单元提升卷4 导数-2024年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考）含答案

单元提升卷04导数・2024年高考数学一轮复习考

点通关卷（新高考通用）单元提升卷04导数

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.如图所示的是y=/（x）的导函数y=/'（x）的图象，下列四个结论:

①“X）在区间上是增函数;

②广-1是“X）的极小值点；

③/（X）的零点为-1和4；

④x=l是“X）的极大值点.

A.①②B.②③C.③④D.①③④

2.已知f'（%）=3,lim/"少）二/（8）的值是（）

v07-。3Ar

A.3B.1C.2

1y-1

3.已知函数“r）（x£R）满足"1）=1,且/（x）的导函数则/+2的解集为（）

A.（一8,0）B.（F，l）C.（0,y）D.（l,+oo）

4.函数〃加仇/吸,<0的导函数为小），则八一引=<）

7171

A.0B.1C.-D,1H—

22

5.函数〃x）=sinx在（兀,0）处的切线方程为（）

A.x+y-n=OB.x-y-n=0

C.x+y+兀=0D.x-y+n=0

f2Inx,x>1

6.已知函数F（x）=<।八,若$<工2,且/（%）=〃/），则马-%的最小值为（）

A.3-21n2B.4-21n3

C.2D.c—1

7.已知a=生"，b=--\n—,c=~,则a，b,c的大小关系为（）

244ee

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

8.若直线y=x+人与曲线丫=e、-or相切，则。的最大值为（）

A.0B.1C.2D.e

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数九"）=-4.9r+6.5f+10的图象，根据图象判断以下说法

正确的是（）

A.曲线〃在％附近增加

B.曲线人⑺在L附近减少

C.曲线//«）在。附近比在4附近增加的缓慢

D.曲线〃（/）在4附近比在4附近增加的缓慢

3

10.可能把直线y=作为切线的曲线是（）

A.y=」B.y=cosx

X

C.y=lnxD.y=eA

11.已知函数〃x）=e'.V则以下结论正确的是（）

A.f(x)在R上单调递增

2

B./(log52)</e</(ln7t)

\/

c.方程/(x)=-l有实数解

D.存在实数人,使得方程/(x)=近有4个实数解

12.设函数〃x)为R上的奇函数，/(x)为/(x)的导函数，/(2x+l)-/(2-2x)=4x-l,/(1)=1,则下

列说法中一定正确的有()

A.〃2)=2B-图=|C.《野1D."由=59

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.己知函数f(x)=dx-a-ln无，且f(x)的最小值为0,则a的值为.

14.已知曲线y=lnx与曲线y=_3-g(x<0)有公切线/,贝IJ/的方程为.

15.设函数/3)=区3+3伏-1)--公+i在区间(o,4)上是减函数，则&的取值范围是.

16.设函数/(x)=x(lnx-or)(aeR)在区间(0,2)上有两个极值点，则〃的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.曲线/(力=》2上哪一点处的切线满足下列条件？

⑴平行于直线y=4x-5；

⑵垂直于直线2x-6y+5=0；

(3)倾斜角为135.

18.求下列函数的导数:

/八Inx

(l)y=xcosx----

x

⑵y=A-----1—；

X

⑶y=，+2x-l)e2f.

19.已知函数〃x）=gx2_2G：+lnx（〃为常数）.

（1）当a=l时，求曲线y=〃x）在点0,〃1））处的切线方程；

⑵设函数〃x）的两个极值点分别为为，巧（入＜%），求〃£）的范围.

20.已知函数/（x）=%-〃lnx.

⑴若F（x）在口,物）上单调递增，求〃的取值范围.

⑵求“X）的单调区间.

21.已知函数〃x)=ar'+加，在点(1J⑴)处的切线方程是y=-3.

(1)求a,匕的值；

⑵设函数g(x)="X)-机(加eR),讨论函数g(x)的零点个数.

