平行线的性质平移-七年级数学下册讲义（教师版）（人教版）

专题平行线的性质、平移

考点1：应用平行线的性质望^

考点2：真假命血靠

考点3:平行线的性质与判定的综合应用

考点4:利用图形的平移解决问题∙⅛

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1.平行线的性质：

性质1：两直线平行，同位角相等。

性质2：两直线平行，内错角相等。

性质3：两直线平行,同旁内角互补。如图所示。性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

2.判断一件事情的语句叫命题。命题由题设和结论两部分组成，有真命题和假命题之分。

如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题；如果题设成立，那么结论不一定成立，这样的

命题叫假命题。真命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫定理，它可以作为继续推理的依据。

3.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。

平移后，新图形与原图形的形状和大小完全相同。

平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。

平移性质:平移前后两个图形中①对应点的连线平行（或共线）且相等；②对应线段相等③对应角相等

趣‘考

考点1:应用平行线的性质求角度

典例：（2022秋・西藏林芝•七年级校考期中）如图，点E在AC上，点F,G分别在BC,AB上,且。G〃8C,

01=02.

⑴求证：DB//EF-.

(2)若E∕=13AC,01=50°,求0ADG的度数.

【答案】（1）见解析

（2）0ΛDG=4O°

【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可得证；

（2）先求出团C,再根据两直线平行，同位角相等，即可得解.

（1）证明：UiDG//BC,

EBl=aD8C.

又001=132,

002=0DBC,

BIDB〃EF.

（2）0Ef0AC,

WCEF=90°.

002=01=50°,

SBC=90--50°=40°.

'3∖DG∕/BC,

EBAz）G=ElC=40°.

方法或规律点拨

本题考查平行线的判定和性质.熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键.

巩固练习

1.（2022秋•山东济南•八年级校考期中）在YA8CZ）中，若NA+NC=80。，则/B的度数是（

A.140oB.120°C.100oD.40°

【答案】A

【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对边平行即可求解

【详解】如图：

FIIYABCf）可知，AD//BC,ZA=ZC,

IaN4+NB=180°,

0ZA+ZC=8Oo,

SINA=NC=40°,

0ZB=180o-ZA=I8()°-40o=140°,

故选:A.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行、对角相等是解题的关键.

2.（2021春•四川资阳•七年级统考期末）如图，小明从M处出发沿着北偏东70。方向行走至N处，又沿北

偏西30。方向走至A处，此时需把方向调整到与出发时一致（即A8〃MN）,则方向的调整应是（）

B.右转IOOoC.左转80。D.右转80。

【答案】B

【分析】从M处出发沿着北偏东70。方向行走至N处，北偏西30。方向走至A处，根据平行的性质可知

ZMNA=SOo,把方向调整到与出发时一致（即/由〃MN）,则NMW=80。，由此即可求解.

【详解】解：根据题意得，当A6〃MN时，ZW4β=80o.

根据24方向上，点A处的平角可知，N4方向向右转180。-80。=100。，

即可得到A8〃MV,

故选：B.

【点睛】本题主要考查方位角，掌握方位角中方向与偏角的关系，平行线的性质是解题的关键.

3.（2022秋・湖北武汉•七年级武汉市武珞路中学阶段练习）如图，直线AB与CD相交于点E,在NCEB的

平分线上有一点凡FM//AB.当/DEB=Io。时，N尸的度数是（）

A.70°B.75°C.80°D.85°

【答案】D

【分析】由对顶角求得NAEC=I0。，由角平分线的定义求得/2=85。，根据平行线的性质即可求得结果.

【详解】解：EZDEB=IOo,

SZAEC=IOo,

SlNBEC=180°—10°=170°,

国EN平分NCEB,

0Z2=85o.

WFM//AB,

IaNF=N2=85。，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，角平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决

问题的关键.

4.（2022春,湖南长沙•九年级长沙县湘郡未来实验学校校考阶段练习）如图，直线AB平行直线CD,

NEFD=Io2°,EG平分ZBEF,则NEGF=（）

A.38oB.390C.48oD.49°

【答案】B

【分析】根据AB「8可知NBEr+NEFD=180。，进而求出ZfiEF,再根据EG平分ZBE∕∙■可NBEG,再根

据平行线的性质知ZEGF=NBEG.

【详解】解：ABCD,

：.^BEF+ZEFD=↑80°（两直线平行，同旁内角互补），

.∙.ZBEF=180o-ZEFD=180p-102°=78°.

EG平分ZBEF,

:.NBEG=LNBEF=39。.

2

ABCD,

.'NEGF=NBfiG=39。（两直线平行，内错角相等）.

故选B.

【点睛】本题考查平行线的性质，和角平分线的定义.熟练掌握相关知识点是解题的关键.

5.（2022秋,河南信阳•七年级校考期末）已知直线加〃”，将一块含30。角的直角三角尺按如图方式放置

（ZAβC=30o）,其中A,8两点分别落在直线加，〃上，若/2=57。，则Nl度数为（）

A.32oB.57oC.55oD.27°

【答案】D

【分析】根据题意易得回2=财加9=57。，然后问题可求解.

