河南省名校联考2022-2023学年高三年级下册学期开学数学试题（含答案）

2024河南省高三部分名校联考入学摸底考试

数学

注意事项:

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合.M={-3,-2,-1,0,1,2,3},N={x\x2-5x+6>0},则MC1N=

A.{2,3}B.{-1,0,1)

C{-3,-2,2,3)D.{-3,-2,-1,0,1)

=我-i

2.已知复数~含+「,则

z+z=

AtB.2C.2V2D.2i

3

3.已知a=By/=G)：,C=log]：,则

35

A.b<a<cB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a

4.在ZXABC中，AB=AC=5,BC=6,E,F分别为边BC,AB的中点,则~EF-EC=

.5D--l

5.有一组样本数据为33,66,99,101,134,167,其方差为SP,.现准备再添加一个新数据x,,若x,=100,其与

原有的6个数据构成的新样本的方差记为铲，若x,=33,其与原有的6个数据构成的新样本的方差记为

s2,则

A.s2>s2>s28寸>s}>s{

C.s2>s2>s2D.s：>SQ>

6.已知m,n,1是三条不同的直线，a,B是两个不同的平面，且a,n，l,n,B,则下列命题错误的是

A.若m±n,则Q_LBB.若m〃n,则a〃B

心若小〃8,则。〃8D.若m±B,贝!JnJ.a

7.已知函数/(%)=sin（3%+§（3>0）在（（0,3上没有零点，则3的取值范围是

A.(0,1]c.(o，|)。•（汨

8.已知矩形ABCD的顶点都在椭圆M:传+y2=i（a）0）上，若该矩形面积的最大值为S,且Sd[4,6],则a

的取值范围是

A.[V2,3]B.[2,3]

C仔D.[V2,V3]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的

得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，

9.已知0<a<口<pcos/?=y,cos(/?-a)=则

A.sinp=孚B.sin(fi—a)=-需

C.sin20='D.a—:

10.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+y)=/(x)+/(y),则

A./(0)=0B.f(x)是奇函数

C.x=0为f(x)的极小值点D.若/(l)=1,则/(2023)=2023

11.己知函数/(x)=三，下列结论正确的是

X—5

A./(x)在(0、6)上单调递减

B./(x)的图象关于点(3,6)对称

C.曲线y=f(x)与x轴相切

D./(x)的值域为(-8,o]u[12,+8)

12.半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半

正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其

棱长为1,则下列结论正确的是

A.该半正多面体的表面积为竽

4

B.该半正多面体的体积为警

C.该半正多面体外接球的表面积为手

D.若点M,N分别在线段DE,BC上,则FM+MN+AN的最小值为V19

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.

13.已知双曲线C:%2-廿=1的离心率为3,则C的虚轴长为▲.

m

14.从1,2,3,4,5,6中任取出两个奇数和两个偶数，则可以组成▲个没有重复数字的四位偶

数.(用数字作答)

15.已知圆M:(x-5)z+(y-5)2=16,点N在直线l:3x+4y-5=0上，过点N作直线NP与圆M相切于点P,则

△MNP的周长的最小值为▲.

16.已知数列｛时｝的前n项即为Sn,且0n=*，若对任意xGN*,都有0<tS"<5,则t的取值范围是▲.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(10分)

已知aABC的周长为10+277,且夕sin力+gsinB=5sinC.

⑴求AB的长：

(2)若Z\ABC的面积为12sinC.求C.

18.(12分)

如图，在正方体ABCD-ABCD中,E.F分别是棱DDbAD的中点.

(1)证明：B,EJ_平面ACF.

(2)求二面角B-AF-C的余弦值.

19.(12分)已知数列小｝满足的=l,nan+1-(n+l)an=1

(1)求｛册｝的通项公式；

(2)若数列｛bj满足瓦=a1(b2-a2+a3,b3=a4+a5+a6,b4=a7+a8+a9+a10,...,

依此类推，求｛bj的通项公式

20.(12分)

22

已知抛物线Ci.y=2p1x(p1>0).与抛物线C2-x=2P2y(P2>0);在第一象限交于点P.

(1)已知F为抛物线G的焦点,若PF的中点坐标为(1,1),求p>.

(2)设0为坐标原点，直线0P的斜率为k..若斜率为kz的直线1与抛物线G和Cz均相切，证明*+%为定值，

并求出该定值.

21.(12分)

甲、乙两人组成“梦想队”参加“极速猜歌”比赛，比赛共两轮，每轮比赛从队伍中选出一人参与，参与比

赛的选手从曲库中随机抽取一首进行猜歌名.若每轮比赛中甲、乙参与比赛的概率相同.甲首次参与猜歌名，

猜对的概率为甲在第一次猜对歌名的条件下，第二次也猜对的概率为:；甲在第一次猜错歌名的条件下,

第二次猜对的概率为右乙首次参与猜歌名，猜对的概率为i;乙在第一次猜对歌名的条件下，第二次也猜

对的概率为|；乙在第一次猜错歌名的条件下，第二次猜对的概率为尖甲、乙互不影响.

