第30讲 正切函数的性质与图象（学生版）-高一数学同步讲义

第08讲正切函数的性质与图象

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课程标准课标解读

1.理解与掌握正切函数的性质，并能运

用正切函数的性质解决与正切函数相关的

周期性、奇偶性，定义域、值域、单调性通过本节课的学习，要求会运用正切函数的图象与性质

等问题.解决与正切函数有关的周期、奇偶性、单调性及值域等

2.掌握正切函数的图象的画法，会运用正切问题.

函数的图象研究正切函数的性质，并能解

决与正切函数有关的相关量问题.

四%’知识精讲

5,知识点01正切函数的性质

1.周期性

TT

由诱导公式可知，tan(x+7i)=tanx,xeR,xrki+-,ZwZ,因此兀是正切函数的一个周期.

2

71

一般地，函数y=Atan(«yx+0)+—A0H0)的最小正周期T=；~.

I«y|

2.奇偶性

正切函数的定义域为{x|xeR,x*E+工人eZ},关于原点对称，由于/(—x)=tan(—x)=?生?

2cos(-x)

_sinx__tanx__y/,因此正切函数是奇函数.

cosx

3.单调性和值域

单位圆中的正切线如下图所示.

利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性和值域，可得下表:

兀c兀713兀

角尤---->0——--->兀f—

2222

正切线4T-OO-0f+00-OO-0-400

tanx增函数增函数

由上表可知正切函数在（-g,四），（四，型）上均为增函数，由周期性可知正切函数的增区间为

2222

ITJT

（一一+E，一+E）（攵eZ）.此外由其变化趋势可知正切函数的值域为（-8,+oo）或R,因此正切函数没有

22

最值.

事知识点02正切函数的图象

TT7T

利用正切线作出函数y=tane（一万,2）的图象（如图）.作法如下:

（1）作直角坐标系，并在y轴左侧作单位圆.

（2）把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线.

（3）描点.（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线）

（4）连线.

根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y=tanx,xeR,且

7T

x7E+—（AGZ）的图象，我们把它叫做正切曲线（如图）.

2

7T

正切曲线是被相互平行的直线”=也+一仅wZ）所隔开的无穷多支曲线组成的.

2

【即学即练1］函数y=tanx+三的定义域是（）

TIJI

A.{xwR|xw2E+7,kGZ}B.{XGR|2kjt--,keZ\

兀Tl

C.{xeR|hr+—,keZ\D.{xeR|xkeZ}

【即学即练2】下列点不是函数y（x）=tan2%+生的图象的一个对称中心的是（)

【即学即练3】在（0,2%）内，使tanx〉l成立的x的取值范围为（）

,冗乃）3冗、

一，-II--，----—9—U-----，---

U2）（42）U2)I42)

【即学即练4］已知函数f（x）=tan（。一/n13兀的图象经过原点,若/（-

C.3D.工

3

（71

【即学即练5】已知函数）=3tan2%一^

(1)求函数的最小正周期；

(2)求函数的定义域；

(3)说明此函数的图象是由.y=taiir的图象经过怎样的变换得到的？

［即学即练6］已知函数"X)=2tan1+向+1.

(1)求/(x)的定义域；

(2)求/(X)的周期；

(3)求/(X)的单调递增区间.

Q能力拓展

考法01

正切函数的性质

熟练掌握正切函数y=tanx,xeR的性质：

兀

(1)定义域：｛x|xeR,XN版+务次eZ｝；

(2)值域：R；

(3)最小正周期：兀；

(4)奇偶性：奇函数；

7TTT

(5)单调性：在每一个开区间(——+E,—+E)(ZeZ)内均为增函数.

22

(71A

【典例1】函数y=tanx--的周期为__________.

I3)

7t

【典例2】求函数y=tan(3x-§)的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.

［即学即练7)函数y=-tan(2x一期的单调递减区间为.

考法02

正切函数的性质的应用

(1)利用正切函数的单调性比较两个正切值的大小，实际上是将两个角利用函数的周期性或诱导公式放

在一个单调区间内比较大小.

(2)三角函数与二次函数的综合问题，一般是研究函数的值域或最值，求解方法是通过换元或整体代换

将问题转化为二次函数型的函数值域问题，对于新引入的元或整体，要注意其范围的变化.

【典例3】比较下列各组数的大小：

13K17无

(1)tan-----与tan-------；(2)tan1,tan2,tan3,tan4.

45

【即学即练8】求下列函数的定义域：

(1)函数y=Jtanx+1+lg(l—tanx)；

(2)函数y=tan(sinx).

【即学即练9］求函数)=-tan2x+10tanx—1,正弓，三］的值域.

考法03

正切函数的图象及其应用

(1)y=|tanx|的周期性：

函数丁=卜亩可及y=|cosX的周期是其对应函数y=sinx,y=cosx周期的一半，而函数y=\anR的

图象是把丁=1211%在％轴下方的图象翻折到*轴上方，但其周期与y=tanx的周期相等，均为兀

(2)解三角不等式的方法一般有两种：

一是利用三角函数线，借助于单位圆在直角坐标系中找出角的区域，再求出不等式的解集；

二是利用三角函数图象，先在一个周期内求出尤的范围，再在整个定义域上求出不等式的解集.利用正切

函数的图象求角的范围时，主要是利用其单调性.这是数形结合思想方法的一个具体应用.

【典例4】设函数/(x)=tan］-《).

(1)求函数7(x)的最小正周期、对称中心；

(2)作出函数4r)在一个周期内的简图.

