江苏省南京市南师附中新城初中2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（含答案）

-2024学年江苏省南京市南师附中新城初中八年级（下）第一次月考数学试题一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）分式可变形为（）A．﹣ B．﹣ C． D．3．（2分）要把分式的值扩大为原来的3倍，下面哪种方法是可行的（）A．x、y的值都加上3 B．x、y的值都扩大为原来的3倍 C．x的值不变、y的值扩大为原来的3倍 D．x的值扩大为原来的3倍、y的值不变4．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，P是CD边的中点，E是BC边上的一动点，随着点E的运动，线段MN长（）A．随着点E的位置变化而变化 B．保持不变，长为 C．保持不变，长为 D．保持不变，长为5．（2分）如图，两个正方形的边长都为6，其中正方形OEFG绕着正方形ABCD的对角线的交点O旋转（不与端点重合），设两个正方形重叠部分形成图形的面积为m，△BMN的周长为n（）A．m发生变化，n存在最大值 B．m发生变化，n存在最小值 C．m不发生变化，n存在最大值 D．m不发生变化，n存在最小值6．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，P是BC边上一动点，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）7．（2分）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．8．（2分）分式的最简公分母是．9．（2分）不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数．10．（2分）关于x的方程+1＝有增根x＝2．11．（2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是（只填一个条件）．12．（2分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转95°，得到△EBD，则∠CAD＝°．13．（2分）若+＝3，则分式．14．（2分）如图，菱形ABCD的边长为13cm，正方形AECF的边长为5，则菱形ABCD的面积为cm2．15．（2分）如图，将边长为40cm的正方形ABCD折叠，使得点D落在BC上的点E处．若折痕FG的长为41cmcm．16．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，E为BC的中点，F为DE上一动点，连接PC，则PC的最小值是．三、解答题（本大题共10小题，共68分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）（1）﹣．（2）先化简（x+3﹣）÷，再从0≤x≤4中选一个合适的整数代入求值．18．（6分）（1）解分式方程：＝1；（2）若关于x分式方程＝1的解为正数，则m取值范围．19．（6分）小明去图书馆借书，到达后发现借书卡没带，于是他跑步回家，小明骑车时间比跑步时间少5.5min，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍20．（5分）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，且PA＝PD，PB＝PC（1）求证：∠ABC＝∠DCB；（2）求证：四边形ABCD是矩形．21．（5分）请仔细阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，．例如：假分式可以化为整式与真分式和的形式，例如：＝．（1）将分式化为整式与真分式和的形式，并求出当x取哪些整数值时的值也是整数？（2）将假分式化成整式和真分式的和的形式．22．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AF是△ABC的中线．求证：DE＝AF．证法1：∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝．∵AF是△ABC的中线，∠BAC＝90°，∴AF＝，∴DE＝AF．（1）请把证法1补充完整；（2）试用不同的方法证明DE＝AF．23．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．用直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹．）（1）如图①，若点D在边AB上，求作平行四边形CEDF；（2）如图②，求作正方形ADFE，使得点D、E、F分别在AB、AC、BC上．24．（6分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，过点E作EF⊥DE交直线AB于点F．（1）求证：EF＝DE；（2）探究：当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，∠AFE的度数是多少？直接写出结果．25．