22.已知函数/(x)=-2x+lnx,g(x)=xex-3x-m

⑴求函数f(x)的极值点；

⑵若/(x)"g(X)恒成立，求实数机的取值范围.

单元提升卷04导数

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.如图所示的是y=〃x)的导函数y=/'(x)的图象，下列四个结论：

①“X)在区间(-1,1)上是增函数；

②A-1是〃X)的极小值点；

③“X)的零点为T和4；

④x=l是“X)的极大值点.

其中正确结论的序号是()

-3-2-yi\3/.

A.①②B.②③C.③④D.©@©

【答案】A

【分析】利用导函数y=/'(x)的图象，对①②③④四个选项逐一分析可得答案.

【详解】由导函数y=/"(x)的图象可知，

当xe(—3,—1)时，r(x)<0,

当xe(-1,2)时，制x)>0,

所以/(x)在区间(-3,-1)上单调递减，

在(-1/)上单调递增，故①正确，②正确；

又-1和4是ra)=o的零点(是极值点)，

不是/(x)的零点，且x=l不是"%)的极大值点，故③④均错误；

故选：A

2.已知/(%)=3,lim/世2a二/㈤的值是()

'”…3Av

3

A.3B.1C.2D.-

2

【答案】C

【分析】根据导数值的定义计算即可.

【详解】根据导数值的定义：lim/叱2人止/㈤/./(%+2Av)-/(x。),

336V32。2Ax3

故选：C

1y1

3.已知函数/(x)(xeR)满足/⑴=1,且“X)的导函数则,f(x)<]+5的解集为()

A.(-<»,0)B.(-℃,1)C.(0,+co)D.(1,+8)

【答案】D

【分析】根据题意，构造函数尸(x)=/(x)-gx,可得函数F(X)在R上单调递减，再由其单调性即可求得

不等式.

【详解】设尸(x)=〃x)-；x,则F'(x)=.f'(x)-g,因为f(x)<g,所以F'(x)=/'(x)-；<0,即函数尸(x)

在R上单调递减，

则f(x)<]y+]1，即Y⑴1即F(x)</l),

所以X>1,即苫+g的解集为(1,+8).

故选：D

4.函数小)=正+兀),X<0的导函数为广(x)，则:卜万卜()

7T71

A.0B.1C.-D.1H—

22

【答案】B

【分析】根据分段函数的性质可得%£(-2私-兀)时〃x)=(x+7i)sinx,即可求导代入求解.

【详解】当X£(-2兀,一兀)时，贝1]无+兀£(一兀,。)，%+2兀£(0,兀)，

/(X)=^(X+K)=/(x+27r)=(x+27i)sin(x+27t)=(x+7i)sinx,

此时/,(x)=sinx+(x+7i)cosx,

所以卡卜in(卡)+(若+n}osW=l+O=l,

故选：B

5.函数〃x)=sinx在(兀,0)处的切线方程为()

A.x+y-n=0B.x-y-Tt=0

C.x+y+兀=0D.x-y+兀=0

【答案】A

【分析】利用导数的几何意求解即可.

【详解】因为〃x）=sinx,所以_f（x）=cosx,且点（兀,0）在〃力的图像上,

所以/（X）在（兀,0）处的切线的斜率为％=/'（兀）=COS7t=-l,

所以/（X）在（兀,0）处的切线方程为y=—（x—兀），即x+y-n=o.

故选：A.

,f21nx,x>1八.

6.已知函数y（x）=〈，,右且/（占）=/。2）,则々一%的最小值为（）

A.3-21n2B.4-21n3

C.2D.e—1

【答案】A

【分析】由题意作出函数图象，可得血的范围，得到三-斗=电-2111々+1,令g（x）=x-21nx+l,xw（l,e],

再由导数求最小值即可.

[2\nx,x>\

【详解】已知函数f（x）={1,作出函数图象如图：

x+l,x<1

当21nx=2时，x=e.

