甘肃省天水一中2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科)-Word版含解析

2017-2018学年甘肃省天水一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．i是虚数单位，复数=（）A．﹣i B．i C．﹣﹣i D．﹣+i2．下列说法正确的是（）A．“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否为真3．在复平面内，复数z=的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知变量x，y的值如表所示；如果y与x线性相关且回归直线方程为，则实数=（）x234y546A． B．﹣ C． D．﹣5．已知p：“∀x∈R，x+1≥0”的否定是“∀x∈R，x+1＜0”；q：函数y=x﹣3是幂函数，下列为真的是（）A．p∧q B．p∨q C．￢p D．p∧（￢q）6．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（）A．n（n+1） B．n（n﹣1） C． D．7．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A． B． C． D．8．设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．9．数列{an}的通项公式an=，则该数列的前（）项之和等于9．A．98 B．99 C．96 D．9710．若函数f（x）=x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，0） D．（0，+∞）11．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A． B．6 C．12 D．712．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2﹣，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13．已知不等式，照此规律，总结出第n（n∈N*）个不等式为______．14．已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为______．15．曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为______．16．已知条件p：{x|﹣2≤x≤10}；条件q：（x﹣1）2﹣m2≤0（m＞0），若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是______．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{an}满足a3=2，前3项和S3=．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n项和Tn．18．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附表：P（K2≥k）0.1000.0100.001k2.7066.63510.828，（其中n=a+b+c+d）19．抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（1）若，求直线AB的斜率；（2）求△OAB面积的最小值．20．如图，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．且，求k的值．21．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣blnx（a，b∈R），g（x）=x2．（1）若a=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，求b的值；（2）在（1）的条件下，求证：g（x）＞f（x）﹣2ln2．22．已知函数f（x）=2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围．

2015-2016学年甘肃省天水一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．i是虚数单位，复数=（）A．﹣i B．i C．﹣﹣i D．﹣+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解答】解：=．故选：A．2．下列说法正确的是（）A．“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否为真【考点】的真假判断与应用．【分析】根据常用逻辑用语中有关充要条件的判断方法、特称否定的叙述、原与其否真假之间的关系、三角函数运算相关知识进行各真假的判断．【解答】解：当x=1成立时有x2=1成立，∴“x2=1”是“x=1”的必要不充分条件，故A错；当“x=﹣1”成立时有（1）2﹣（﹣1）×5﹣6=0即“x2﹣5x﹣6=0”成立当x2﹣5x﹣6=0成立时，不一定有x=﹣1成立故“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，故B错；“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定应为：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故C错误；“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否为“若sinα≠sinβ，则α≠β”是正确的，故D正确；故选D．3．在复平面内，复数z=的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数的几何意义即可得出．【解答】解：复数z===1+2i的对应点（1，2）位于第一象限．故选：A．4．已知变量x，y的值如表所示；如果y与x线性相关且回归直线方程为，则实数=（）x234y546A． B．﹣ C． D．﹣【考点】线性回归方程．【分析】首先，根据所给数据得到样本中心点为（3，5），然后，将该点代入直线方程，即可得到结果．【解答】解：根据表格可以得到，，∴样本中心点为（3，5）代入方程得5=3b+，∴b=．故选：C．5．已知p：“∀x∈R，x+1≥0”的否定是“∀x∈R，x+1＜0”；q：函数y=x﹣3是幂函数，下列为真的是（）A．p∧q B．p∨q C．￢p D．p∧（￢q）【考点】复合的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合的真假即可．【解答】解：“∀x∈R，x+1≥0”的否定是￢p：“∃x∈R，x+1＜0”，故p是假；q：函数y=x﹣3是幂函数，是真，故p∨q是真，故选：B．6．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（）A．n（n+1） B．n（n﹣1） C． D．【考点】等差数列的性质．【分析】由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．【解答】解：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴Sn=na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A．7．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．【解答】解：由导数的图象可得，导函数f′（x）的值在[﹣1，0]上的逐渐增大，故函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的．导函数f′（x）的值在[0，1]上的逐渐减小，故函数f（x）在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选B．8．设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质；两条直线垂直的判定．【分析】先设出双曲线方程，则F，B的坐标可得，根据直线FB与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为﹣1，进而求得b和a，c的关系式，进而根据双曲线方程a，b和c的关系进而求得a和c的等式，则双曲线的离心率可得．【解答】解：设双曲线方程为，则F（c，0），B（0，b）直线FB：bx+cy﹣bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac所以c2﹣a2=ac，即e2﹣e﹣1=0，所以或（舍去）9．