(1)求在两轮比赛中，甲只参与一轮比赛的概率；

(2)记“梦想队”一共猜对了X首歌名，求X的分布列及期望.

22.(12分)

已知函数/(%)=cosx+axsinx.

(1)若a=1,求曲线y=/(%)在点(兀/(兀))处的切线方程；

(2)若％=0是f(x)的极大值点,求a的取值范围.

河南省高三名校联考入学摸底考试

数学参考答案

1.D因为N={“f-5z+6>0}=(-8,2)U(3,+8),

所以MCN={-3,—2,—1,0,1}.

_/2-i_(V2-i)(x/2-i)_l-2/2i_1272.

2.A一标一(加)(斤i)3T-3-1

所以£=2+警i,即z+W=(.

3.A6=（十）.<（y）-=aVl,c=log±^=log35>l,故YaVc.

4.D群.反=｝（瓦+包）.炭=｝（瓦.反+成.反）一|.

5.C数据波动越大，方差越大.原样本数据的平均数为100,添加新数据m=100后，新样本的

数据更集中,s]>丘添加新数据乃=33后，新样本的数据波动更大,£>.日

6.C若m〃①则“_1_〃，所以a_L/3,C错误.

7.B因为110,今）,所以（表等+号）.因为/Cr）在（0,今）上没有零点,所以等+

乙j。乙j乙乙

解得swg.又因为3>0,所以OVcoWg.

ooJ

8.B设矩形在第一象限的顶点坐标为（①~）,根据对称性知该矩形的面积5WCD=4.D=

4a•?•yW2a（，+9）=2a,当且仅当?=5时，等号成立，即S=2a,所以4W2a46,解得

2«.

9.ACDsin/?=y1—cos-/?=^^-,A正确.

sin2S=2sin/?cos/?=?（正确.

D

因为0V/?—所以sin(£—a)=/l—cos"/?—a)=W^，B错误.

cosa=cos[0—(f—a)]=cos/?cos(/?—a)+sin/?sin(/?_a)=咚X3^X=§

DiUv1v乙

所以a=?D正确.

10.ABD令丁=y=0,则f（0）=/（0）+/（0）,所以/（0）=0,A正确.

令y=一无，则一①）=/（#）+/（一才）=0,所以八①）是奇函数,B正确.

/a）是奇函数,z=0不可能是/Cr）的极小值点,C错误.

令y=l，则/（x+l）=y（^）+l,/（2023）=/（2022）+l=/（2021）+2=/（2020）+3=-=

【高三数学•参考答案第1页（共6页）】-24-10C-

/(I)+2022=2023/)正确.

11.BCD令/'(z)V0,解得0<工<3或3<MV6,令/'(才)>0,解得工<0或

才〉6,所以八了)在(0,3),(3,6)上单调递减，在(-8,0),(6,十8)上单调递增,A错误.

/(0)=0,/'(0)=0,曲线*=/(])在z=o处的切线方程为》=0,即曲线y=/(z)与X轴相

切，C正确./(工)极小值=『(6)=12"(z)极大值=/(0)=0"(n)的值域为(-8,0]U[12,

+8),D正确./(3—2)+/(3+久)=12,所以八丁)的图象关于点(3,6)对称,3正确.

12.BCD该半正多面体的表面积为4X(§X32—3X§XV)+/\

4X§XF=7悟,A错误.\yW

该半正多面体所在的正四面体的高为瓶，体积为玄乂¥*32\

XW=挈该半正多面体的体积为乎-4><5X号*12乂FE

§=簧,B正确.

该半正多面体外接球的球心即其所在正四面体的外接球的球心，记球心为。，贝IOA-=

泮/+j,故该半正多面体外接球的表面积为47r.CM?正确.

4o乙

该半正多面体的展开图如图所示,FT=4,AT=禽,AF=vW阡/=J百,FM+MN+

AN>AF=e,D正确.

13.4V2由题意得?=3,则c=3,〃=/?==2笈，故虚轴长26=472.

14.108可以组成复亡Q相=108个没有重复数字的四位偶数.

15.10+2而AMNP的周长为！MP!+|MN\+PN|,|PN|=V\MN\2-\MP\-=

7|MN|2-16，所以IMNI越小，IPNI越小.

当MNL时，|MN|最小.圆心M到直线l的距离为应军里二2=6,所以|MN|的最

/32+42

小值为6,此时，|PN|=2痣，|MP|+|MN|+|PN|=10+2逐;故4MNP的周长的最小

值为10+275.

16.(O,,1S„=y+^+^-H----r"丁]1—2।3I4t।??+1

2〃e一好十习十才十…十2"+]，

—(1—)

两式相减可得｝s,,=l+*+*+*+…+/—貂=1+2一^^一一^r=1

乙乙乙乙乙乙乙乙

L2

宙，所以S,=3一唁.

