2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）专题08 二次函数中的45度角含解析

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练专题08二次函数中的45度角1．在平面直角坐标系中点A（0，6）、B（6，0），AC、BD分别垂直于y轴、x轴，CA＝3，∠COD＝45°，二次函数y＝﹣x2+m与线段CD有两个公共点时，m的取值范围是____．2．已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点，两点，对称轴为直线，对称轴与x轴交于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的点，当时，求点P的坐标；(3)点F为二次函数图像上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．3．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，对称轴为直线．(1)求该抛物线的表达式；(2)直线l过点A与抛物线交于点P，当时，求点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点，与y轴交于A点．（1）根据图象确定a、b、c的符号，并说明理由；（2）如果点A的坐标为（0，﹣3），∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，求这个二次函数的解析式．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（4，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点E是第一象限的抛物线上的一个动点．当△ACE面积最大时，请求出点E的坐标；（3）如图2，在抛物线上是否存在一点P，使∠CAP＝45°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A(−1，0)、B(4，0)．(1)求此二次函数的表达式；(2)点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，点P为抛物线上一动点，若∠PMA=45°，求点P的坐标．7．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝m﹣（m＋n）x＋n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点．(1)求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；(2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO＝45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；(3)在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．8．抛物线与x轴交于点A和B（点A在点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，，点在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）点（n为任意实数），当m变化时，点P在直线l上运动，若点A，D到直线l的距离相等，求k的值；（3）M为抛物线在第二象限内一动点，若，求点M的横坐标的取值范围．9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx－3(m≠0)与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，顶点为C点．（1）求点A和点B的坐标；（2）若∠ACB＝45°，求此抛物线的表达式．10．如图1，抛物线与轴交于点（2，0）（6，0），与轴交于点，连接，．（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，过点的直线交抛物线于点，若，求点的坐标．专题08二次函数中的45度角1．在平面直角坐标系中点A（0，6）、B（6，0），AC、BD分别垂直于y轴、x轴，CA＝3，∠COD＝45°，二次函数y＝﹣x2+m与线段CD有两个公共点时，m的取值范围是____．【答案】【分析】将以O为旋转中心旋转，得到，证明，得到，再根据点C的坐标推出点D的坐标，由二次函数图象与线段有两个交点，列出满足条件的不等式组，计算求解即可．【详解】解：∵∴∴将以点O为旋转中心旋转，得到，作图如下：∴又∵旋转∴,，∴在与中：∴∴∵轴，轴，且AC=3∴∴设点,则：∴，，∴解得：∴设线CD所在的直线表达式为：，将，代入得：，解得：∴线段CD所在的直线表达式为：（）又∵二次函数与线段CD有两个公共点∴∴又∵有两个公共点∴，即解得：又∵与线段CD相交，，且的对称轴为：∴解得：∴m的取值范围是【点睛】本题考查三角形的全等的判定和性质、一元二次方程的判别式，以及二次函数与不等式的综合，根据相关知识点解题是关键．2．已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点，两点，对称轴为直线，对称轴与x轴交于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的点，当时，求点P的坐标；(3)点F为二次函数图像上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）由对称轴为直线则设抛物线代入点A、C的坐标求出解析式；（2）过作，且，过作，过C作于，过作于，构建，即可得出，求得直线的解析式为：与抛物线解析式联立即可得出P点坐标；（3）设，，分以AF为对角线时以AN为对角线时，以为对角线时，进行讨论，列出方程组，即可解答问题．