人教版九年级数学下册提分专练专练14课件建模思想应用的常见类型归类

专练14

建模思想应用的常见类型归类人教版九年级数学（下）提分专练

例为解决楼房的采光问题，某地区规定：两幢楼间的距离至少为40m，中午12时不挡光．如图，解题秘方：通过构建直角三角形模型求解．类型1建立方程模型求几何图形面积1.

将两张完全相同的矩形纸片ABCD，FBED按如图所示方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG.(1)试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；∴△DAB≌△DEB(SAS)．∴∠ABD＝∠EBD．∵AB∥CD，DF∥BE，∴四边形DHBG是平行四边形，∠HDB＝∠EBD．∴∠HDB＝∠HBD．∴DH＝BH.∴四边形DHBG是菱形．(2)若AB＝8，AD＝4，求四边形DHBG的面积．【解】由(1)，设DH＝BH＝x，则AH＝8－x，在Rt△ADH中，AD2＋AH2＝DH2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即BH＝5，∴菱形DHBG的面积为HB·AD＝5×4＝20.【点方法】建立方程模型，将DH，HB的长设为x，由勾股定理列方程求得HB的长，进而再求面积．类型2建立几何模型解释生活中的现象2.如图，一根长am的木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行，则木棍滑动的过程中，点P到点O的距离________(填“发生”或“不发生”)变化．理由是__________________________________________.

不发生在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半【点拨】3.如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.类型3建立特殊四边形模型探寻条件(1)探究OE与OF的数量关系并加以证明．【解】OE＝OF.证明如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC．∴EO＝CO，FO＝CO.∴OE＝OF.(2)连接BE，当点O在边AC上运动时，四边形BCFE能否为菱形？若能，请证明；若不能，请说明理由．【解】不能为菱形．理由如下：如图，连接BF，交EC于点G.(3)连接AE，AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．【解】当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由：当点O运动到AC的中点时，AO＝CO.又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO.∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF.∴四边形AECF是矩形．(4)在(3)的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．【解】当点O运动到AC的中点，且△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．理由：由(3)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．已知MN∥BC，当∠ACB＝90°时，∠AOE＝∠ACB＝90°，∴AC⊥EF.∴矩形AECF是正方形．【点方法】解决条件探索题，先将结论作为条件去分析此结论成立时应具备的条件，然后补充此条件，推理证明此结论成立．类型4建立方程模型解实际应用4.“双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷，某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台．已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店每天要获利4200元，该商店应将每台学习机售价定为多少元？类型

5建立函数模型解图象信息的应用(1)当x＝________m2时，y＝35元/m2；500【点拨】(2)设2023年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？当600≤x≤700时，W＝40x＋50(1000－x)＝－10x＋50000.∵－10＜0，∴当x＝700时，W有最小值，最小值为－10×700＋50000＝43000，∴42000＜43000，∴当甲种蔬菜的种植面积为400m2，乙种蔬菜的种植面积为600m2时，W最小．【解】由(2)可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为42000元，且乙种蔬菜的种植成本为50×600＝30000(元)，则甲种蔬菜的种植成本为42000－30000＝12000(元)．由题意，得12000(1－10%)2＋30000(1－a%)2＝28920.设a%＝m，整理，得(1－m)2＝0.64，解得m1＝0.2＝20%，m2＝1.8(不符合题意，舍去)，∴a%＝20%，∴a＝20.答：当a为20时，2025年的总种植成本为28920元．6.[2023·赤峰]乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．类型

6建立函数模型解表格信息的应用如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y(单位：cm)，兵乓球运行的水平距离记为x(单位：cm)，测得如下数据：水平距离x/cm0105090130170230竖直高度y/cm28.7533454945330(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点(x，y)，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象．【解】描出各点，画出图象如下：(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______cm；49230【点拨】②求满足条件的抛物线解析式．【解】设抛物线解析式为y＝a(x－90)2＋49.将(230，0)代入，得0＝a(230－90)2＋49，解得a＝－0.0025，∴抛物线解析式为y＝－0.0025(x－90)2＋49.(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm.现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为1.27cm.请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值(乒乓球大小忽略不计)．【解】当OA＝28.75时，抛物线的解析式为y＝－0.0025(x－90)2＋49，设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为hcm，则平移距离为(h－28.75)cm，∴平移后的抛物线的解析式为y＝－0.0025(x－90)2＋49＋h－28.75，当x＝274时，y＝0，∴－0.0025(274－90)2＋49＋h－28.75＝0，解得h＝64.39.答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为64.39cm.类型

7建立函数模型解实际应用(1)求该二次函数的解析式和k的值；(2)“拥挤状态”持续的时间是否超过20min？请说明理由．【点方法】运用反比例函数解决问题时常用的两种思路：(1)通过问题提供的信息，明确变量之间的函数关系，设出相应的函数解析式，再根据题目条件确定函数解析式中的待定系数的值；(2)已知反比例函数模型的解析式，运用反比例函数的图象及性质解决问题.•••••••••••••••••••••类型

8建立概率模型解实际应用8.[2023·雅安]某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：成绩/分频数/人频率60≤x<70100.170≤x<8015b80≤x<90a0.3590≤x≤10040c请根据图表信息解答下列问题：(1)求a，b，c的值；【解】

调查人数为10÷0.1＝100(人)，b＝15÷100＝0.15，a＝0.35×100＝35，c＝40÷100＝0.4.故a＝35，b＝0.15，c＝0.4.(2)补全频数分布直方图；【解】补全频数分布直方图如下：(3)某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．【解】

用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：类型

9建立平行线分线段成比例模型求比值9.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB．(2)若AD∶DB＝3∶5，求CF∶CB．【解】∵AD∶DB＝3∶5，∴BD∶AB＝5∶8.∵DE∥BC，∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8.∵EF∥AB，∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.类型

10建立相似三角形模型解实际应用10.如图①，大风阁是西安汉城湖的标志性建筑，取意于汉高祖刘邦的《大风歌》“大风起兮云飞扬，威加海内兮归故乡，安得猛士兮守四方”的意境．小华和晓丽在一个阳光明媚的周末去测量大风阁的高度AB，如图②，首先在C处放置一