（8分）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形问题解决（1）问题1，把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，求证：四边形BFDE是菱形；拓展研究（2）在（1）的条件下，若AB＝3cmcm．综合探究：（3）如图2，ABCD是一张矩形纸片，AD＝1，在矩形ABCD的边AB上取一点M（不与A和B点重合），在边CD上取一点N（不与C和D点重合），使线段MB与线段DN交于点P，得到△MNP．26．（11分）类比和转化是数学中重要的思想方法，阅读下面的材料，并解答问题：从数学课本中我们已经学习了利用平行四边形的定义和三个定理来判断一个四边形是平行四边形．张老师所在的班级成立了数学兴趣小组，他们在张老师的指导下对平行四边形的判定进行进一步的研究．他们发现：平行四边形的判定都需要两个条件，4个已经被证明的判定方法外，他们对这些命题展开了研究．（1）数学爱好者小潘和小苗发现“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”是一个真命题．请你完成证明．如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C（2）小振和小涵研究后发现命题：“如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形”是一个假命题．他们先画出四边形ABCD的一条边AB，一条对角线BD．请你利用无刻度直尺和圆规图2中画出反例．（保留作图痕迹，不写作法）（3）数学课代表小骆想到了一个命题：“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线”，需要分情况考虑．聪明的同学们（要求有必要的图形和文字说明）．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、不是中心对称图形；C、是中心对称图形；D、不是中心对称图形．故选：C．2．（2分）分式可变形为（）A．﹣ B．﹣ C． D．【解答】解：＝＝﹣，故选：A．3．（2分）要把分式的值扩大为原来的3倍，下面哪种方法是可行的（）A．x、y的值都加上3 B．x、y的值都扩大为原来的3倍 C．x的值不变、y的值扩大为原来的3倍 D．x的值扩大为原来的3倍、y的值不变【解答】解：∵把分式的值扩大为原来的3倍，∴算式为＝＝，所以把分式的值扩大为原来的3倍、y的值都扩大为原来的8倍，故选：B．4．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，P是CD边的中点，E是BC边上的一动点，随着点E的运动，线段MN长（）A．随着点E的位置变化而变化 B．保持不变，长为 C．保持不变，长为 D．保持不变，长为【解答】解：连接AP，∵矩形ABCD中，AB＝DC＝2，∴DP＝1，∴AP＝＝，连接AP，∵M，N分别是AE，∴MN是△AEP的中位线，∴MN＝AP＝．故选：B．5．（2分）如图，两个正方形的边长都为6，其中正方形OEFG绕着正方形ABCD的对角线的交点O旋转（不与端点重合），设两个正方形重叠部分形成图形的面积为m，△BMN的周长为n（）A．m发生变化，n存在最大值 B．m发生变化，n存在最小值 C．m不发生变化，n存在最大值 D．m不发生变化，n存在最小值【解答】解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴OC＝OD＝BO＝AO，∠BAO＝∠CBO＝45°．∵∠MOA+∠BOM＝90°，∠BON+∠BOM＝90°∴∠AOM＝∠BON，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△BON（ASA）∴OM＝ON，AM＝BN，S△AOM＝S△BON，∴两个正方形重叠部分形成图形的面积＝S△BOM+S△BON＝S△AOB，∴m＝S正方形ABCD＝6，∵△BMN的周长为n，∴n＝BM+BN+MN＝AM+BM+MN＝6+MN，∴当MN有最小值时，n有最小值，∵OM＝ON，∠MON＝90°，∴MN＝OM，∴当OM⊥AB时，OM有最小值为8，∴n的最小值为6+3，因为点M不与点A，B重合，所以MN不存在最大值，故选：D．6．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，P是BC边上一动点，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ（）A． B． C． D．【解答】解：如图，在AB上取一点E，连接PE，由旋转知，AQ＝AP，∵∠ABC＝30°，∴∠EAC＝60°，∴∠PAQ＝∠EAC，∴∠CAQ＝∠EAP，∴△CAQ≌△EAP（SAS），∴CQ＝EP，要使CQ最小，则有EP最小，点P是BC上的动点，∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，即：点P与点F重合，CQ最小，在Rt△ACB中，∠ACB＝30°，∴AB＝3，∵AE＝AC＝2，∴BE＝AB﹣AE＝2，在Rt△BFE中，∠EBF＝30°，∴EF＝BE＝，故线段CQ长度最小值是，故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）7．（2分）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≠﹣1．【解答】解：由题意可知：x+1≠0∴x≠﹣7故答案为：x≠﹣18．（2分）分式的最简公分母是mn．