【详解】解：如图,

EB2=EL4BD=57°,

EINABC=30°,

13Zl=ZABD-ZABC=27°,

故选D.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

6.（2022秋•北京西城•七年级期中）如图，若AB〃CO,EF与AB,Cn分别相交于点E,F,EPVEF,ZEFD

平分线与EP相交于点P,ZfiEP=20。，则/PFD=°.

A--------^L-----------B

P

D

【答案】35。

【分析】由题可求出血F,然后根据两直线平行，同旁内角互补可知NDFE,根据角平分线的定义可得到

结果.

【详解】^EP±EF,

0ZPEF=90°,

回NBEP=20°,

0NBEF=ZPEF+ZBEP=HOo,

ɪaABCD,

0NEFD=180°—NBEF=70°,

EIFP平分∕EΛD,

SlNPFD=LNEFD=35°.

2

【点睛】本题考查了平行线的性质与角平分线的定义，以及三角形的内角和定理，注意数形结合思想是解

题关键.

7.（2022秋•上海闵行•七年级校考阶段练习）如图，已知直线将一块三角板的直角顶点放在直线4

上，如果Nl=42。，那么/2=度.

【答案】48

【分析】根据平行线得到内错角相等，在根据直角即可得到答案.

【详解】解：Ξa∕∕b,

*2=∕3,

回/1+/3=90°,Zl=42°,

0Z3=9Oo-42o=48o

故答案为48.

1

aI

b——

【点睛】本题考查平行线性质：两直线平行内错角相等.

8.（2022秋•北京•七年级校考阶段练习）如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向右转60。航行到5处,

再向左转90。继续航行，此时的航行方向为北偏西°∙

【分析】根据平行线的性质与方位角的定义即可求解.

【详解】解：如图，

0ZEBF=60°,

SI?DBE90?60?30?,

此时的航行方向为：北偏西30°；

故答案为：30.

【点睛】此题主要考查方位角，解题的关键是熟知方位角的定义及平行线的性质.

9.（2022秋•四川泸州•七年级统考期末）如图是AB,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50。方向，在

3岛的北偏西30。方向，则NAcB=.

【分析】根据方位角的概念，过点C作辅助线，构造两组平行线，利用平行线的性质即可求解.

【详解】如图，作CE〃/1。，

^∖DA∕∕FB.

SiZDAC=ZACE=50°.

^∖CE∕∕BF,

0ZCBF=ZBCE=30°.

13ZACB=ZACE+NBCE=50°+30°=80°.

故答案为：80°.

【点睛】本题考查了方位角的概念，解答题目的关键是作辅助线，构造平行线.两直线平行，内错角相等.

10.(2022春•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习)如图，已知AB〃所，8C〃OE,

若ZB=7()。，则NE=°.

t

【答案】110

【分析】先根据“两直线平行，内错角相等"得出NBGE,再根据“两直线平行，同旁内角互补"得出答案.

【详解】如图所示.

^AB//EF,

0Z5=NBGE=70°.

^∖BC∕/DF,

12ZBGE+Z£=180°,

IaNK=180o-ABGE=IlOo.

故答案为：110.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，灵活选择平行线的性质是解题的关键.

11.（2023春•吉林长春•九年级长春市解放大路学校校考阶段练习）如图，直线4〃儿直线/与《、4分别

交于A、B两点.若/1=57。，则/2的大小为度.

【答案】123

【分析】根据邻补角的定义和平行线的性质即可得到结论.

【详解】解：如图，

0Zl=57o,

0Z3=18Oo-Zl=123o,

团直线4〃4，

0Z2=Z3=123o,

故答案为：123.

【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角的应用，解此题的关键是求出N3的度数，注意：两直线平行,

同位角相等.

12.（2022•全国•七年级专题练习）如图，AB//CD,若NA=40。，ZC=26°,则回E=.

【答案】66°##66度

【分析】如图所示，过点E作砂〃AB,则打，根据两直线平行内错角相等分别求出

ZAEF=AOo,ZCEF=26°,则NAEC=/AEF+NCER=66°.

【详解】解：如图所示，过点E作防〃回，

EF//AB,AB//CD,

^AB//CD//EF,

0NAEF=NA=40o,NCEF=ZC=26°,

SNAEC=ZAEF+ZCEF=66°,

故答案为：66°.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出/AE尸=40。，NCE产=26。是解题的关键.

13.（2021秋•四川南充•七年级四川省南充市高坪中学校考阶段练习）如图，已知：Z1=Z2,ZZ）=60o,

E

(1)说明：AB//CD.

⑵求/3的度数.

【答案】⑴见解析

(2)120°

【分析】(1)根据对顶角相等得到∠l=NG∕ffi>,再利用平行线的判定即可证明;

(2)根据平行线的性质求出即可.

