈ll.lll>10.828.

150×50×120×809

所以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，可以认为考生选考物理与选考政治有关.

【小问2详解】

从5人中抽取2人包含的基本事件有甲乙、甲丙、乙丙、甲4、甲8、乙A、乙B、丙A、

丙B、AB,

共10个，其中选考物理和政治的各一人的基本事件有、甲4甲B、乙A、乙B、丙A、

丙8,共6个，

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所以所求概率p=g=3.

105

TT

19.已知四棱锥P-ABCD,底面ABC。是边长为2的菱形，且/84。=一,

3

PA=PC,PD±AD,E为PB中点、.

P

(2)若PD=2,求三棱锥P-Az)E的体积.

【答案】(1)证明见解析

⑵—

3

【解析】

【分析】(1)连接AC,B0,ACcBO=O,证明AelBD与PoIAC可得，Ae_L平面

PBD,利用线面垂直的性质可得结论；

(2)求出％W=班，结合E为PB中点，可得VEABD=—,利用

r-Λt>U3C,-Λι5L∕3

VP-AoE=P-AHD~VE-ABD可得答案.

【小问I详解】

连接AC,BD,ACr∖BD=O,

因为底面ABCo是边长为2的菱形，

所以ACl8。，且。是Ae的中点，

因为∕½=PC,所以Po_LAC,

又因为POCBD=O,PO,BDU平面PBD,

所以ACJ_平面PBD,因为。EU平面P3Z)，

所以ACj_DE

第13页/共20页

P

【小问2详解】

因为PAD=PCD,所以NPZM=NPDC,

Tl

又因为PoJ_A£>,所以NPD4=NPDC=-,即POLCD,

2

因为AO8=。,4。,。0(=平面/188,所以PO_L平面ABCn

Tr

因为底面ABCO是边长为2的菱形，且N6AD=§,PD=2,

所以XPo=；x；x2x2x告x2=手,

因为E为PB中点，所以VEr皿=JVPY皿=日，

所以VZ-VV_汉|百一百

所以Vp-ADE=vP-ABD~VE-ABD=-------------------=~

20.已知A(%,%)(yo>°)是抛物线E：y2=2px(p>0)上的点.当Xo=9时,

No=6.

(1)求E的标准方程;

(2)F是E的焦点，直线AF与E的另一交点为B,∣AF∣=5,求I研的值.

【答案】(1)y2=4x,

(2)4.

【解析】

【分析】(1)将点(9,6)代入抛物线方程求解作答.

(2)设出直线AF的方程，与抛物线方程联立，利用抛物线定义结合韦达定理求出点B的

横坐标作答.

【小问1详解】

第14页/共20页

依题意，抛物线脱产=22％过点(9,6),则6?=2px9,解得〃=2,

所以E的标准方程为V=4χ.

【小问2详解】

由(1)知，抛物线E的焦点F(1,0),准线方程为X=-I,

显然直线AF不垂直于，轴且斜率不为0,

设直线A尸的方程为：X=∕y+l,点A(Xl,凹),3(工2，丁2)，

X「°：1消去X并整理得：y2-4ty-4=0,则乂为=-4,

由,

y=4x

W_(Xy2>—

——----------------1

416

而IAFl=Xl+1=5,解得内=4,于是％2=；,ISFI=x2+1=,

所以IA扇FI=4.

21.已知函数/(x)=0re'(a∈R).

13

⑴若同≤e,函数g(x)=∕(x)-5*2—X的极大值为5,求”的值;

(2)若/(x)+120在［-2,2］上恒成立，求α的取值范围.

【答案】(Oa=一e

1

⑵H

【解析】

【分析】(1)先对函数求导，然后分。=0,-e≤α<0和0<α≤e三种情况求函数的极大

第15页供20页

3

值，使其极大值等于不，从而可求出α的值；

(2)问题转化为61+120在［-2,2］上恒成立，当。=0时，上式恒成立，当α≠0时，构

造函数∕z(X)=Ore'+1(XGI-2,2］),然后利用求出其最小值大于等于零，从而可求出。的

取值范围.

【小问1详解】

由g(x)=/(X)—X=αxejr一；%2_彳，得

g'(x)=aex+axex-x-l=(tzev-I)(X+1),

①当α=0时，g,(x)=-x-l.

当x<-l时，g'(x)>O,当x>-l时，g'(x)<O,

1、,1

所以当户一1时，g(χ)取得极大值g(—1)=—］X(—1)—-(―1)=5,不合题意，

②当-e≤α<O时，令g'(x)=O,则X=-1

当x<-l时，g'(x)>O,当χ>-l时，g'(x)<O,

1］3

所以当户一1时，g(x)取得极大值8(-1)=一流7-5*(—1)2—(—1)=5-恁7=］,

解得α=-e,

③当O<α≤e时，令g'(x)=O,则X=-I或X=-Inα,

当“=e时，g,(x)>O,则g(χ)在R上递增，所以g(χ)无极值，所以α=e不合题意，

当O<α<e时，-Ina>—1,

当x<-l或x>—Ina时，g'(x)>O,当一l<χ<-ln0时.，g'(x)<O,

所以g(χ)在(一8,-1)和(-∕o∏,+∞)上递增，在(T,Tn«)上递减，

I13

所以当户一1时，g(χ)取得极大值g(—1)=-四7-5乂(一1)2-(-1)=5-恁7=2，

解得α=-e(舍去)，

综上α=-e,

【小问2详解】

由/(x)+1NO在［-2,2］上恒成立，得以e`+1≥O在［-2,2］上恒成立，

第16页/共20页

当α=。时，上式恒成立,

当α≠()时，令〃(x)=axex+I(X∈[-2,2J),

则h'(x)=aex+axex=aex(x+IXX∈[-2,2]),

①当α>0时，当一2≤x<-l时，h'(x)<O,当一l<χ≤2时，/(x)>0,

所以/?(%)在(-2,-1)上递减，在(一1,2］上递增,

所以当X=—1时取得极小值，也是最小值〃(一l)=-αe-∣+1,

所以一αeT+l≥O,解得O<α≤e,

②当“<0时，当一2Wx<-l时，Λ,(%)>0,当一l<χ≤2时，h'(x)<O,

所以Zz(X)在(-1,2］上递减，⅛［-2,-l)上递增,

所以〃mi〃(一

(x)m⅛=N2),〃(2)},

Λ(-2)=-26ze^2+l≥0

ʌ1

所以V∕z(2)=2ae-÷1≥0,解得——~~—<α<0,

a<0一

3、1，

综上，-22W〃We，

即0的取值范围为-⅛,e

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决函数极值问题和不等

式恒成立问题，解题的关键是对函数求导后，合理分类判断导数的正负，考查数学分类思

想和计算能力，属于较难题.

(-)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，

则按所做的第一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.在平面直角坐标系XOy中，曲线C的方程为(χ-3y+y2=4,直线/过点尸(3,1)且倾

斜角为ɑ.以坐标原点。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(I)写出直线/的参数方程(用P点坐标与α表示)和曲线C的极坐标方程；

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(2)设直线/与曲线C交于A,