【解答】解：分式的最简公分母是mn．故答案为：mn．9．（2分）不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数．【解答】解：＝＝．故答案为：．10．（2分）关于x的方程+1＝有增根x＝2﹣4．【解答】解：去分母，得：5+m+（x﹣2）＝8，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，把x＝2代入整式方程，可得：m＝﹣4．故答案为：﹣4．11．（2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是∠BAD＝90°或AC＝BD（只填一个条件）．【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可．即∠BAD＝90°或AC＝BD．故答案为：∠BAD＝90°或AC＝BD．12．（2分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转95°，得到△EBD，则∠CAD＝85°．【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转95°，∴∠ABE＝95°，AB＝BE，∵AB＝BE，∴∠E＝∠BAE，∴∠BAE+∠CAB＝∠BAE+∠E＝180°﹣∠ABE＝180°﹣95°＝85°，故答案为：85．13．（2分）若+＝3，则分式﹣．【解答】解：∵+＝6，∴＝3，∴原式＝＝＝＝﹣，故答案为：﹣．14．（2分）如图，菱形ABCD的边长为13cm，正方形AECF的边长为5，则菱形ABCD的面积为120cm2．【解答】解：如图，∵正方形AECF的边长为5cm，∴AC＝EF＝10cm，AO＝4cm，∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，BO＝DO，∴BO＝＝12cm∴BD＝5BO＝24cm∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝120cm2．故答案为：12015．（2分）如图，将边长为40cm的正方形ABCD折叠，使得点D落在BC上的点E处．若折痕FG的长为41cm9cm．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠C＝90°，AD＝CD，作FP⊥CD于P，连接DE，则四边形AFPD是矩形，∴∠DCE＝∠FPG＝90°，由翻折知，GF⊥DE，∴∠PFG＝∠CDE，∵AD＝CD，∴△FPG≌△DCE（ASA），∴DE＝FG＝41，在Rt△CDE中，由勾股定理得CE＝，故答案为：9．16．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，E为BC的中点，F为DE上一动点，连接PC，则PC的最小值是．【解答】解：如图，取AD中点H，CH，连接CO，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，∠BAH＝∠CDH＝90°，∵点E是BC中点，点H是AD中点，∴AH＝CE＝DH＝BE＝AB＝CD＝5，∴四边形BEDH是平行四边形，，，∴BH∥DE，∵点P是AF的中点，点H是AD的中点，∴PH∥ED，∴点P在BH上，∵∠AHB＝∠DHC＝45°，∴∠BHC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴BH⊥CH，∵点P在BH上，∴当CP⊥BH时，此时点P与H重合，在Rt△CDH中，∴PC的最小值为，故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共68分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）（1）﹣．（2）先化简（x+3﹣）÷，再从0≤x≤4中选一个合适的整数代入求值．【解答】解：（1）原式＝﹣•＝﹣＝＝＝；（2）原式＝•＝•＝；当x＝0，x＝3，原式无意义，把x＝3代入得：原式＝＝．18．（6分）（1）解分式方程：＝1；（2）若关于x分式方程＝1的解为正数，则m取值范围m＞1且m≠2．【解答】解：（1）原方程去分母得：2﹣2＝x﹣3，解得：x＝1，检验：当x＝1时，x﹣6＝0，则x＝1是分式方程的解，故原方程无解；（2）原方程去分母得：m﹣2＝x﹣1，解得：x＝m﹣1，∵原方程的解为正数，∴m﹣7＞0且m﹣1﹣3≠0，解得：m＞1且m≠5，故答案为：m＞1且m≠2．19．（6分）小明去图书馆借书，到达后发现借书卡没带，于是他跑步回家，小明骑车时间比跑步时间少5.5min，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍【解答】解：设小明跑步的平均速度为xm/min，则小明骑车的平均速度为1.5xm/min，根据题意得：﹣＝5.2，解得：x＝100，经检验，x＝100是原分式方程的解．答：小明跑步的平均速度为100m/min．20．（5分）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，且PA＝PD，PB＝PC（1）求证：∠ABC＝∠DCB；（2）求证：四边形ABCD是矩形．【解答】（1）证明：在△ABP和△DCP中，∴△ABP≌△DCP（SAS）．∴∠ABP＝∠DCP．