(1)

解：I3N2=NGHD,Zl=Z2.

13NI=NGHD,

B1AB//CD；

(2)

AB//CD,

ElN8+ZD=180°,

EZD=60°.

0ZB=120°.

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键.

14.(2021秋•山东德州•七年级校考期中)如图：

^AB//EF,猜想图①中，/B、ZSM与NF之间的数量关系并加以证明;

(2)^AB//EF,如图②，直接写出/8、ZB6"与NF之间的数量关系：.

⑶学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于A,8平行于地面AE,若

/88=150。，则ZABC=.

【答案】（I）NBf）F=N3+/F,证明见解析

（2）Zfi+ZBDF+NF=360。

（3）120°

【分析】（1）过点力作CO〃A3；通过平行线的性质倒角即可；

（2）过点。作CD〃AB；根据两直线平行同旁内角互补列出等式求解;

（3）由（2）中的结论计算即可;

【详解】（1）解：ZBDF=ZB+ZF；理由如下：

如图，过点。作CA3：

AB

SlNB=NBDC

BAB//EF

BCD//EF

S∖ZCDF=ZF

13ZBDF=ZBDC+ZCDF

ΛBDF=ZB+ZF

（2）解：ZB+ZBDF+ZF=360°；理由如下:

如图，过点。作C£>〃AB；

^AB∕/EF

AB//CD//EF

0ZB+ZBDC=180o,ZCDf+ZF=180°

0ZB+ZBDF+ZF=ZB+ZBZX7+ZCDF+ZF=360p

(3)解：由(2)可知：ZBCD+ZABC+ABAEɪ360°

^BA±AE

SIN84E=90°

0ZABC=360o-ZBAE-NBCD=120°

【点睛】本题考查了平行线的性质以及传递性；熟练运用平行线的性质转化角是解题的关键.

15.（2022春•黑龙江哈尔滨•七年级校考阶段练习）如图1,AB〃CQ,直线AB外有一点M,连接AM,CM.

图1图2图3

（1）证明：ZM+ZA≈ZC;

（2）如图2,延长M4至点E,连接CE,CM平分∕ECZ）,AF平分NE4B,且AF与CM交于点尸，求/E与

NAFC的数量关系；

⑶如图3,在2的条件下，NE=IO0。，E4±AN,连接CN,且NM=2Z∕V,NMCN=30°,求NM的度数.

【答案】（1）证明见解析

⑵NE=3600-2ZAFC

(3)20°

【分析1（1）过点M作MN〃AB,根据平行线性质即可得到角度关系，即可求证；

（2）过点E作EP〃/W,过点尸作Q尸〃AB根据平行线性质得到角度关系即可得到答案；

（3）过点N做NF〃A3,过点M作MX〃/W,根据平行线性质得到角度关系即可得到答案.

【详解】（1）证明：过点M作M/V〃AB.

图1

^∖AB∕∕CD,MN//AB,

MN//CD//AB

0ZA+ZΛ⅛WE+ZAWE=18Oo,NNME+NMEB=180。，/MEB=NC,

0ZA+ZAME=ZMEB,

团NA+NAMC=NC;

(2)解：团CM平分NEcD,设NECM=ZMC£)=〃，

乂团•平分NE4B,设ZEAF=NfAe=/?,

⑦NECD=2∕ECM=2a,AEAB=IAEAF=Ib.

过点E作EP〃⑷?，

图2

^AB//CD,

^EP//CD.

□ZE4B+ZAEP=180o,NECD+NCEP=180°,

ZAEP=ISOo-ZEAB=180o-2b,ZCEP=ISOo-ZECD=ISOo-2a,

ΞZAEC=ZAEP÷ZCEP=360-2⅛-2^z=36O-2(^÷⅛),

过点尸作。尸〃A8,

^QF//CD,

^ZAFQ=ZFAB,ZQFC=ZMCD,

^ZAFC=ZQFA+ZQFC=a+b

0ZAEC=360o-2ZAFC；

(3)设ZM46=∕∙,ΛNCD=y

过点、N做NY〃AB,

图3

⑦AB〃CD,NY//CD,

^ZYNA=ZNABf/YNC=NNCD,

^ZANC=ZNCD-ZNAB=y-rt

13ZΛ∕=2Z∕V,

0ZΛ/=2y-2r,

过点M作AlY〃/W,

^∖MX//CD.

0ZXM4=ZM4B,ZXMC=ZMCDf

ZXMA=ZXMC-ZAMC,

团ZAMC=ZXMC-ZXMA=ZMCD-ZMAB,

0ZM4B=2r,ZMCD=2y9

aNMCN=/MCD-NNCD=y,

团NMCN=30。，

”=30。，

0ZΛ∕CD=2γ=6Oo,

团NAEC=IO0。，∠S4EC=360o-2ZAFC,

0ZAFC=360o-ZAFC=130°,

由(2)⅛∏ZBAF+ZFCD=ZAFC,

0ZBAF=ZAFC-ZMCD=70°,

^∖FA±AN,

0Z∕τW=9Oo.