苔<x2/(xl)=/(x2),.-.l<x2<e.

由玉+l=21nx?,得X1=21nx2-1,则x2-%=x?-Zlnx2+1.

2x—1

令g(x)=x-21n_r+l,XG(l,e],贝I]g'(x)=l——-----

XX

.•.当xe(l,2)时，g'(x)<O,g(x)单调递减；当xw(2,e]时,g'(x)>O,g(x)单调递增,

=g⑵=3-2ln2,即电一占的最小值为3-21n2.

故选:A.

7.已知。=警，人=一!也!，c=-f则。，b,c的大小关系为()

44e

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【分析】观察"c的形式构造函数，判断函数的单调性来比较大小.

In2e1+ln2.1.11+ln421+lne

【详解】a=——=---,h=--\n—=---,c=-=-----.

2244e4ee

构造函数f(x)=t詈，贝1]:(力=三9,当0<xvl时，_/Kx)>0,函数=¥递增;当X>1时,

尸(“<0,函数〃力=手递减；

因为4>e>2>l,所以a>c>b

故选：B

8.若直线y=x+匕与曲线〉=e、-ax相切，则b的最大值为()

A.0B.1C.2D.e

【答案】B

【分析】利用导数的几何意义得到％=(a+l)[l-ln(a+l)],然后利用导数分析单调性求最值即可.

【详解】设切点坐标为(为,%),因为y=ex-ax,

所以y=e*-a,故切线的斜率为：e*-a=l,

e&=a+l,则毛=ln(a+l).

又由于切点(七,%)在切线y=x+b与曲线y=e*-ar上，

所以=-ax。，所以6=++=++

令a+l=f,则b=f(lTnf),设/⑺=r(l-lnf),

r（O=（l-lnr）+r^-yj=-lnz,令/⑺=0得：f=l,

所以当f«0,l）时，7⑺是增函数；

当te（l,go）时，八。＜0,/⑺是减函数.

所以f（f）a=f（D=L

所以b的最大值为：1.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数/7（r）=T.9/+6.5r+10的图象，根据图象判断以下说法

正确的是（）

A.曲线九⑺在4附近增加

B.曲线/I。）在质附近减少

C.曲线/7（。在乙附近比在芍附近增加的缓慢

D.曲线在4附近比在乙附近增加的缓慢

【答案】AD

【分析】根据二次函数图象及导数的几何意义一一判断即可.

【详解】对于A、B选项，由图象可知，旗f）在％与弓附近均增加，故A正确，B错误；

对于C、D选项，由图象及二次函数的单调性可知，

4与质均在对称轴r=震左侧，函数单调递增，

Vo

但增加的趋势逐渐趋于平缓，且”«）=-9.8f+6.5,"&）＞"&）＞0,故C错误，D正确.

故选：AD

3

10.可能把直线y=机作为切线的曲线是（）

A.yB.y=cosx

X

C.y=lnxD.y=e'

【答案】ACD

【分析】根据题意结合导数的几何意义逐项分析判断.

【详解】因为直线y=3的斜率k二13,

对于选项A：因为y=」，则y'=-U

Xx~

令±解得x=士逅，故A正确；

X-23

对于选项B：因为），=cosx,则炉=_sinx,

又因为则方程-sinx=：＞l无解，故B错误；

对于选项C：因为y=lnx,则y'=」，

X

132

令人二=,解得工=彳，故C正确；

x23

对于选项D：因为y=e*,则了=已;

令e、=]3,解得x=ln3],故D正确；

故选：ACD.

11.已知函数/（同=/43,则以下结论正确的是（）

A.4%）在R上单调递增

（1\

2

B./（log52）＜/e＜/（ln7t）

\z

C.方程/（X）=-1有实数解

D.存在实数Z,使得方程〃x）=区有4个实数解

【答案】BCD

【分析】对于A项，利用导函数计算即可判定，对于B项，通过求导判定函数单调区间，再比较自变量即

可；对于C项，求导判定函数的极值再数形结合即可判定，对于D项，分类讨论，分离参数求导函数及数

形结合即可判定.