（1）解：∵抛物线对称轴为直线，∴设抛物线，把，代入得：，∴，∴；（2）如图过作，且，过作，过C作于，过作于，∴，，∴，，∴，∴，∴，，∴，设直线的解析式为，∴，∴，∴，∴，∴，，∴；（3）∵，∴，依题意设，，∵，对称轴为直线，∴，∵，，，，当以AF为对角线时，，∴，∴，当以AN为对角线时，，∴，∴，当以为对角线时，，∴，∴，综上所述：或或．【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质，一次函数的解析式求法，构造全等三角形的判定和性质，平行四边形存在性问题，是一道有关二次函数的综合题，掌握以上知识点是解题的关．3．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，对称轴为直线．(1)求该抛物线的表达式；(2)直线l过点A与抛物线交于点P，当时，求点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的解析式为：(2)P(6，7)或P(4，-5)(3)存在，(2，3)，(2，-7)，(2，1)，(2，-6)【分析】（1）根据待定系数法直接求二次函数解析式即可；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，则，由得：AM=PM，用含m的代数式分别表示AM和PM，据此得到关于m的方程，求解即可；（3）根据二次函数的解析式得出，设设点，分类讨论当时，当时，当时，利用勾股定理求解即可．(1)设，把代入得：，解得：∴∴抛物线的解析式为：．(2)设P（m，），过点P作PM⊥x轴于点M，则，由得：AM=PM，∴，即或，解得：（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），∴P（6，7）或

P（4，-5）；(3)存在；抛物线的解析式为：，，对称轴为直线，设点，当时，由勾股定理可得，即，整理得，解得或，或；当时，由勾股定理可得，即，整理得，解得，；当时，由勾股定理可得，即，整理得，解得，；综上，（2，3），（2，-7），（2，1），（2，-6）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图形和性质、勾股定理及直角三角形的存在性，熟练掌握知识点是解题的关键．4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点，与y轴交于A点．（1）根据图象确定a、b、c的符号，并说明理由；（2）如果点A的坐标为（0，﹣3），∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，求这个二次函数的解析式．【答案】（1）a＞0，b＞0，c＜0，理由见解析；（2）y＝x2+（﹣1）x﹣3【分析】（1）根据开口方向可确定a的符号，由对称轴的符号，a的符号，结合起来可确定b的符号，看抛物线与y轴的交点可确定c的符号；（2）已知OA＝3，解直角△OAB、△OAC可得B、C的坐标，设抛物线解析式的交点式，把A、B、C代入即可求解析式．【详解】解：（1）∵抛物线开口向上∴a＞0又∵对称轴在y轴的左侧∴＜0，∴b＞0又∵抛物线交y轴的负半轴∴c＜0．（2）连接AB，AC∵在Rt△AOB中，∠ABO＝45°∴∠OAB＝45°，∴OB＝OA∴B（﹣3，0）又∵在Rt△ACO中，∠ACO＝60°∴OC＝OAtan30°＝∴C（，0）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）由题意：，解得：，∴所求二次函数的解析式为y＝x2+（﹣1）x﹣3．【点睛】本题主要考查二次函数的综合及解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质及三角函数是解题的关键．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（4，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点E是第一象限的抛物线上的一个动点．当△ACE面积最大时，请求出点E的坐标；（3）如图2，在抛物线上是否存在一点P，使∠CAP＝45°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2．（2）当x＝2时，S△ACE取得最大值4．（3）（﹣，﹣）【分析】（1）由题意可得点A（4，0），C（0，2），用待定系数法求解即可得到答案．（2）过点E作EF∥y轴交AC于点F，用待定系数法得到直线AC的解析式为y＝﹣x+2，设点E（x，﹣x2+x+2），则F（x，﹣x+2），则EF＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，所以由S△ACE＝S△CEF+S△AEF得到二次函数，根据二次函数的顶点即可解答．（3）如图2中，将线段AC绕点A逆时针旋转90°得到AC′，则C′（2，−4），取CC′的中点H（1，−1），作直线AH交抛物线于P，此时∠PAC＝45°，求出直线AH的解析式，构建方程组即可解决问题．【详解】解：（1）将点A（4，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2．（2）如图1，过点E作EF∥y轴交AC于点F，设直线AC的解析式为y＝kx+2，∴4k+2＝0，∴k＝﹣，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，设点E（x，﹣x2+x+2），则F（x，﹣x+2），则EF＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，∴S△ACE＝S△CEF+S△AEF＝EF•OA＝（﹣x2+2x）×4＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∵﹣1＜0，∴当x＝2时，S△ACE取得最大值4．（3）如图2中，将线段AC绕点A逆时针旋转90°得到AC′，则C′（2，﹣4），取CC′的中点H（1，﹣1），作直线AH交抛物线于P，此时∠PAC＝45°，∵A（4，0），H（1，﹣1），∴直线AH的解析式为y＝x﹣，由，解得或，∴P（，）．