自NNAB=/FAN-NBAF=20°,

Elr=20°,

0ZM4β=2r=4Oo,

回ZAMC=ZMCD-ZMAB=60。-40。=20o.

【点睛】本题考查根据平行线的性质，解题的关键是作平行辅助线转换角度关系.

16.（2021春•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）阅读并解决问题，课上教师呈现

一个问题：

己知：如图，AB//CD,E尸交AB于点。，FG交CD于点、P,当Nl=30。，NEo8=60。时，求NEFG的

度数.

甲同学辅助线的做法和分析思路如下：

辅助线：过点F作MN〃CE>.

分析思路：

①欲求NEFG的度数，由图可知只需转化为求Z2和Z3的度数之和；

②由辅助线作图可知，Z2=Z1,从而由已知Nl的度数可得/2的度数;

③由A8〃CO,MN〃Ci）推出A8〃MN,由此可推出/3=/4；

④由已知NEO8=60。，即/4=6（）。，所以可得/3的度数；

⑤从而可求ZEFG的度数.

⑴你阅读甲同学思路和方法后，请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出你相应的分析思

路.辅助线：__________________________________

分析思路：

⑵请你根据丙同学所画的图形，求一瓦G的度数.

［答案］（1）过点P作PR"EF交AB于点K；分析思路见解析

⑵NEFG=90。

【分析】（1）过点尸作PR〃防交A8于点K：根据依〃得出4Xβ=NEO8,根据A8〃8得出

ARPD=ARKB-即可得出NMD=NEOB,从而得出答案；

（2）过点。做Cw〃尸G交CO于点T,根据0H〃FG,得出NEFG=NEoH,Zi=ZOTC=30°,根据

AB//CD,得出NBO"=NOTC=30。，即可得出答案.

【详解】（1）解：辅助线：过点尸作PR〃砂交A8于点K；

分析思路：

1.欲求NEAG的度数，由辅助线作图可知，ZEFG=ZRPG,因此，只需转化为求4PG的度数

2.欲求/RPG的度数，由图可知只需转化为求Nl和/RPO的度数和；

3.由已知NI的度数，所以只需求出NRP£）的度数；

4.由PR〃EF,可推出ZΛΛB=NEQ3;

由A5〃C。可推出4PO=4∕出，所以可得NKPD=NEoB；

5.由已知NEoB=60°,可得N∕?P£>=60°

6.从而求出/EFG度数.

故答案为：过市、P作PR〃EF交AB于点K

（2）解：如图内，过点。做0”〃FG交CO于点T,

ΞOH//FG,

0NEFG=AEOH,Zl=ZOTC=30°,

3t1AB∕∕CD,

SZBOH=ZOTC=30°,

0NEOB=60°,

0ZEFG=ZEOH=AEOB+ZBOH=600+30°=90°.

E

A

丙

【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质：两直

线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等.

考点2：真假命题的判定

典例：（1）（2022春•陕西西安•八年级校考阶段练习）命题"等边对等角"的题设是结论是

【答案】同一个三角形中的两条边相等：这两条边所对的两个角也相等

【分析】判断一件事情的语句叫做命题.任何一个命题都有题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结

论是由己知事项推出的事项.命题都可以写成“如果…，那么…"的形式，"如果"后接题设部分，"那么"后接结

论部分.

【详解】解：由于命题"在同一个三角形中，等边对等角“可改写成：在同一个三角形中，如果有两条边相等，

那么这两条边所对的两个角相等.所以题设是同一个三角形中的两条边相等，结论是这两条边所对的两个

角相等.

故答案为：同一个三角形中的两条边相等；这两条边所对的两个角相等.

（2）（2022春•八年级单元测试）下列命题中，是真命题的是.（填序号）

①对顶角相等；

②内错角相等；

③三条直线两两相交，总有三个交点；

④若b//c,则a〃c.

【答案】①④##④①

【分析】根据对顶角相等可判断①；根据平行线的性质可判断②；根据两条直线相交的定义可判断③；

根据平行于同一条直线的两条直线平行可判断④，据此可作出判断.

【详解】解：①对顶角相等，正确，是真命题，符合题意；

②两直线平行，内错角相等，故原命题错误，不符合题意；

③三条直线两两相交，总有三个或一个交点，故原命题错误，不符合题意；

④若α〃从b∕∕c,则a〃c,正确，是真命题，符合题意，

正确的有①④.

故答案为：①④.

方法或规律点拨

本题考查判断命题真假，涉及对顶角相等、平行线的性质、直线相交的交点问题，解答的关键是在判断一

个命题的真假时，需要熟知涉及到的相关数学知识，并对每一个命题作出正确的判断.

巩固练习

1.（2022春•山东青岛•八年级期末）要说明命题“若∣α∣>5,则α>5"是假命题，可以举的一个反例是（）

A.a=5B.a=-5C.a=6D.a=-6

【答案】D

【分析】根据举出的反例要满足同>5,但不满足4>5,据此对选项一一进行分析，即可.