【典例5】函数>=41&11(3必(0>0,冏<9的图象与*轴的两个相邻的交点坐标分别为e,01,(10),

且函数图象过点(0,-3),求函数解析式.

【即学即练1()］作出函数y=|tanx|的图象，并根据图象求其最小正周期和单调区间.

考法04

利用函数性质求待定参数：

［典例6］若函数/(x)=2tan3+§的最小正周期7•满足\<T<2,则自然数k的值为.

【即学即练11】函数丁=8+或血("0)的最大值为-1，最小值为-5,则〉=121!(3。+方)%的最小正周

期为.

【即学即练12］若函数y=tan5在(-匹万)上是递增函数，则。的取值范围是

分层提分

题组A基础过关练

7T

1.函数八心…（…）的图象的相邻两支截直线尸1所得的线段长为了,则吗）的值是（

A.0B.1

兀

C.-1D.7

2.函数尸tan（3x+?J的图像的对称中心为（

)

A.(0,0)

看,

C.k1-01ZeZ)(丘Z)

7171

3.下列各组函数中，在区间上都是增函数的为（）.

212

A.y=sinx,y=cosxB.y=sinx,y=tanx

C.y=cosx9y=tanxD.y=-sinx,y=-cosx

4.直线y=3与函数y=tans（G>0）的图像相交，则相邻两交点间的距离是（)

2冗r冗

A.冗B.—C.-D.——

(0CD2。

5.方程65111工+605工=0的解集是（)

A.{x|x=Z町攵wZ}B.x=2k7r--,k^Z^

攵乃一看,忆

C.{x%=wz}D.\xx=k7T-]--,kez\

I6J

6.tz=sin1,Z?=cosl,c=tan1,则。汰c的大小关系是()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<hD.b<c<a

7.若tanx<0,则()

A.2k7t--<x<2k7t,kwZB.2kit+—<x<{2k4-l)7t,kG

22

Tl71

C.kii——<x<laikeZD.kit——<x<kit,keZ

92

8.与函数f（x）=2tan（2x-。卜1的图象不相交的一条直线是（）

71冗

A.x=B.Jr=­

~23

7154

C.x=—D.i=

6~n

9.函数丫=1211]

的定义域为()

kn

XW----FB.,

卜21212J

kitkeZ一比71i

c--XXH----FT]D.<XH--------,K£Z,

223I

TTjr

10.函数y=3tan(s+7)的最小正周期是7，则@=()

62

A.4B.2C.-2D.2或一2

JT1T

11.当一,4＜万时，函数y=tan|x|的图象（）

A.关于原点对称B.关于x轴对称

C.关于y轴对称D.不是对称图形

12.函数尸tan（2x-制的单调增区间为（）

knnk冗5TTk冗7ik冗54

A.(keZ)B.(kwZ)

~2^V29^217~2~~V2'~2^V2

.7C.57c/.,乃，5九

C.K7C---，攵4+——(KGZ)D.K7T---，攵乃+——UeZ)

12121212

13.函数小）2*＞。）的图像相邻的两支截直线尸?所的线段长度为%则呜J的值为（

)

A.-B.0C.1D.2

4

14.函数y=tan卜-J的值域为()

A.卜1,6)

C.(-8,T)D(6+OO)

15..若将函数丁支山工+升”。）的图像向右平移？个单位长度后，与函数y=tan[s+总的图像重

合，则①的最小值为（）

16.函数〃x)=tan(©r+0)(3>0)的部分图像如下图，则冏最小值为()

A兀乃

A

-?D.n

题组B能力提升练

1.直线y=a与函数,f(x)=tan(5+：)(o>0)的图象的相邻两个交点的距离为2%,若函数f(x)在区间

(一人〃。(加>0)上是增函数，则实数机的取值范围是()

D.

2.下列各式中正确的是()

B.tan2>tan3

3.已知函数，(x)=tan(<yx+s)(0wO,|0|<、，点仔可和印

是其相邻的两个对称中心，且在区间

则。=()

兀717T71

A.B.C.D.

66~3

4..已知函数/(x)=tan(s+g)(0<同最小正周期为且f(力的图象过点(宗0

则方程

/(x)=sin(2x+gJ(xe[0,兀])所有解的和为()

兀

A.女B.—C.2万D.

66

5.(多选题)已知函数/(x)=|tanx|cosx,则下列说法正确的是()

A."X)的最小正周期为乃B./(*)的图象关于(],()]中心对称

C./(x)在区间兀)上单调递增D./(x)的值域为[-U]

6.（多选题）已知函数/（x）=tanx+kanx|,则下列结论中正确的有（）

A.的最小正周期为1

B.点（-奈。）是“X）图象的一个对称中心

C./（x）的值域为[0,+功

D.不等式“X）>2的解集为（7+碗（+k7r）（keZ）

7.（多选题）下列关于函数y=tan（2x+g）的说法正确的是（）

A.在区间，工,总上单调递增B.最小正周期是左

C.图象关于点（三，0）成中心对称D.图象关于直线》=-卷对称

8.（多选题）已知函数/（x）=tan（°x司（0>0）,则下列说法正确的是（）

9.比较大小（用“>”排列）：tanl,tan2,tan3的大小顺序是.

10.已知直线y（常数a>0）与曲线y=2tan（3x-（）的图象有无穷多个公共点，其中有3个相邻的公

共点自左至右分别为A,B,C,则点A与点C的距离=.

11.已知函数/。）=1211（5+8）（0<阚<去0>0]的最小正周期为',且/（x）的图象过点（?,0）,则方程

f（x）=sin（2x+T（xe[0,句）所有解的和为________.

12..xe[-f-f]'使即取6成立的工的取值