2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题47 平面与平面垂直-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题47平面与平面垂直题型一面面垂直的判定与性质【例1】设有直线m、n和平面α、β，则下列命题中正确的是()A．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βB．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β【答案】B【解析】eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(n⊥β,m∥n))⇒m⊥β)),,,m⊂α))⇒α⊥β，∴B正确．【变式1-1】已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个命题：①α∥β，l⊄β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确的两个命题是()A．①②B．③④C．②④D．①③【答案】D【解析】eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,α∥β))⇒l⊥β)),,,m⊂β))⇒l⊥m，故①对；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l⊥α))⇒l∥β或l⊂β，又m是β内的一条直线，故l∥m不对；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥m,m⊂β))⇒l∥β或l⊂β)),,,l⊥α))⇒α⊥β，∴③对；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊥m))⇒m⊂α或m∥α，无论哪种情况与m⊂β结合都不能得出α∥β，∴选D．【变式1-2】若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α【答案】D【解析】如图（1），β∥α，m⊂β，n⊂β，有m∥α，n∥α，但m与n可以相交，故A错；如图（2），m∥n∥l，α∩β＝l，有m∥β，n∥β，故B错；如图(3)，α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m∥l，故C错．故选D．【变式1-3】经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．【答案】1个或无数【解析】设平面外的点为A，平面内的点为B，过点A作平面α的垂线l.若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定惟一平面β满足α⊥β.【变式1-4】平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是_．【答案】平行【解析】由题意知n⊥α，而m⊥α，∴m∥n.【变式1-5】如图所示，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，则图中互相垂直的平面有()A．2对B．4对C．3对D．5对【答案】C【解析】∵PA⊥平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面ABC．又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴平面PBC⊥平面PAB.题型二面面垂直的证明证明面面垂直常用的方法：1、定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；2、判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；3、性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．【例2】如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．求证：平面PAC⊥平面BDD1【解析】∵长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，∴底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥AC，又DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1，∴平面PAC⊥平面BDD1.【变式2-1】如图所示，在四面体ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.【解析】法一：(利用定义证明)因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．取BC的中点D，如图所示，连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS为二面角A­BC­S的平面角．在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，所以SD＝eq\f(\r(2),2)a，BD＝eq\f(BC,2)＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△ABD中，AD＝eq\f(\r(2),2)a，在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A­BC­S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.法二：(利用判定定理)因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以SA＝AB＝AC，所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．因为△SBC为直角三角形，所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD⊥平面SBC.又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.【变式2-2】如图，四棱锥P­ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝eq\r(2)a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.【解析】设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC.∵PC＝CD＝a，PD＝eq\r(2)a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又EO⊂平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD.【变式2-3】如图：三棱锥P­ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.【证明】∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.【变式2-4】如图，棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.【解析】因为BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.题型三面面垂直性质定理应用【例3】已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.【证明】如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，∵平面PAC⊥平面PBC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，∴AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC.【变式3-1】已知三棱锥P－ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA＝PB＝PC．（1）求证：AB⊥BC；（2）若AB＝BC，过点A作AF⊥PB于点F，连接CF，求证：平面PBD⊥平面AFC．【解析】（1）如图所示：（1）取AC的中点D，连接PD、BD，∵PA＝PC，∴PD⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，∴PD⊥平面ABC，D为垂足．∵PA＝PB＝PC，∴DA＝DB＝DC，∴AC为△ABC的外接圆的直径，故AB⊥BC．（2）∵PA＝PC，AB＝BC，PB＝PB，∴△ABP≌△CBP.∵AF⊥PB，∴CF⊥PB，又AF∩CF＝F，∴PB⊥平面AFC，又PB⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面AFC．【变式3-2】如图，在三棱锥中，，，平面平面，点，（与，不重合）分别在棱，上，且.（1）证明：平面.（2）证明：【解析】（1）在平面内，因为，，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.因为平面，所以.又，，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以.【变式3-3】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD.求证：AD⊥平面PCD.【解析】在矩形ABCD中，AD⊥CD，因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PCD.【变式3-4】如图所示，所在的平面与长方形所在的平面垂直．（1）求证：平面；（2）求证：．【解析】（1）因四边形是长方形，则，而平面，平面，所以平面.（2）长方形中，则，平面平面，平面PDC平面，平面，则有平面，又平面，所以.【变式3-5】如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面平面SBC，，M是BC的中点，，.（1）求证：.（2）若，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）因为平面平面SBC，，，M是BC的中点，所以，所以，而，所以，在矩形ABCD中，M是BC的中点，，，所以，所以，而，，所以，而，所以；（2）因为平面平面SBC，，，M是BC的中点，所以，所以，即为四棱锥的高，因为，，所以，所以四棱锥的体积为.故四棱锥的体积为.题型四二面角的求解【例4】如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P­BC­A的大小为()A．60°B．30°C．45°D．15°【答案】C【解析】由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P­BC­A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．【变式4-1】在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，沿AD折成二面角B­AD­C后，BC＝eq\f(1,2)AB，这时二面角B­AD­C的大小为()A．60°B．90°C．45°D．120°【答案】A【解析】∠BDC为二面角B­AD­C的平面角，设正三角形ABC的边长为m，则折叠后，BC＝eq\f(1,2)m，BD＝DC＝eq\f(1,2)m，所以∠BDC＝60°.【变