【详解】解：A.当α=5时，不满足时>5,故不能成为反例，不符合题意；

B.当α=-5时，不满足时>5,故不能成为反例，不符合题意；

C.当α=6时，∣α∣>5,则。>5,故不是反例，不符合题意；

D.当α=-6时，∣-6∣=6>5,但-6>5不成立，故能成为反例，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了反例法判断命题真假，解本题的关键在熟练掌握举反例的方法.

2.（2022春•浙江•八年级期中）对于命题"如果Nl+N2=90°,那么NIhN2."能说明它是假命题的反例是（）

A.Zl=Z2=45oB.Nl=40°,Z2≈50o

C.Nl=50°,Z2=50oD.Zl=40o,Z2=4O°

【答案】A

【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，逐项判断即可.

【详解】A、N1=N2=45°满足Nl+N2=90。，但不满足N1≠N2,满足题意：

B、Zl=40°,/2=50。满足命题"如果Nl+N2=90o,那么N1≠N2”,不符合题意；

C、Nl=50。，N2=50。不满足命题"如果Nl+N2=9ff5,那么N1≠N2",不符合题意；

D、Nl=40。，/2=40。不满足命题"如果N1+N2=9O。，那么N1≠N2",不符合题意；

故选：A.

【点睛】考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键

3.（2022•全国•七年级专题练习）下列语句是命题的是（）

A.画出两个相等的线段B.所有的同位角都相等吗

C.延长线段A8到C,使得BC=BAD.相等的角是对顶角

【答案】D

【分析】根据命题的概念判断即可.

【详解】解：A、画出两个相等的线段，没有做错判断，不是命题；

B、所有的同位角都相等吗，没有做错判断，不是命题；

C、延长线段AB到C,使得BC=BA,没有做错判断，不是命题：

D、相等的角是对顶角，是命题：

故选：D.

【点睛】本题考查的是命题的概念，掌握判断一件事情的语句，叫做命题，是解题的关键.

4.（2022春•八年级课时练习）对于命题"如果Nl+N2=90。，那么NlHN2",能说明它是假命题的反例是（）

A.Nl=N2=45°B.Nl=50°,/2=50°

C.Zl=50o,Z2=40oD./1=40。，/2=40°

【答案】A

【分析】判断命题是假命题，结论错误即可，由此即可求解.

【详解】解：当Nl=N2=45°时，Nl+N2=90。，但∕1=N2,

团命题"如果N1+N2=9O。，那么Zl≠N2"是假命题，

故选：A.

【点睛】本题主要考查命题真假的判定，掌握命题真假的判定方法是理解命题的条件与结论的关系，即掌

握相关定理，命题的定义和性质是解题的关键.

5.（2022春•河南鹤壁,八年级校考期中）关于命题"等角对等边"，下列说法错误的是（）

A.这个命题是真命题B.条件是“一个三角形有两个角相等"

C.结论是"这两个角所对的边也相等"D.可以用"举反例"的方法证明这个命题是真命题

【答案】D

【分析】分析原命题，找出其条件与结论，然后写成"如果…那么…"形式即可.

【详解】解：在三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称：”等角对等边"，

则选项A、B、C正确，不符合题意，

不可以用"举反例，，的方法证明这个命题是真命题.

故选：D.

【点睛】本题考查了命题与定理的知识，正确理解定义是关键.

6.（2022春•北京•八年级人大附中校考期中）n个正整数排成一列4G，。2,a3,......,an,,每次进行以下

操作之一：

操作一：将其中一个数删除；

操作二：将其中一个数变为更小的正整数；

操作三：将其中一个数变为两个正整数，且两个正整数之和小于原来的正整数；

现甲乙两人对这些数按照甲一乙一甲一乙一......的顺序轮流进行操作，规定最后操作将所有数删除的人获

胜.以下说法正确的是（）

A.若42,3,则甲第一次操作后可以产生6种不同的结果

B.若42,3,若甲乙两人经过k次操作后将所有数都删除，且上述三种操作至少各进行了一次，则b=l

或5

C.若A：1,2,2,则甲有必胜策略

D.若A：1,2,3,则乙有必胜策略

【答案】C

【分析】若要进行操作三，则最大项的数值必须大于等于3：若要进行操作二，则最大项的数值必须大于等

于2；进行操作二不改变数列的项数.

【详解】解：A、当甲进行操作一时，会产生2种不同的结果，A:2或A:3；当甲进行操作二时，会产生2

种不同的结果，4:1,3或/1:2,3；当中进行操作三时，会产生1种不同的结果，因此甲第一次操

作后可以产生5种不同的结果，A故错误.

B、在数列A中，只有七项能进行操作三，并要求三种操作至少各进行了一次，进行操作：后，项数为3,

①第二步先进行操作一时，只能删除为1的项，此时左=1（操作三）+1（操作二）+4（操作一）=6；

②第二步先进行操作二时，此时Z=I（操作三）+1（操作二）+3（操作一）=5；

因此或6,故B错误.