作直线AP′⊥PA，则直线AP′的解析式为y＝﹣3x+12，由，解得或（不合题意舍弃），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣，﹣）【点睛】本题考查二次函数解析式的求法，三角形的面积，二次函数的性质等知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式及线段中点公式是解题的关键．6．二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A(−1，0)、B(4，0)．(1)求此二次函数的表达式；(2)点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，点P为抛物线上一动点，若∠PMA=45°，求点P的坐标．【详解】解：(1)把A(−1，0)、B(4，0)代入y=ax2+bx+4解得：所以二次函数为：．(2)如图所示：过点A作AD∥y轴，过点M作DM∥轴，交点为D，过点A作AE⊥AM，取AE=AM，作EF⊥轴，垂足为F，连结EM交抛物线与点P．∵AM＝AE，∠MAE＝90°，∴∠AMP＝45°．将代入抛物线的解析式得：，∴点M的坐标为（1，6）．∴MD＝2，AD＝6．∵∠DAM+∠MAF＝90°，∠MAF+∠FAE＝90°，∴∠DAM＝∠FAE．在△ADM和△AFE中∴△ADM≌△AFE．∴EF＝DM＝2，AF＝AD＝6．∴E（5，-2）．设EM的解析式为．将点M和点E的坐标代入得：解得∴直线EM的解析式为．所以解得：或,∴点P的坐标为（4，0）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质，通过作辅助线构造等腰直角三角形、全等三角形求得点E的坐标是解题的关键．7．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝m﹣（m＋n）x＋n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点．(1)求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；(2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO＝45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；(3)在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．【答案】(1)见解析(2)y＝﹣x﹣1(3)﹣≤m＜0【分析】（1）直接利用根的判别式，结合完全平方公式求出△的符号进而得出答案；（2）首先求出B，A点坐标，进而求出直线AB的解析式，再利用平移规律得出答案；（3）根据当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p＝0时，q＝1；当p＝﹣3时，q＝12m＋4；结合图象可知：﹣（12m＋4）≤2，即可得出m的取值范围．（1）解：令m﹣（m＋n）x＋n＝0，则＝﹣4mn＝，∵二次函数图象与y轴正半轴交于A点，∴A（0，n），且n＞0，又∵m＜0，∴m﹣n＜0，∴＝＞0，∴该二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）令﹣（m＋n）x＋n＝0，解得：＝1，＝，由（1）得＜0，故B的坐标为（1，0），又因为∠ABO＝45°，所以A（0，1），即n＝1，则可求得直线AB的解析式为：y＝﹣x＋1．再向下平移2个单位可得到直线l：y＝﹣x﹣1；（3）由（2）得二次函数的解析式为：y＝﹣（m＋1）x＋1．∵M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，∴q＝﹣（m＋1）p＋1．∴点M关于x轴的对称点M′的坐标为（p，﹣q）．∴M′点在二次函数y＝﹣＋（m＋1）x﹣1上．∵当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p＝0时，q＝1；当p＝﹣3时，q＝12m＋4；结合图象可知：﹣（12m＋4）≤2，解得：m≥﹣．∴m的取值范围为：﹣≤m＜0．【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及根的判别式和一次函数图象的平移等知识，利用数形结合得出是解题关键．8．抛物线与x轴交于点A和B（点A在点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，，点在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）点（n为任意实数），当m变化时，点P在直线l上运动，若点A，D到直线l的距离相等，求k的值；（3）M为抛物线在第二象限内一动点，若，求点M的横坐标的取值范围．【答案】（1）；（2）或；（3）＜＜﹣1【分析】（1）将点B（﹣c，0）、D(2，﹣3)代入抛物线的解析式中，求解b、c值即可解答；（2）分①当A、D位于直线l的两侧；②当A、D位于直线l的同侧两种情况讨论求解即可；（3）由∠AMB=45°，可作过点A、M、B三点的圆R，根据圆的性质可得△ARB为等腰直角三角形，设点M（t，s），由勾股定理可得t与s的关系式，结合抛物线解析式求得s、t值，即可求得的取值范围．