数列{an}的通项公式an=，则该数列的前（）项之和等于9．A．98 B．99 C．96 D．97【考点】数列的求和．【分析】先将分母有理化，再利用叠加法可求和，进而可得结论【解答】解：∵an=，∴an=，∴∴，∴n=99故选B．10．若函数f（x）=x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，0） D．（0，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的定义域，函数的导数，利用导数值求解a的范围．【解答】解：函数f（x）=x+alnx的定义域为：x＞0．函数f（x）=x+alnx的导数为：f′（x）=1+，当a≥0时，f′（x）＞0，函数是增函数，当a＜0时，函数f（x）=x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．故选：C．11．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A． B．6 C．12 D．7【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．【解答】解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故选：C12．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2﹣，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设右焦点为F′，由=2﹣，可得E是PF的中点，利用O为FF'的中点，可得OE为△PFF'的中位线，从而可求PF′、PF，再由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．【解答】解：设右焦点为F′，则∵=2﹣，∴+=2，∴E是PF的中点，∴PF′=2OE=a，∴PF=3a，∵OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∴（3a）2+a2=4c2，∴e==，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13．已知不等式，照此规律，总结出第n（n∈N*）个不等式为1+＜．【考点】归纳推理．【分析】从已知的三个不等式分析，从左边各加数的分母以及右边分子与分母的关系入手得到规律．【解答】解：由已知三个不等式可以写成1+，1+，1+，照此规律得到第n个不等式为1+＜；故答案为：1+＜（n∈N+）．14．已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为11．【考点】基本不等式．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得C（3，2）目标函数z=3x+y可看做斜率为﹣3的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=3×3+2=11故答案为：1115．曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为2x﹣y+1=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出导函数，然后将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可．【解答】解：y′=3x2﹣1，令x=1，得切线斜率2，所以切线方程为y﹣3=2（x﹣1），即2x﹣y+1=0．故答案为：2x﹣y+1=0．16．已知条件p：{x|﹣2≤x≤10}；条件q：（x﹣1）2﹣m2≤0（m＞0），若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是[9，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由已知p|﹣2≤x≤10，我们可求出q对应的x的取值范围，再由p是q的充分而不必要条件，我们根据充要条件的集合法判断规则，可以构造一个关于m的不等式组，解不等式组即可得到实数m的取值范围．【解答】解：p：{x|﹣2≤x≤10}；条件q：（x﹣1）2﹣m2≤0（m＞0），∴1﹣m≤x≤1+m，∵p是q的充分不必要条件，∴，∴m≥9，故m的取值范围为[9，+∞），故答案为：[9，+∞）．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{an}满足a3=2，前3项和S3=．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n项和Tn．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；（Ⅱ）求出，再求出等比数列的公比，由等比数列的前n项和公式求得{bn}前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件得：，解得．代入等差数列的通项公式得：；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．设{bn}的公比为q，则，从而q=2，故{bn}的前n项和．18．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附表：P（K2≥k）0.1000.0100.001k2.7066.63510.828，（其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验．【分析】根据分层抽样原理，求出样本中25周岁以上与25周岁以下组工人数，计算对应的生产能手数，列出2×2列联表，计算K2值，对照数表得出结论．【解答】解：根据分层抽样原理，得；样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名，由频率分布直方图知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组15456025周岁以下组152540合计3070100所以得：==≈1.79；因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．19．抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（1）若，求直线AB的斜率；（2）求△OAB面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量共线即可得出；（2）利用（1）的结论、三角形的面积公式即可得出．【解答】解：（1）∵抛物线y2=4x，∴焦点F（1，0）．设直线AB方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4．①∵，∴y1=﹣2y2．②联立①和②，消去y1，y2，得m=．∴直线AB的斜率是2．（2）由（1）可知：|y1﹣y2|==4．∴S△AOB=2，∴m=0时，△OAB的面积最小，最小值是2．20．如图，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．且，求k的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆的方程．（2）联立，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，能求出实数k的值．【解答】解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，解得：a2=3，b=1，∴椭圆的方程为．（2）联立，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=﹣，，…②而y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，∵，∴CE⊥DE，则y1x1+y2x2+1=﹣1，即y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x1）+5=0…③将②代入③整理得k=，经验证k=使得①成立，综上可知，k=．21．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣blnx（a，b∈R），g（x）=x2．（1）若a=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，求b的值；（2）在（1）的条件下，求证：g（x）＞f（x）﹣2ln2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=1时，由已知得到f（x）在x=1处的导数为0，即可求b的值；（2）设F（x