C、根据题意可知，若数列有奇数个项，甲、乙逐个消去，最终甲执行最后一次操作：有偶数个项逐个消去，

最终乙执行最后一次操作；执行操作二、操作三不影响最终结果；

4:1,2,2,为奇数项且最多可执行2（偶数）次操作二，

.•・能确保甲最后将所有项消除，只需保证进行偶数次操作二即可，故C正确.

D、A:1,2,3,为奇数项且最多可执行3（奇数）次操作二，

•.・能确保乙最后将所有项消除，只需保证进行奇数次操作二即可，故D错误.

故选C

【点睛】本题主要考查了数列的应用和逻辑推理，属于难题.

7.（2022春・湖南长沙•七年级长沙县湘郡未来实验学校校考阶段练习）一栋公寓楼有5层，每层有一或两套

公寓.楼内共有8套公寓.住户人K、L、M、N、。、P、Q共8人住在不同公寓里.已知：

（I）J住在两套公寓的楼层.

（2）K住在P的上一层.

（3）二层只有一套公寓.

（4）M、N住在同一层.

（5）。、Q不同层.

（6）Q不住在一层或二层.

（7）L住在她所在层仅有的公寓里，且不在第一次或第五层.

（8）M在第四层；

那么，J住在第（）层.

A.1B.2C.3D.5

【答案】D

【分析】首先根据己知，采取筛选法进行一个一个筛选，就能确定答案.

【详解】解：由（4）和（8）得出M和N住在第四层.由（2）得K只能在2或3层，又由（7）得出L在

3层且只有一户，K在二层只有一户，P则在一层.又由（5）和（6）知道。只能在一层，Q在五层.这时

只有五层还有一套公寓，所以J只能住在五层.

故选：D.

【点睛】用到的知识点是推理和论证，能根据已知，采取筛选法进行一个一个筛选是解此题的关键.

8.（2022春•吉林长春•八年级吉林大学附属中学期末）判断命题"若〃=4,则a=2"是假命题，需要举出的

反例是•

【答案】当。=—2时，满足∕=4,但是

【分析】根据举反例的要求举出满足题设，但是不满足结论的例子即可.

【详解】解：团当a=—2时•，满足/=4,但是。工2,

Ir若/=4，则a=2"是假命题的反例为：当。=-2时，满足∕=4,但是ar2,

故答案为：当a=—2时，满足∕=4,但是a#2.

【点睛】本题主要考查了乘方、命题以及证明，熟知举反例的要求举出满足题设，但是不满足结论的例子

是解题的关键.

9.（2022秋•北京海淀•七年级校考期中）下列命题中，真命题的个数是（）

①相等的角是对顶角；

②同位角相等；

③等角的余角相等；

④如果Y=/,那么χ=y.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根据对顶角、平行线的性质、余角的概念、平方根的概念逐一判断，即可得到答案.

【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，原说法错误，是假命题；

②两直线平行，同位角相等，原说法错误，是假命题；

③等角的余角相等，原说法正确，是真命题；

④如果V=y2,那么χ=±y,原说法错误，是假命题，

即真命题的个数为1，

故选：A.

【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假

关键是要熟悉课本中的性质定理.

10.（2022春•上海•八年级阶段练习）写出命题"等腰三角形两腰上的高相等"的逆命题：如果

,那么.

【答案】三角形两边上的高相等这个三角形是等腰三角形

【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题；

【详解】命题"等腰三角形两腰上的高相等"的逆命题：如果三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰

三角形.

故答案为：三角形两边上的高相等，这个三角形是等腰三角形.

【点睛】本题主要考查命题与定理的知识点，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，

而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命

题的逆命题.

11∙（2021春•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）有下列命题是真命题的是（)

A.相等的角是对顶角

B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等

C.有一边互为反向延长线，且和为180。的两个角是邻补角

D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行

【答案】D

【分析】根据对顶角的性质和定义，邻补角的定义，平行线的性质，平行线公理逐一判断即可.

【详解】A、共顶点，且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角，但是，相

等的两个角，若不满足对顶角的定义，也不是对顶角，故此命题是假命题；

B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故此命题是假命题；

C、有一边互为反向延长线，且共顶点与共一条边的两个角是邻补角，故此命题是假命题；

D、过直线外一点有且只有一-条直线与这条直线平行，是真命题；

故选：D.

【点睛】本题考查了命题真假的判断，掌握命题所涉的相关知识是关键.

12.（2022春•浙江,八年级阶段练习）命题“对顶角相等"改写成如果—，那么—.

【答案】两个角是对顶角这两个角相等

【分析】分清题目的己知与结论，即可解答.

【详解】解：命题"对顶角相等"改写成"如果...，那么，’的形式为：

如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.

故答案为：两个角是对顶角：这两个角相等.