【详解】由/(X)=e*.Ynr(x)=e，•V•(X+3),

显然当x<—3时，/'(x)<0,即y=/(x)在3)上单调递减,

当x>-3时，>0,即y=〃x)在(-3,内)上单调递增，故A错误;

.1||l

对于B项,易知In兀>lne=l=e°>e2=—pr>—=logV5>log2>-3,由y=/(x)在(-3,4W)上单调递增可知

Ve255

B正确;

对于C项，由上知y=〃x)在x=-3处取得极小值，而〃-3)=-27e-3<-l,故C正确，如图所示;

r3

对于D项，f(x)=kx,BPe-x=fcv(xSR),当x=0,显然成立，即x=0是其一根，当工声0时，原方程

等价于々=e*.x2,令g(x)=e*.j?ng'(x)=e*.x-(x+2),

令g'(x)<0,解得—2<x<0,即y=g(x)在(-2,0)上单调递减,

令g<x)>0,解得x<-2或x>0时，即^=8(彳)在(0,+8)和(-<»,-2)上单调递增，故y=g(x)在x=-2处

4

取得极大值，在x=0处取得极小值，g(-2)=/,g(O)=O,

又xf-8时，y=g(x)f(T,可得y=g(x)的大致图象，如图所示,

当时，々=e'“2有三个不同的根，且均不为零，综上所述D正确;

故选：BCD

12.设函数〃x)为R上的奇函数，:(x)为/(x)的导函数，/(2x+l)-./(2-2x)=4x-l,/(1)=1,则下

列说法中一定正确的有()

A."2)=2B.同=1C.僧卜D.沙图=59

【答案】ACD

【分析】由f(x)为R上的奇函数，/(2x+l)-/(2-2x)=4x-l,/⑴=1可得f(x)的性质，可判断A,B；

对〃x)=-〃T)，〃2x+l)-〃2—2x)=4x—l求导可得导函数尸(x)的性质，即可判断C,D.

【详解】因为函数/'(x)为R上的奇函数，所以〃力=一/(—x),因为/(2x+l)—〃2—2x)=4x—l,41)=1,

所以当x=0得/(1)一〃2)=—1,所以"2)=2,故A正确；

又“2x+l)-/(2-2x)=4x-l,可得/(2》+1)-(2X+1)=/(2-20-(2-2力，贝|」/(力-X=/(3-力-(3-司,

所以函数,f(x)-x关于直线x=|对称，故/(g)的值无法确定，故B不正确；

因为〃力=—〃r),则1(x)=[-/(—)]=尸(t)①，所以((x)关于y轴对称，

X/（2x+l）-/（2-2x）=4x-l,所以2/'（2x+l）+2/'（2—2x）=4,即/'（2x+l）+/'（2—2x）=2,所以/'（x）

关于点(别对称，则/(力=一/(3-6+2②,

由①②得/'（—x）=-/'（3-x）+2,所以/■'（3-x）=-/'（6-x）+2,则7（一力=/'（6-工）,

故尸G)的周期为6,由②可得/(|)=-:(|)+2,即r(|)=i,所以故c正确;

由②得/'(力+/(3—x)=2,所以尸(卷)+甯)=2,

则

故D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.己知函数/(x)=<2x-aTnx,且〃x)的最小值为0,则。的值为

【答案】1

【分析】利用导数求出/W=/(-)，结合已知最小值可得结果.

mina

【详解】〃同=依一。-111》的定义域为(0,一),

f\x)=a--,

X

当“40时，尸(幻<0,.f(x)在(0,”)上为减函数，此时/“)无最小值，不合题意；

当。>0时，令/'(x)<0,W()<x<-;令/'(x)>0,得x>,，

aa

/(x)在(0」)上为减函数，在('，+,»)上为增函数，

aa

所以=/(')=l-a+ln〃=0,

a

令g(a)=l-a+lna,=+—,

a

令g'(a)>0,得0<avl,令/⑷<0,得a>l,

所以g(a)在(0,1)上为增函数，在(1,y)上为减函数，

所以当。=1时，g(〃)取得最大值g(D=o,

故4=1.