【详解】解：（1）当x=0时，y=c，∴C（0，c），OC=﹣c，∵OB=OC，∴B（﹣c，0），将B（﹣c，0）、D（2，﹣3）代入中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）当y=0时，由得：x=﹣1或x=3，∴A(﹣1，0)，∵，∴直线l的表达式为y=4kx+1，∵点A，D到直线l的距离相等，∴分以下两种情况：①当A、D位于直线l的两侧时，直线经过A、D的中点（，），将（，）代入y=4kx+1中，得：=4k·+1，解得：k=；②当A、D位于直线l的同侧时，直线l与AD平行，设直线AD的表达式为y=px+q，将A(﹣1，0)、D(2，﹣3)代入，得：，解得：直线AD的表达式为y=﹣x﹣1，∴4k=﹣1，解得：k=，综上，k的值为或；（3）当∠AMB=45°，过点A、B、M三点的圆R，圆心为R，如图，则∠ARB=90°，∴R（1，2），圆的半径为AR=，设点M（t，s），且t＜0，s＞0，，由得：，即，解得：s=3或s=0（舍去），由=3解得：t1=，t2=(舍去)，∵点M在第二象限，∴由图象可知，当∠AMB＞45°时，M的横坐标的取值范围为＜＜﹣1．【点睛】本题考查二次函数的综合运用，涉及待定系数分求函数的解析式、函数的图象与性质、解一元二次方程、圆的有关性质，解答的关键是读懂题意，寻找相关知识的关联点，利用数形结合思想进行推理、探究和计算．9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx－3(m≠0)与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，顶点为C点．（1）求点A和点B的坐标；（2）若∠ACB＝45°，求此抛物线的表达式．【答案】（1）点A的坐标为(0，－3)；点B的坐标为(1，0)．（2）y＝x2－2x－3．【分析】（1）令抛物线解析式中即可求出点A的坐标，找到抛物线的对称轴即可求出点B的坐标；（2）根据∠ACB＝45°可求出点C的坐标，将点C的坐标代入抛物线的解析式中即可得出答案.【详解】解：（1）∵抛物线y＝mx2－2mx－3(m≠0)与y轴交于点A，∴点A的坐标为(0，－3)；∵抛物线y＝mx2－2mx－3(m≠0)的对称轴为直线x＝1，∴点B的坐标为(1，0)．（2）∵∠ACB＝45°，∴点C的坐标为(1，－4)，把点C代入抛物线y＝mx2－2mx－3得出m＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3．【点睛】本题主要考查二次函数，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键.10．如图1，抛物线与轴交于点（2，0）（6，0），与轴交于点，连接，．（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，过点的直线交抛物线于点，若，求点的坐标．【详解】（1）∵点A(2，0)和点B(6，0)在，∴将点A(2，0)和点B(6，0)代入得：，解得：，∴；（2）解：过点作于点，交于点，过点做轴于点．∵∠ACD=45°，∠CAM=90°，∴△CAM为等腰直角三角形，∴CA=AM，又∵∠CAO+∠MAB=90°，∠AMN+∠MAB=90°，∴∠CAO=∠AMN，在△AOC和△MNA中，∴（AAS），∴MN=OA=2，AN=OC=6，∴M(8，2)，∴设直线MC的解析式为：，将C(0，6)，M(8，2)，代入得：，解得：，∴直线MC的解析式，∴解得：（舍去）∴(7，)；【点睛】本题考查了相似三角形与全等三角形的性质与判定，二次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，等腰直角三角形的性质；熟练掌握知识点是解题的关键；专题09二次函数中的将军饮马1．如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．2．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(5，0)．(1)求m的值及抛物线的顶点坐标．(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．3．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，连接AP、PC，请直接写出使值最小的点P的坐标．4．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标．5．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．（1）求抛物线的解析式．（2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，二次函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交与点C，抛物线的顶点坐标是（2，9），且经过D（3，8）．（1）求抛物线的函数关系式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得BM＋DM最短？若存在，求出M的坐标．若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线经过点，与轴交于点过点且平行于轴的直线交抛物线于点．（1）求抛物线的解析式；（2）求的面积；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象过点A(−1，0)、点B(0，3)．（1）该二次函数的顶点是；（2）点C为点B关于抛物线对称轴的对称点，直线y=mx+n经过A、C两点，满足ax2+bx+c>mx+n的x的取值范围是．（3）在对称轴上找一点M，使取得最大值，求出此时M的坐标．9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值．10．如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标．11．如图，抛物线与直线分别相交于、两点，其中点在轴上，且此抛物线与轴的一个交点为．（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线对称轴上找一点，使的周长最小，请求出这个周长的最小值．12．已知抛物线的图象如图所示，它与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点坐标为．（1）求抛物线的解析式及与轴的另一个交点的坐标；（2）根据图象回答：当取何值时，？