【点睛】本题考查命题的扩充改写，解题关键是先要明确命题中的已知条件和结论，然后根据已经学过的

知识将已知和结论的描述语言进行适当扩充.

13.（2022春•全国•八年级专题练习）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选

项中，只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：

第一题第二题第三题第四题第五题得分

甲CCABB4

乙CCBBC3

丙BCCBB2

TBCCBA—

（I）则丁同学的得分是；

（2）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是（写出一种即可）

【答案】3CACCC

【分析】（1）分甲从第1题到第5题依次错•道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和

得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论；

（2）由（1）先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论.

【详解】解：（1）当甲选错了第1题，那么，其余四道全对，

针对于乙来看，第1,3,5道错了，做对两道，此时，得分为2,而乙得分3,所以，此种情况不符合题意，

当甲选错了第2题，那么其余四道全对，

针对于乙来看，第2,3,5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙得分3分，所以，此种情况不符

合题意，

当甲选错第3题时，那么其余四道都对，

针对于乙来看，第5道错了，而乙的得分是3分，所以，乙只能做对3道，即：第3题乙也选错，即：第3

题的选项C正确，

针对于丙来看，第1，5题错了，做对3道，此时，丙的得分为3分，而丙的地方为2分，所以，此种情况

不符合题意，

当甲选错第4题，那么其余四道都对，

针对于乙来看，第3,4,5道错了，做对了2道，此时，得分2分，而乙的得分为3分，所以，此种情况

不符合题意，

当甲选错第5题，那么其余四道都对，

针对于乙来看，第3道错了，而乙的得分为3分，所以，乙只能做对3道，所以，乙第5题也错了，所以，

第5题的选项A是正确的，

针对于丙来看，第1，3,5题错了，做对了2道，得分2分，

针对于丁来看，第3,5题错了，做对了3道，得分3分，

故答案为3；

（2）由（1）知，五道题的正确选项分别是：CGA加,

如果有一个同学得了1分，那么，只选对1道，

即：他的答案可能是CACCC或CBCCC或CABAB或BBBBB等，

故答案为：CACCC（答案不唯一）.

【点睛】本题考查合情推理的应用，考查分析图表的能力，熟练运用推理能力是解决本题的关键

考点3：平行线的性质与判定的综合应用

典例：（2022春•陕西汉中•七年级统考期末）如图，点D,E,G分别在A8,AC,BC上，连接DG,点F

在。G上，连接DE,EF,已知N2=N4,N3=N3∙

⑴试判断NAE£＞与NC的关系，并说明理由;

⑵若/1=130。，/5=65。，求ZDGS的度数.

【答案】（I）NAED=NC,理由见解析

（2）65°

【分析】（1）根据N2=N4,N3=N8,证明BD〃瓦DE//BC,即可得出结论;

（2）根据平行线的性质以及平角的性质可得答案.

【详解】（1）解：ZAED=ZC,理由如下：

N2=N4,

:.BD//EF,

.∙.Z3=Z5,

QZ3=NB,

.∙.Z5=ZB,

：.DE//BC,

:.ΛAED=ΛC∙,

(2)∙,∙Zl+Z4=180o,Zl=130o,

.∙.Z4=50o,

Z2=Z4,

.∙.N2=50°,

Z5=65o,

又N5+N2+NEDG=180°,

ZEDG=65°,

0DE〃BC,

:.ZDGB=ZEDG=65°.

方法或规律点拨

本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理以及性质定理是解本题的关键.

巩固练习

L（2022秋・广西南宁•七年级南宁三中校考期中）已知AB〃C。，点E在8。连线的右侧，NABE与NCDE

的角平分线相交于点F,则下列说法正确的是（）；

①ZABE+ZCDE+ZE=360°；

②若NE=80°,则4尸£）=140。；

③如图（2）中，ΛABM=^ZABF,ZCDM=^ZCDF,则6/8Affi»+N£=360。；

④如图（2）中，若NE=m°,ZABM=-ACDF,则NM=

图⑴图⑵

A.①②④B.②③④C.①②③D.①②③④

【答案】C

【分析】分别过E、尸作GE〃AB,FH//CD,再根据平行线的性质可以得到解答.

【详解】解：分别过E、/作GE〃/15,FH//CD,

^AB∕∕CD,

AB//GE//FH//CD,

0ZABE+/BEG=180o,ACDE+NDEG=180°,

ɪaZABE+ZBEG+ZCDE+ZDEG=360°,

即ZABE+ZBED+NCDE=360o,①正确;

0NBED=80o,ZABE+ZBED+ZCDE=360°,

El/ABE+NCOE=280°,

AB//CD,

SlZABF=NBFH,NCDF=NDFH,

0ABFD=ABFH+ZDFH=ZABF+ZCDF=ɪ(AABE+ACDE)=140°,②正确，

与上同理，ZBMD=ZABM+ZCDM=ɪ(NABF+ZCDF),

El6ZBMD=2(ZABF+NCDF)=ZABE+ZCDE,

06ZβΛ7P+ZE=36Oo,③正确，

由题意，④不一定正确，

SI①②③正确，

故选：C.