∵PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB．∴∠ABP+∠PBC＝∠DCP+∠PCB．即∠ABC＝∠DCB；（2）证明：∵△ABP≌△DCP，∴AB＝CD．∵AD＝BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC．∴∠ABC+∠DCB＝180°．∵∠ABC＝∠DCB，∴2∠ABC＝180°．即∠ABC＝90°．∴四边形ABCD是矩形．21．（5分）请仔细阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，．例如：假分式可以化为整式与真分式和的形式，例如：＝．（1）将分式化为整式与真分式和的形式，并求出当x取哪些整数值时的值也是整数？（2）将假分式化成整式和真分式的和的形式．【解答】（1）原式＝＝+．当x＝0、2、﹣4，原分式的值也是整数．（2）原式＝＝＝．22．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AF是△ABC的中线．求证：DE＝AF．证法1：∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC．∵AF是△ABC的中线，∠BAC＝90°，∴AF＝BC，∴DE＝AF．（1）请把证法1补充完整；（2）试用不同的方法证明DE＝AF．【解答】解：（1）∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，∵AF是△ABC的中线，∠BAC＝90°，∴AF＝BC，∴DE＝AF；故答案为：BC；．（2）连接DF、EF，∵DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线，∴DF、EF是△ABC的中位线，∴DF∥AC，EF∥AB，∴四边形ADFE是平行四边形，∵∠BAC＝90°，∴四边形ADFE是矩形，∴DE＝AF．23．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．用直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹．）（1）如图①，若点D在边AB上，求作平行四边形CEDF；（2）如图②，求作正方形ADFE，使得点D、E、F分别在AB、AC、BC上．【解答】解：（1）平行四边形CEDF即为所求；（2）正方形ADFE即为所求．24．（6分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，过点E作EF⊥DE交直线AB于点F．（1）求证：EF＝DE；（2）探究：当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，∠AFE的度数是多少？直接写出结果120°或30°．【解答】（1）证明：过点E作EH⊥AC，交AB的延长线于点H，∵四边形ABCD为正方形，∴∠DAC＝∠EAB＝45°，∵EH⊥AC，∴∠H＝45°，∴△EAH为等腰直角三角形，∴AE＝EH，∵EF⊥DE，∴∠DEA+∠AEF＝90°，∵∠HEF+∠AEF＝90°，∴∠DEA＝∠HEF，在△ADE和△HFE中，，∴△ADE≌△HFE（ASA），∴DE＝EF；解：（2）当线段DE与CD边的夹角为30°时，即∠CDE＝30°，∴∠ADE＝60°，∵四边形AFED的内角和为360°，∴∠AFE＝360°﹣∠DAF﹣∠ADE﹣∠AEF＝360°﹣90°﹣60°﹣90°＝120°；当线段DE与AD边的夹角为30°时，即∠ADE＝30°，此时点F在BA的延长线上，如图，∵∠DEG＝90°，∠ADE＝30°，∴∠DGE＝60°＝∠AGF，又∵∠FAG＝90°，∴∠AFE＝30°．综上，∠AFE的度数是120°或30°．故答案为：120°或30°．25．（8分）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形问题解决（1）问题1，把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，求证：四边形BFDE是菱形；拓展研究（2）在（1）的条件下，若AB＝3cmcm．综合探究：（3）如图2，ABCD是一张矩形纸片，AD＝1，在矩形ABCD的边AB上取一点M（不与A和B点重合），在边CD上取一点N（不与C和D点重合），使线段MB与线段DN交于点P，得到△MNP1.3．【解答】（1）证明：由折叠的性质可得∠BFE＝∠DFE，∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF，∴∠DFE＝∠DEF，∴DE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴四边形BFDE是菱形；（2）解：连接BD，在Rt△BCD中，BD＝＝，设BE＝BF＝x，则AE＝4﹣x，∵AB2+AE8＝BE2，∴36+（4﹣x）2＝x4，∴x＝，∴BF＝，∵四边形BFDE是菱形的面积＝EF•BD＝BF•DC，∴EF×5＝，解得：EF＝cm；（3）解：如图3，当点B与点D重合时，作MH⊥BN于H，由题意得：MP＝MQ，设MP＝MQ＝k；由勾股定理得：（5﹣k）7+12＝k6，解得：k＝2.6；由（1）知：NP＝MP＝8.6，MH＝1，∴S△MNK＝•NP•MH＝1.5，∴△MNP面积的最大值为1.3，故答案为：2.3．