（3）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标．13．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（﹣4，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上求出Q点的坐标使得△QAC的周长最小．14．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)证明为直角三角形；(3)在抛物线的对称轴上，是否还存在一点P，使的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．在直角坐标系中，⊙A的半径是2，圆心A的坐标为（1，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，直线BC与⊙A交于点C，与x轴交于点B（﹣3，0）．(1)求证：BC是⊙A的切线；(2)若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰好为点E、F，求抛物线的解析式；(3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ECM的周长最小时，请直接写出点M的坐标．专题09二次函数中的将军饮马1．如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．【答案】（1）A（﹣2，0），B（1，0），C（0，﹣2）．（2）P（，）【分析】（1）利用二次函数图像与x轴交点时，y=0，代入式子即可求出x值，即可求出A、B两点坐标，图像与y轴相交，x=0，带入可以求出y值，即可求出C点坐标；（2）有题可知本问考查的是“两定一动”，故需要利用“将军饮马”的方法进行解题，B点关于对称轴的对称点为A点，连接AC，AC与对称轴的交点即为P点，求出AC所在直线解析式，之后求出与对称轴交点即为P点坐标．【详解】解：（1）由y＝0，得x2+x-2＝0解得x＝-2，x＝1，∴A（-2，0），B（1，0），由x＝0，得y＝-2，∴C（0，-2）．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．设直线AC为y＝kx+b，则﹣2k+b＝0，b＝﹣2：得k＝﹣1，y＝﹣x﹣2．对称轴为x＝，当x＝时，y＝-2＝，∴P（，）．【点睛】本题主要考查二次函数图像的基本性质，以及“两定一动”的动点问题，熟练掌握二次函数中的综合运用是解题的关键．2．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(5，0)．(1)求m的值及抛物线的顶点坐标．(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．【答案】(1)m=4，顶点坐标为(2，9)(2)P(2，3)【分析】（1）将点(5，0)，代入，得其解析式，从而求出m的值及抛物线的顶点坐标；（2）利用“将军饮马”思路，点A关于抛物线对称轴l对称的点是点B，进而解决问题．（1）将点（5，0）代入y=﹣x2+mx+5得，0=﹣25+5m+5，m=4，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∴抛物线的顶点坐标为（2，9）；（2）如下图，点A与点B是关于直线l成轴对称，根据其性质有，PA+PC=PC+PB，当点C、点P、点B共线时，PC+PB=BC为最小值，即为PA+PC的最小值，由抛物线解析式为，可得点C坐标为（0，5），点B坐标为(5，0)，对称轴l为x=2，设直线BC的解释为y=kx+b，将点C(0，5)，点B(5，0)，代入y=kx+b得，，解得，∴直线BC的解析式为y=﹣x+5，联立方程，，解得，∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为(2，3)．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质和最短路径问题，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．3．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，连接AP、PC，请直接写出使值最小的点P的坐标．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根据解析式求得点的坐标，设抛物线解析式为，将代入，再待定系数法求解析式即可；（2）根据（1）的结论求得抛物线的对称轴为，再根据题意，求得为与直线的交点，进而求得直线的解析式即可求得点P的坐标．【详解】（1）抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，令，则，即设抛物线解析式为，将代入，得解得（2）抛物线的对称轴为根据对称性，关于对称，连接，交于点则当三点共线时，值最小，此时为与直线的交点设直线的解析式为，将点，代入，得：解得直线的解析式为在上，则当时，【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，根据轴对称的性质求线段和的最值问题，理解题意掌握轴对称的性质是解题的关键．4．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标．【答案】（1），；（2）点P的坐标为【分析】（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：0=9+3m+3，即可求解；（2）点A关于函数对称轴的对称点为B，连接BC交函数对称轴于点P，此时点P即为所求点，即可求解；【详解】解：（1）由题意得：，解得：，∴，∴顶点坐标为：；（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小，设直线BC的解析式为：，由题意得：，解得，∴直线BC的解析式为：，当时，，∴当的值最小时，点P的坐标为．