【高三数学•参考答案第2页(共6页)】•24-10C・

因为a“=%>0,所以S“2Si=l.因为室>0,所以3—空V3,所以1<S,,V3.

因为0V6V5,所以0<f<y.

17.解：⑴设△ABC内角A,8,C所对的边分别为a,〃,c.

因为"sinA+"sinB=5sinC,所以"(a+，)=5c.....................................................2分

因为a+6+c=10+2",所以AB=c=2".................................................................4分

(2)因为△ABC的面积为/a，sinC=12sinC,且sinC#0,所以a，=24...................6分

由(1)可得。+。=10.

a2+b2=(a+b)2-2ah=52...........................................................................................7分

由余弦定理可得cosC=^掾户=吟声...............................9分

乙at)4o乙

因为ce(o,3所以。=米...............................................io分

,5

18.解:以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

设正方体ABCD-A|BiGD|的棱长为2,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),F(l,0,2),

E(0,0,l),B,(2,2,2).......................................................................................................2分

办=(-1,0,2),乱=(-2,2,0),防=(2,2,1).........................................................3分

⑴证明：因为办•函=0,前•函=0,所以AF_LEBi，ACJ_EBi.......................5分

因为AFDAC=A，所以BE,平面ACF....................................................................7分

(2)结合(1)可得函为平面ACF的一个法向量.

A5=(0,2,0)..................................................................................................................8分

设平面ABF的法向量为”=(了,》,外,

贝(A临5“•n=0。,即L[2y+=0,i

取/=2,得〃=(2,0,1).................................................

EB-n

cos<EB].w>{

一।函ii〃r于

故二面角B-AF-C的余弦值为号.................

注:第(1)问若不建系,证法如下：

连接AiE,BD,BQ](图略)

在正方体ABCD—A/CQi中，平面ABCD,所以B,B±AC.

因为BD_LAC,31Bn3D=B，所以AC_L平面BtBDD{.

因为E5U平面场BDR,所以ACJ_EB1....................................................................2分

因为ABi,平面ADDA-所以4B|，AF.

【高三数学•参考答案第3页(共6页)】•24-10C・

在正方形ADDA,E,F分别是边DD-AQi的中点，可得A|E,

........................................................................4分

因为从⑶口4万二八一所以八尸,平面人甘归.

因为EB｝U平面A场E,所以AF±EB｝.

因为ACf）AF=A，所以BEJ_平面ACF......................................5分

19.解：（1）因为w„+i—（"+l）%=l,所以由+*=邑+上,..................2分

〃十】77+1nn

即&_|__L=?+]=2,可得a“=2〃-1..........................................5分

nn1

（2）设数列｛a,」的前»项和为S“.数列｛”」的前n项和为T,,.

6"为｛a,J中的一项之和,T”为｛七｝中的前丐5项和.........................7分

8=”2,，=$中=[^^^]............................................10分

当时也=T.一T-=[丐必了—[近#了="3.

仇=田=1也满足上式.

故4,="3.................................................................12分

20.解：（1）F（号,0）,设P（［，v）,.............................................1分

乙乙p\

伶+4=2X1,

贝I"22px..........................................................3分

I>!=2X1,

解得，=2.................................................................4分

［y2=2.px,f.r=0,［丁=2Jp\怪、

（2）联立解x得〈或《"/

2

\x=2p2y,b=0|k2次延，

所以P（2^JF，2^K），.................................................6分

i-2Vf>\pz_Ipy

'2Op；诜'力"7分

设直线/的方程为？=团1+4

[y2=2px.

联立<｛得应*+2（42小一小）1+〃=0,

[N=屈]+〃，

△=4（42。一%）2—44。2=0,即上6—伪=士42区.................................8分

若E。一小=幻3则小=0,不符合题意,

所以上2。一%=一局〃，即242〃=力①..........................................9分

联立广2”，

得/2-222员①一222。=。，

【丁=为21+〃，

【高三数学•参考答案第4页（共6页）】•24-10C・

△=4必4+8/＞2。=0,即个达+2。=0②.10分

3r-

由①②可得k=-，所以电+局=（

2VP2

故电+无为定值，该定值为o................................................12分

21.解:⑴甲只参与一轮比赛的概率为=........................4分

乙乙乙乙乙

乙o乙乙乙。乙乙乙乙乙。乙乙乙乙

W........................................................................6分

p(x=2)={xfx-|-x1+1x|x1x|+|x|x|xf+-|x{x|xf=f;

........................................................................8分

7

P(x=l)=l—P(X=0)—P(X=2)=£.....................................10分

X的分布列为

X012

P373

16168

E(X)=^+2X1=^|...............................................................................................12分

22.解：（1）/（j?）=cos久+isin#,/（兀）=-1......................................1分

/'（•T）=icos=一/・.................................................3分

曲线）=/（彳）在点（兀,/（兀））处的切线方程为丁+1=一式（才一兀），即7c.r+jy—7t2+l=