【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法和应用是解题关键.

2.(2022秋•广东湛江•七年级校考期末)如图，点E,B,C,。在同一条直线上，NA=∕4CF,ZDCF=55。,

则ZABE的度数是()

【答案】C

【分析】根据ZA=NACF证得ΛB"B,求出NABC,利用邻补角定义求出NABE.

【详解】解：0ZA=ZACF,

^AB∕∕CF,

ZABC=ZDCF=55°,

SZABE=1SOo-ZABC=125o,

故选：C.

【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记性质是解题的关键.

3.（2022秋•江苏南通•七年级期中）如图，线段A3,Ao交于点A,C为直线AD上一点（不与点A,。重

合）.过点C在BC的右侧作射线CE_LBC,过点。作直线。尸AB,交CE于点G（G与。不重合）.

（1）如图，若点C在线段AD上，且NBc4为钝角.求证：ZCGD-ZB=90°；

⑵若点C在线段QA的延长线上，直接写出NB与/CGO的数量关系.

【答案】（1）见解析

（2）ZB+ZCGD=90°

【分析】（1）依据过点C在BC的右侧作射线CEL3C,过点。作直线£）尸〃AB,交CE于点G,画出图形,

根据平行线的性质，即可得出∕2+∕HCG=180°,进而得出/CGO-/B=90。：

（2）过点C作C//〃ΛS,根据平行线的性质即可得到NB=ZBcH,再根据平行线的性质即可得到

ZCGD+ZHCG=∖SQo,进而得出ZB+ZCGD=90°.

【详解】（1）证明：如图，过点C作⑦〃A3,

^AB//DF,

^∖CH//DFf

团/2+，”CG=I80。，

ΞCElBC,

国∕l+∕HCG=900,

0/CGD+(90°-NB)=180°,

即ZCGD-ZB=90o;

(2)∕CGf)+∕8=90°,

理由：如图，过点。作CH〃A8,

SZB=ZBCH,

^AB∕/DF,

eCH〃DF,

团NCGD+NHCG=180°,

又IZ）CEj_CB,

团NBCG=90。,

团NBCH+90。+NCGD=180°,

即4+/CG£>=90。.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等：两直线平行，同

旁内角互补.

4.（2022春,八年级单元测试）如图，已知点£、尸在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H,

/C=/EFG,ZCED=ZGHD.

M,

'B

Hi

CGD

⑴求证：CE〃GF；

(2)试判断/血>与/。之间的数量关系，并说明理由;

(3)⅛ZEWF=88o,ND=28°,求的度数.

【答案】⑴证明见解析；

(2)NAEr>+/£>=180。，理由见解析；

(3)116°

【分析】(1)依据同位角相等，即可得到两直线平行；

(2)依据平行线的性质，可得出NFGZ)=NEFG,进而判定ABJCD,即可得出NAEZ)+ND=180。；

(3)依据已知条件求得NCG尸的度数，进而利用平行的性质得出NeE尸的度数，依据对顶角相等即可得

到∕4fiW的度数.

【详解】(1)证明：ZCED=NGHD,

.-.CE//GF；

(2)解：ZAED+ZD=180°;

理由：CE//GF,

.∙.ZC=ZFGD1

Q4C=/EFG,

；.4FGD=4EFG,

:.AB//CD,

.∙.ZAED+ZD=I80°；

(3)解：:NGHD=NEffF=88°,ZZ>28o,

.∙.NCGF=NGHD+ZD=880+28°=116°,

又∙CE//GF,

.∙.ZC+ZCGF=180°,

.∙.ZC=l80o-H6o=64o,

又,AB//CD.

.∙.ZAEC=NC=64。，

.∙.ZAEW=180o-64o=116o.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判定两直线的位置关系，

平行线的性质是由平行线关系来寻找角的数量关系.

5.（2022春•八年级单元测试）如图所示，已知Nl+N2=180。，Z3=∠β,试判断/AED与/。的大小关

系，并对结论进行说理.

A

A

°G

【答案】NA£D=/C.证明见解析

【分析】根据平行线的判定与性质进行推理即可.

【详解】解：ZAED=NC.证明见解析

证明：Zl+Z4=180o（邻补角定义），/1+22=180。（已知）

.∙.Z2=Z4（同角的补角相等）

.-.EF//AB（内错角相等，两直线平行）

.∙.Z3=ZADE（两直线平行，内错角相等）

又Zβ=z3（己知），

.-.ZADE=ZB（等量代换），

.∙.DE∕∕BC（同位角相等，两直线平行），

.-.ZAED=ZC（两直线平行，同位角相等）.

【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质.

6.（2022春・吉林长春•七年级吉林大学附属中学期末）（1）问题背景：如图1,已知AB〃CD,点P的位置

如图所示，连结P4,PC,试探究NAPC与NA、NC之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你

结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：

图1图2图3

解：