【点睛】本题考查了二次函数的性质，求一次函数解析式，涉及到最短路径等知识，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题．5．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．（1）求抛物线的解析式．（2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=-x2+x+3；（2）P坐标为（，）．【分析】（1）由OA与OC的长确定出A与C的坐标，代入抛物线解析式求出b与c的值，即可确定出解析式；（2）连接AD，与抛物线对称轴于点P，P为所求的点，设直线AD解析式为y=mx+n，把A与D坐标代入求出m与n的值，确定出直线AD解析式，求出抛物线对称轴确定出P横坐标，将P横坐标代入求出y的值，即可确定出P坐标．【详解】解：（1）∵OA=2，OC=3，∴A（-2，0），C（0，3），代入抛物线解析式得：，解得：b=，c=3，则抛物线解析式为y=-x2+x+3；（2）连接AD，交对称轴于点P，则P为所求的点，设直线AD解析式为y=mx+n（m≠0），把A（-2，0），D（2，2）代入得：，解得：m=，n=1，∴直线AD解析式为y=x+1，对称轴为直线x=，当x=时，y=，则P坐标为（，）．【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数，一次函数解析式，以及对称轴-最短线路问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．6．如图，二次函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交与点C，抛物线的顶点坐标是（2，9），且经过D（3，8）．（1）求抛物线的函数关系式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得BM＋DM最短？若存在，求出M的坐标．若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）15；（3）M（2，6）【分析】（1）根据顶点坐标可设抛物线的顶点式，再将点D的坐标代入即可得；（2）求出A，B，C点坐标，利用三角形的面积公式即可求解；（3）先求出点D关于对称轴对称的点D'的坐标，从而可得BM＋DM＝BM＋D'M，再根据两点之间线段最短可得当点B，D'，M在一条直线上时，BM＋D'M最短，然后利用待定系数法求出直线BD'的函数解析式，最后将点M的横坐标代入即可得．【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，9），设抛物线的解析式为y＝a（x−2）2＋9，∵抛物线经过点D（3，8），∴（3−2）2•a＋9＝8，解得a＝−1，∴抛物线的函数解析式为y＝−（x−2）2＋9；（2）令y＝−（x−2）2＋9=0，解得x1=5，x2=-1，∴A（-1，0），B（5，0），令x=0，则y=−（0−2）2＋9=5∴C（0，5）∴S△ABC===15；（3）存在，求解过程如下：∵二次函数y＝−（x−2）2＋9的对称轴为直线x＝2，∴A（−1，0），B（5，0），∵点D（3，8）关于对称轴x＝2对称的点的坐标为D'（1，8），由对称性得：DM＝D'M，则BM＋DM＝BM＋D'M，如图，由两点之间线段最短可知，当点B，D'，M在一条直线上时，BM＋DM最短，设直线BD'的函数解析式为y＝kx＋b，把（5，0），（1，8）代入y＝kx＋b，得：，解得，∴y＝−2x＋10，取x＝2，则−2×2＋10＝6，∴M（2，6）．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的对称性、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．7．如图，抛物线经过点，与轴交于点过点且平行于轴的直线交抛物线于点．（1）求抛物线的解析式；（2）求的面积；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）6；（3）存在，，理由见解析．【分析】（1）将点代入函数解析式求解即可确定函数解析式；（2）当时，，可确定点B的坐标，然后由对称轴及轴，可得点C的坐标，据此得出，，然后根据三角形面积公式求解即可；（3）根据B、C关于抛物线的对称轴对称，可得点P为直线AC与抛物线对称轴的交点，此时，的周长最小，设直线AC的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后联合对称轴求解即可确定点P的坐标．【详解】解：（1）将代入中，得：，解得：抛物线的解析式：；当时，，∴，由（1）知，抛物线的对称轴：，∵轴，∴点、关于对称轴对称，则，，，；（3）如图所示：点B、C关于抛物线的对称轴对称，∴点P为直线AC与抛物线对称轴的交点，此时，的周长最小，设直线AC的解析式为，代入、，得：，解得，直线：；点P为直线AC与抛物线对称轴的交点，∴，解得，．【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数与二次函数解析式，二次函数与一次函数交点及二次函数的基本性质等，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．8．如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象过点A(−1，0)、点B(0，3)．（1）该二次函数的顶点是；（2）点C为点B关于抛物线对称轴的对称点，直线y=mx+n经过A、C两点，满足ax2+bx+c>mx+n的x的取值范围是．（3）在对称轴上找一点M，使取得最大值，求出此时M的坐标．【答案】（1）（1，4），（2）-1＜x＜2．（3）（1，6）；【分析】（1）把二次函数的解析式化成顶点式即可；（2）根据函数图象可以直接写出满足不等式x2+bx+c＞mx+n的x的取值范围．（3）连接AB与对称轴交于点M，此时，最大，求出直线AB解析式，再求M的坐标即可．