故答案为：1.

14.已知曲线y=lnx与曲线y=-3-g(x<0)有公切线/,贝心的方程为.

【答案】x-y-l=0

【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程

求解.

【详解】设直线与曲线)=lnx相切于点(石,1叫),

因为y=lnx,则y'=L,

X

所以该直线的方程为即y=:x-l+lnX|,

1(1

设直线与曲线y=-3—-(x<0)相切于点X2,-3——(々<0),

X\X2J

因为y=-3—，(x<0),则丫'=4，

XX

c11/\12r

所以该直线的方程为y+3+—==工一/，即——3,

x2x2x2x2

x1

所以12c,消去储得ln(f)+-+l=0,

—1+InX]=-----3

令t=f,因为々<0,所以f>0,所以lnr」+l=o,

t

令/z(f)=ln/-1+1,所以“⑺=1+二>0,则/7(f)=lnf-1+l为增函数，

tttt

所以力⑺=lnf」+l最多一个零点，容易知道〃⑴=0-：+1=0,

t1

所以lnf-；+l=0只有一个解r=l,所以马=-1,所以占=石=1,

所以该直线的方程为N=x-1,即x-y-l=0.

故答案为：x-y-1=0.

15.设函数/(X)=获+3(%-l)f-公+1在区间(0,4)上是减函数，则&的取值范围是.

【答案】^<|

［分析］f(x)=kx}+3(%-l)x2-公+1在区间(0,4)上是减函数转化为f'(x)=3kx2+6(k-l)xV0在(0,4)上恒

成立，进而可得.

【详解】因/。)="+3(%-1)/-公+1,

f\x)=3kxi+6(k-l)x,

若％=0,f'(x)=-6xf当xe(0,4)时，/(x)=-6x<0,符合题意，

当女工0时,/(%)=3&+66-1)X40得

攵(3%2+6%)<6x,因xe(0,4),

.,.6x2

故人47~~‘

3x~+6xx+2

由题意在(0,4)上恒成立，

设g(x)=W,Xe(0,4)则g(X)在(0,4)上单调递减，

故g(上看白■

i^k<—,k。0,

综上k<—,

故答案为：2工；

16.设函数/(x)=x(Inx-奴)(aeR)在区间(0,2)上有两个极值点，则a的取值范围是.

【答案】(平窈

【分析】求得了'(x)=lnx+l-如，根据题意转化为24=多^在(0,2)上有两个不等的实数根，转化为

g(x)="l和y=2a的图象有两个交点，求得g，(x)=：绊，求得函数的单调性与最值，即可求解.

XX

［详解］/f(x)=lnx-6<x+x^--aj=lnx+1-lax,

由题意知lnx+l-2ar=0在(0,2)上有两个不相等的实根，

।七什*-Inx+1/、lnx+1_.，/、1-lnx-lInx

将其变形为2〃=-----,设MI晨力=—―,则，(力=―S—.

X入XX

当0cxe1时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当1cx<2时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

g(X)的极大值为g⑴=1,又gd)=0,8⑵=空口>0,

画出函数g(x)的大致图象如图，

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.曲线/(力=必上哪一点处的切线满足下列条件？

⑴平行于直线―；

(2)垂直于直线2x-6y+5=0；

(3)倾斜角为135.

【答案】(1)P(2,4)是满足条件的点.

⑵尸(-着3)9是满足条件的点.

(3)尸(-；,；)是满足条件的点.

【分析】(1)设尸(X。，为)时满足条件的点，求得r(x°)=2x。，由切线与直线y=4x-5平行，列出方程，即

可求解；

(2)由切线与直线2x-6y+5=0垂直，列出方程2/x；=-l,即可求解；

(3)由切线的倾斜角为135,得到2%=-1,即可求解.

【详解】(1)解：设时满足条件的点，

由函数/(力=》2,可得/'(x)=2x,可得/'(%)=2%,即切线的斜率为k=2x°

因为切线与直线y=4x-5平行，所以2%=4,解得/=2,可得%=〃2)=4,

所以点P(2,4)是满足条件的点.

(2)解：由(1)知，切线的斜率为4=2%,

因为切线与直线2x—6)，+5=。垂直，所以2%xg=T,解得％=-；,可得%=、，

所以点尸(一毛)是满足条件的点.

(3)解：由(1)知，切线的斜率为％=2xo，

因为切线的倾斜角为135,所以其斜率为-1,可得2%=-1,解得/=-g,可得为=；,

所以点P(U)是满足条件的点.

24

18.求下列函数的导数：

/八Inx

(l)y=xcosx-----

x

八、(l+x2)ex

(2)y-A----L—；

X

⑶y=卜2+2x-l)e2f.

【答案】(1)/=cosx-xsinx-1A

x

G、,x3+x2+x-I

⑵y=------2-----erx

x

⑶y'=(--+3*2T

【分析】根据复合函数的求导法则计算可得答案.

【详解】(1)=cosx-xsinx--―

(2)y=\-+xex,y=--7+-+X+I\ex=----------er

IXJ\XXJX

c2V22.j(2e2x+2e2—e2x2—2e2x+e2)eA.、.

(3)y=-+2eVx-e,y=l-----------------------二式一百产

e’(打

19.己知函数/'(x)=gx2-2or+lnx(a为常数).

(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在点处的切线方程；

⑵设函数“X)的两个极值点分别为玉，々(不<々)，求的范围.

3

【答案】(i)y=—1

⑵18,-1)

【分析】(1)由导数的几何意义求解，

(2)根据函数有两个不相等的极值点得到〃>1,玉+乡=2”,9>1,故/(々卜-夭；-1+lnx?,变形得到函

数g(，)=-gl+Jn/,“=¥>l),求导得到其单调性，得到g(/)的值域，得到答案.

【详解】(1)当”=1时，/(x)=^x2-2x+lnx,f\x)=x-2+—,

所以7(1)=-1，/'(1)=0，

故曲线y=/(x)在点处的切线方程为y=-j

(2)若/(x)在定义域内有两个极值点，则与刍是方程r(x)=x-2a+：=0即》2_2改+1=0的两个不相等

的正根，

△=4/_4>0

从而得至小3+3=2。>0,即。>1,

xxx2=1>0

又0<西<工2，故工2>1，且2以2=¥+1

x=x

/(2)^2-2ax2+lnx2

=~—+1)+Inx1

=――芍-1+In

,2

令£=x；>1,则/(%2)=8(。=一5-1+31111,

,/\11T+1门

g(?)=---+—=------<0,

v722t2t

所以g⑺在(1,转)上单调递减，

所以g⑺<g⑴=一,，即g⑺的值域为18,-|),

所以/(々)的范围是1-8,-g).

20.已知函数/(x)=x—“Inx.

(1)若f(x)在［1,行)上单调递增，求。的取值范围.

⑵求的单调区间.

【答案】(1)(7,1］

(2)答案见详解

【分析】(1)求导，分和。>0讨论可得；

(2)根据(1)中结论可得单调区间.

【详解】(1)〃x)的定义域为(0,+8),/")=1-£=于，

当时，:(x)>0,在(0,一)单调递增，满足题意；

当〃>013寸，令八》)=学20,解得x<0(舍去)或要使〃x)在［1,+8)上单调递增，贝,所

以0<a41.

综上，。