【详解】解：（1）∵y＝-x2+2x+3＝-（x﹣1）2+4，∴二次函数的顶点坐标为（1，4），故答案为：（1，4），（2）由（1）得，二次函数的对称轴为直线x＝1，B（0，3），点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，∴点C（2，3），由图象可知，不等式x2+bx+c＞mx+n的x的取值范围：-1＜x＜2．故答案为：-1＜x＜2．（3）函数的对称轴为直线x＝1，点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，如图所示，|AM1﹣M1C|＝|AM1﹣BM1|≤AB，连接AB与对称轴交于点M，此时|AM﹣MC|＝|AM﹣BM|＝AB，∴|AM﹣MC|的最大值为AB；设直线AB解析式为y＝kx+b的图象经过A，B两点，∴，得，∴直线AB解析式为y＝3x+3，把x＝1代入得，y＝3×1+3=6，∴M的坐标为（1，6）；【点睛】本题考查二次函数与不等式组、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据题意将点的坐标代入解析式即可求得该抛物线的解析式；（2）根据抛物线的对称性，两点关于对称轴对称，连接交于点，则的周长的最小值为，据此求解即可．【详解】（1）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，，解得，．（2）连接，交于点，连接，,如图，两点关于对称轴对称，的周长为的周长最小值为由，令，解得，即在中即的周长最小值为．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．10．如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标．【答案】P(1，－2)．【分析】根据“将军饮马”问题，将A点沿对称轴对称至B点，连接BC，与对称轴交点即为所求P点，从而结合图形性质求解即可．【详解】如下左图，点A与点B对称，连结BC，那么在△PBC中，PB＋PC总是大于BC的．如下右图，当点P落在BC上时，PB＋PC最小，因此PA＋PC最小，△PAC的周长也最小．由y＝x2－2x－3，令y=0，解得：x=-1或3，∴A（-1,0），B（3,0），对称轴为直线x=1，∴可知OB＝OC＝3，OD＝1，∠OBC=45°，∴DB＝DP＝2，∴P(1，－2)．【点睛】本题考查二次函数的对称性以及最短路径问题，理解常见的求最短路径的模型是解题关键．11．如图，抛物线与直线分别相交于、两点，其中点在轴上，且此抛物线与轴的一个交点为．（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线对称轴上找一点，使的周长最小，请求出这个周长的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用的解析式求解的坐标，把，代入，利用待定系数法列方程组，解方程组可得答案；（2）联立两个函数解析式，求解的坐标，线段的长度，如图，要使的周长最小，则最小，设二次函数与轴的另一交点为，抛物线的对称轴为：点，连接交对称轴于，此时，最小，再利用勾股定理求解，从而可得答案．【详解】.解：（1）抛物线与直线交于轴上一点，令则点把，代入得：，解得：，抛物线的解析式是；（2）将直线与二次函数联立得方程组：解得：或，，如图，要使的周长最小，则最小，设二次函数与轴的另一交点为，抛物线的对称轴为：点，连接交对称轴于，此时，最小，此时：，的周长最小值为．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解三角形的周长的最小值，掌握以上知识是解题的关键．12．已知抛物线的图象如图所示，它与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点坐标为．（1）求抛物线的解析式及与轴的另一个交点的坐标；（2）根据图象回答：当取何值时，？（3）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标．【答案】（1），；（2）＜＜；（3）【分析】（1）把代入：，利用待定系数法求解，再求解点的坐标即可得到答案；（2）由，可得抛物线的图像在轴的下方，结合图像可得的取值范围，从而可得答案；（3）由关于抛物线的对称轴对称，可得与对称轴的交点满足最小，从而可得答案．【详解】解：（1）把代入：，，解得：所以抛物线的解析式为：，由（2）抛物线与轴交于，抛物线的图像在轴的下方，结合图像可得：＜＜（3）∵∴对称轴是直线x=1．如图，当A、B、P三点共线时，PA+PB的值最小，此时点P是对称轴与x轴的交点，即P（1，0）．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，利用抛物线的图像解一元二次不等式，掌握以上知识是解题的关键．13．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（﹣4，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上求出Q点的坐标使得△QAC的周长最小．【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4（2）Q（﹣，）【分析】（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4），即可求解；（2）点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，则点Q为所求，即可求解．【详解】解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4）＝﹣x2﹣3x+4；（2）抛物线的对称轴为：x＝﹣，点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，则点Q为所求，点C（0，4），将点B、C坐标代入一次函数表达式：y＝kx+m得：，解得：，故直线BC的